數學上積分結果的本質是什麼？

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譬如定積分過後會得到面積，二元函數做重積分後會得到體積，但如果繼續增加維度的話，積分之後的結果就沒有辦法用幾何語言描述了。像三重積分，當然被積函數和積分結果可以用體密度和總質量的方式來表示，然而如果剔除物理從數學的角度來理解，三重積分又是什麼？
補充一下：或者說能不能尋找到一個更加統一的理解積分結果的方式，而不需要反覆代換幾何意義或物理意義。
再次補充：能否尋找到一個數學系統的內部邏輯來解釋或者描述積分？如果存在，需要先行了解哪些概念，參考哪些相關書籍？

從純數學的角度看，積分就是對一個n維流形上的n次微分形式或者density進行的一個操作，這個操作大致可以理解成把一些局部的信息整合一下，得到一個整體的信息。推薦書目的話，任何一本名為「流形上的微積分」的書都可以看看，以及&是一本特別好的書，不過它一開始就用多重線性映射的方法定義微分形式，完全不給你介紹直觀意義和物理背景，是一本「純」的數學書，對非數學專業的同學可能會有一些閱讀障礙。

謝邀。我們先引用卓里奇教授的一段話：「實際上，如果積分確與用以計算它的坐標系的選擇無關的話，我們能積分而且只積分微分形式，此外並沒有什麼其他東西的積分。」

積分這個概念從產生之初就與物理和幾何有很大的關係，之後的發展也是如此，流形上的積分，鏈上的積分，之類的。

找不到高維的物理解釋的主要原因是，我們不能認識高維的東西，並不能把物理世界對應過來。對於低微情形，我們熟悉它們，是由於有現實情形對應，密度、做功、通量這些。但是數學的威力，或者說數學的思維方式就在於抽象。我們不能想像高維空間，但我們能夠抽象地研究它們。

但是又看一遍問題，好象只是說的重積分…如果這樣就只當成密度就好了，還是非常直觀的。一般的，曲面上的積分，或者說流形上的積分，還是要從微分形式去考慮。

謝邀。

第一天

題主在課堂上學習了定積分。老師告訴他，定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積。

題主很失望：定積分就只能算個面積？而且還只是這種特殊的形狀。他把這個疑問告訴了他的好朋友數學君，數學君笑著說：「明天旅行的時候跟你講吧！」。帶著這個問題和對旅行的憧憬，題主進入了夢鄉。

第二天

題主興高采烈地和幾個哥們坐上了大巴車，幾個小時之後，他們到了目的地。這時數學君問題主：「你知道我們的汽車行駛了多遠嗎？」

「知道啊，我記得西安到青海是XX公里……」「不對！那是直線距離。我問你怎麼計算汽車行駛的路程。」「……不知道。」

「哈哈，當然是定積分了。」數學君得意地說，「不妨設我們是A時刻出發，B時刻到達，A到B之間汽車每一時刻的速度記為一個函數 $v(t)$ ,這個函數在A到B上的定積分就是路程啊!」

「原來定積分還可以算路程！」題主驚訝地說。

下了車，題主拉著旅行箱跟著大部隊往賓館走去，這時數學君又說話了：

「你知道你拉箱子做多少功嗎？」

「看我晚飯吃多少唄。晚飯吃得多，說明我做的功多。」題主疲憊地說。

「你這孩子！」數學君氣樂了。「你在每個位置拉箱子都有一個力 $F(x)$ ,這個力和底面還有一個夾角 $heta (x)$ 。我們假設車站到賓館近似為直線，車站的位置為a，賓館的位置為b，那麼你做的功就是 $Fcdot cos( heta )$ 在a到b上的定積分。」

