聽聞有「理想」這樣一個數學概念，求科普以大學數學為基礎是怎樣引入這一概念的，以及為什麼要引入這一概念？

12-27

本人非數學專業，純屬好奇，希望不要惹怒專業人士。。。

就我所知，理想這個名字是這樣來的：
人們發現如果分圓域有唯一分解性質，那麼就能證明飛馬大定理。但是一般情況下這不對。Kummer通過設想一種＂理想數＂的存在，可以把論證對更廣的一類素數（regular prime）。後Dedekind發現可以用＂環里所有是某個數倍數的集合＂這一想法來建立理想數的理論。所以就沿用了理想這個名字。

高中數學的基礎就夠了。
樓上大神的答案挺好，正規子群和理想都是很漂亮的東西，只是私以為題主既然來問什麼是理想，那八成也是不知道什麼是群和正規子群的。

先說環，環是一種代數結構：找一個非空集合R，在上面定義兩種運算，一種叫加法，一種叫乘法（可以不是熟知的加法和乘法，只要滿足以下運算條件即可）。
（二元運算）首先在R里隨便取兩個元素，這兩個元素都能加也能乘，而且算完得出的結果一定也在R里。
（結合律和加法交換律）加法和乘法都滿足結合律，加法還滿足交換律。就是小學學的那些東西：a+(b+c)=(a+b)+c; a+b=b+a; a(bc)=(ab)c.
（零元存在）R里有一個元素，滿足：這個元素和任意的a做加法，得到的結果都仍然是a。通常把這個元素記做0。
（負元存在）對R里的任意一個元素a，R里都能找到一個元素，滿足這個元素和a做加法，得到的結果是0。通常把這個元素稱作a的負元，記做–a。
（乘法對加法的分配律）最後再加一條小學的運算律：a(b+c)=ab+ac; (b+c)a=ba+ca. 注意這裡乘法不要求有交換律，所以要寫兩個式子，即雙邊的分配律都得滿足。

———我是評論區補充的分割線———

有大神在評論區提到，環里還要求有乘法單位元，即存在一個元素，它與任意元素a做乘法，得到的結果還是a本身，通常把這個元素記做1。

有趣的是我自己在大一學代數時並沒有見過這條性質。剛剛去簡單查了一下書，發現在柯斯特列金的《代數學引論》、van der Waerden的《代數學》和張禾瑞先生的《近世代數基礎》中都並未提及乘法單位元的性質，而在Birkhoff的《近世代數概論》和M Artin的《代數》中都提到了乘法單位元。

私以為@王箏大神的提法是準確的，沒有乘法單位元的代數結構記做Rng，含單位元的代數結構才記做環Ring。或許一些比較基礎的代數教材都沒有列出這個區別？

我學藝不精，給大家帶來的困擾還請見諒。

———我是回到原答案的分割線———

再說一遍，R里的元素可以是你隨便找的東西，上面說的加法和乘法也可以是你隨便定義的，只要滿足上面的那些要求，