「哦哦。」題主附和了兩聲，就沉沉的睡去了，因為他確實做了不少功。

第三天

大部隊早早地出發，去參觀青海湖。這時有一個年齡比較小的孩子問了一句：「哥哥姐姐們，你們知道青海湖有多大啊？」

「4500多平方千米。」一個學地質的學生脫口而出。

「好厲害！」小孩和幾個女生都發出了驚呼，這時一個戴眼鏡的男生又發問了：「那是你知道。我問你，隨便在地上畫一個湖的圖形，你會算它的面積嗎？」

「我會算，定積分！」題主搶著說道。

「定積分算的是曲邊梯形的面積，我這樣的圖形你怎麼算？」男生很快隨手畫了一個不是曲邊梯形的圖形。

「這個這個這個這個這個……」題主結巴了。好在這時，數學君走出來替題主解圍了。

「這個當然可以用定積分做，只是不是一般直角坐標系的定積分，而是極坐標系的定積分。」數學君耐心地解釋道，「我們建立一個極坐標系，極點就是這個紅色的點，極軸就是極點向右的這條射線。這樣這個圖形與原點連線和極軸的夾角範圍就是 $[0,2pi)$ ,而每個角度對應的圖形上的點到極點的距離就是 $r( heta )$ ……」

「我知道了！」題主做出一副恍然大悟的樣子，「開始的角度是0，結束的角度是 $2pi$ ,所以這個面積就是 $r( heta )$ 在這個區間上的定積分，對不對？」

「對你大爺。」一個瘦高的男生走了出來，「這是利用極坐標計算面積，要對 $frac{r^{2}left( heta ight)}{2}$ 在整個角度範圍內積分才行。」

「soga」題主為自己又長了姿勢而高興。

第四天

旅行結束了，五一假期也結束了。回來的路上，題主問數學君：「定積分確實不止可以算面積，它好像還可以干很多事。可是它到底能解決什麼問題呢？」

數學君想了一下說：「你記著定積分的定義是什麼嗎？」「曲邊梯形的面積……啊不是。老師好像說了個四部曲：分割、取點、求和和取極限。」

「對，定積分就是無限細分和無限求和。把區間等分為n份，認為每一個小區間都是不變的，這樣每一個區間內的面積就可以看成一個矩形了。用矩形的面積和來近似曲邊梯形，再讓最大區間長度的極限為0，就可以準確地計算面積了。」

「說來說去還是算面積啊？」題主扣著鼻子問。

「這是從函數圖像上說的面積，但事實未必是面積。比如說你畫一個速度和時間的圖像，那麼所謂的面積就是路程；你畫一個力和位置的圖像，如果力和運動方向一致的話，面積就是做的功；你畫一個線密度和位置的圖像，面積就是質量……」

「好厲害啊！可是如何知道定積分表達的意義呢？」讚歎之餘，題主又拋出了一個問題。

「剛才說的又忘了。」數學君無奈地說，「定積分其實就是無限細分和無限求和，它求的還是一個乘積。比如說初中時候學的，勻速直線運動的路程等於時間乘速度，那麼速度與時間的函數對時間做積分，本質上是把時間分成非常多的區間，認為每一段上都是勻速直線運動，然後套公式，最後把每一段的路程加起來。其他你能想到的乘積有關的公式，定積分都有類似的意義。」

「我懂了！」題主的思路也打開了，「比如說我喜歡小芳。我每時每刻對她的好如果用一個函數表示，那麼我喜歡她以來對她的好的總和就是這個函數在這段時間上的定積分，對吧？」

「對。」雖然對這個例子有些無語，但是數學君還是點了點頭。

「還有我被胖虎打，他對我的傷害和時間的關係用一個函數表示，那麼他對我的傷害就是這個函數在打我的時候的定積分……」

「停停停！」數學君怕他舉出更奇葩的例子，趕緊轉移話題：「你好像知道二重積分可以算體積，那我問你三重積分算啥？」「算質量啊！」「哦？那為啥二重積分不能算質量？」

「也可以算，」題主說，「如果你把函數值看成高度，就是面積；看成面密度，就是質量。」

「挺聰明啊，你都回答倆問題了！」數學君贊道，「可是三重積分就只能看成密度，不能看成高度嗎？」「別逗了，空間滿共三維，到哪還有個高度？」

「2333333」數學君笑慘了，「三維是我們生存的空間，對於數學來說，幾維空間都是可以的，三重積分完全可以得到一個『四維體』的體積。」

「原來如此。」題主瞪大了眼睛。「看來積分很厲害啊，數學也很奇妙。」

「是啊，」數學君開始總結了，「數學是抽象的，不受我們所在空間的局限。而積分的意義無論是在工程實踐還是在純數學領域都有非常大的作用，要講的話三天三夜也講不了十分之一。總之你只要知道，積分的意義遠遠遠遠遠遠遠不止算面積那麼簡單就是了。你跟我說了我可以耐心地跟你講，你要放到知乎上去問估計會被鄙視的。」

「是是是，我知道了。」題主趕緊說。

完

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那麼，題主，你知道了嗎？

（非數學專業，不嚴謹指出歡迎指出，輕噴。）

我覺得很多答主多慮了。以我個人淺見，題主的困惑在於「積分結果的本質」，而不是「積分的本質」。注意，是積分的結果，不是積分本身！！
以及，題主的問題描述基本上不涉及歐氏空間之外的東西……

那麼，只消採用黎曼和/達布上下和的極限這個最原初的定義作解釋，在當前語境下就已經足夠好了。

說得再直白一點，就是一個無窮級數！

不用拽那些高大上的東西，東西本身高大上不意味著你這答案就高大上了；作答時能照顧到問題的層次，才是高大上！

打一個兩頭不討好的比方——拉出皮亞諾公理給小學生解釋一加一等於二的人，就是矯情！

簡答的說，積分就是求和。

定義在L1空間上的線性泛函

個人感覺，樓主的困惑還在於無法理解多維空間。而又把重積分理解為在多個空間維度的積分。

先解決多維空間問題。
三維以上的空間我們看不到，因為我們的不能跳出世界看世界。如果螞蟻在一條家用的縫紉線線上跑，它就是在一維空間中生活，如果我們把線的一段搭在先的另一端上，螞蟻的一維時空就發生了時空穿越，因為它可以不必按照線的走向爬行；同理，如果螞蟻生活在桌布上，它就是在二維空間中生活，如果我們把桌布的兩個角捏起來，螞蟻的二維空間發生了時空穿越，因為它從這個桌角到那個桌角不再需要爬過整個桌面了；如果我們想像自己生活在一條軟管里，就像家用的那種下水管，如果我們把管子的一頭插入在管子中間剪開的一個口子里，那麼我們的三維空間就發生時空穿越了。但是我們之所以不能自己扭曲自己這個管子，恰恰是因為我們在管子里生活著，這道理就像用手把自己提起來一樣。但是，這不妨礙我們想像：在四維空間中，我們的空間是可以翻折的。更高維的就依此類推。

再解決重積分的問題。
樓主之所以被帶入了對多重積分的空間想像，或許是因為教科書上市這麼舉例子的。誠然，三重積分可以用來計算三維空間中的體積。但是，如果我們回歸到積分的根本意義，它其實是微分（或導數）的逆運算。一個物理量y，它的變化可以由n個變數x1, x2, x3, ...xn決定，客觀上，我就可以對著n個變數求導。反過來想，如果我能順利找到一個物理量y是如何跟隨n個物理量進行變化的（也就是我們能列出y的n階偏導數的表達式），那麼我們求解這個偏微分方程就能得到y=f(x1, x2, x3,...xn)的解析式。而這個積分過程顯然是n重積分，但是與n維物理空間沒有半毛錢關係。
如果學習了線性方程，應該會有助於理解。

$int$ is the stretch of Sum( $sum$ )

積分本質上就是對連續現象的求和。

如一重積分 $f_{x1}^{x2} xdx$ 也就是先微分dx（就是對x取無窮小），然後在x1到x2區間積分 $f_{x1}^{x2}$ ，而積分的實質就是x(高)乘以dx（底）等於面積的累和（從x1-x2區間）

如二重積分 $f_{x1}^{x2} f_{y1}^{y2}f(x,y)dxdy$ 類似的就是對x，對y進行微分（就是分別對x,y取無窮小，大白話就是有多小，就取多小）,然後積分的實質就是f(x,y)(高)乘以面積(dx*dy)（x從x1到x2區間，y從y1到y2區間）為體積的累和

同理可以類比於高維空間，如4維那麼就是4維體積的累和，再高維思想也是一致的。

所謂積分，就是求和啊。乘法也是求和啊，累加就是積啊，積分號是個大S，就是和的意思，明白？

萊布尼茨積分公式怎麼寫？所有微分x分別乘以它對應的y，再求和。

我覺得積分的主要用途是用近似規則的方式來對不規則的事物進行求和
比如求一個圓形的面積，我們可以以圓心為重點，把整個圓劃分成無數個小的三角形(因為兩點之間無限小，所以可以近似認為這個三角形的底邊(弧形)為直線)，那麼圓的面積就變成了無限個(比方說N)小三角形的面積之和，而三角形的高則近似為圓的半徑R，那麼圓形的面積就為, 2πR(周長，所有底邊之和) * R(所有三角形的高) / 2 = πR*R
同理，橫坐標代表時間，縱坐標代表速度，即使你的速度不規律變化，但是路程(也就是速度曲線與橫坐標覆蓋的面積)，也可以當做高度不同的微小矩形的面積之和，這是積分最吸引我的地方，很有畫面感。

本質這東西很難說。

積分本來就是先「定義」的東西，即離散作乘求和取極限，用∫積分符號表示，然後剛好可以對應於現實中求面積、弧長、連續體的質量等而已。

好比問「1+1=2」的本質是什麼。沒有本質，只是它對我們有幫助。你也可以定義「1+1=3」，然而從它出發得出來的結論並沒有什麼卵用。追根刨底就不是數學而變成了哲學問題了。

so,積分只是一個定義。題主可能想知道的是「積分」還可以用什麼數學語言來描述和理解。

算一個小總結吧。
回過頭來看這個問題還真的是有一些感慨。這還是我第一次在知乎提問，當時也非常想去提一個好問題，雖然我不太能確定這個問題本身的內容是否有屬於優質，但我想盡量去補充描述講清楚我所問的到底是什麼。過程也即反思，許多知友也在提煉，乃至於猜測我提問的重點到底是什麼，每看到一種解釋我也在反問自己，我問的真的是這個嗎？於是我想在這裡寫一寫反思的結果。
目前為止我內心接受的說法有： 1、積分的過程本質是一個操作。2、這個操作可能是微分的逆運算（不定積分）3、積分結果的本質是一個極限，一個級數。
對問題的解釋我內心接受的說法是「題主可能想知道的是「積分」還可以用什麼數學語言來描述和理解」。
事實上，當時只有兩三個回答的時候，我已經意識到，我可能只是想問：長度，面積，體積這些東西是否有一種比較統一的描述（有答主還提到描述和定義的問題，我對此確實區分一直不太明確，多數時間是當作同義詞使用，而且偏向於使用描述），當時覺得比較理想的回答應該是用向量的方法解釋，後來想想可能這些東西可以說出來太煩了，如果我想要系統地學習可能還是要看一些大部頭（儘管那些我到現在也沒有看，但相信我當時是有這個願望的），所以我的問題就集中在存在或者不存在，如果存在，我要看些什麼。
這些都被不止一個知友提到過。
然後在問題被編輯的過程當中還解決了一些額外的問題，這些問題可能與本問題有一點關係，但不是直接關係。
1、多個題主提到了多維空間的問題。這確實有一個問題。我當時已經知道高維空間無法想像這個結論，但有牛犟於為什麼高維空間無法想像。不過這和本問題應該不太相關，既然說是拋棄面積拋棄體積，那就用純數學的方式做數學的事情。
2、積分與和sum的關係，積分是sum嗎等等。如果考量定義，這裡面當然是有相加這樣一個過程的，然而這個和卻是n的函數，所以它又不僅僅只是一個和。說和的極限是比較準確的，那麼和的極限更重要的是和的性質還是極限的性質，或者說它們分別在積分的構成過程當中扮演什麼角色？我暫時放過自己一馬。
3、贊數最高的答案雖然並沒有實質上回答問題且非常偏題，不過依然推薦閱讀。

最後非常感謝各位熱情的回答。謝謝。

我覺得積分就是求數值解只不過步長是無限小

另外高緯度空間在我看來就是一張表格每一列是一個維度的值在三維世界畫高維物體可以引入顏色。。。

積分的本質就是求和

_(:з」∠)_自認為是對乘積的求和，其中一個因數是變化的而且變化方式為已知→比如圓錐的體積

作用對過程的累積。

一位數學老師講過：
積分就是奇點大爆炸到宇宙萬物的過程。而每次積分完後面加的那個C可以是任何常數，所以萬物有別。

。。說了半天，就是求面積。。什麼不是面積是路程。。正是因為他能表示面積，從而可以表示路程，本質還是面積，而面積的本質就是黎曼和。還有根本不需要假設A到B是直線神馬的，這個屬學生沒有學過線積分么？

一個拉長的s，s為sum。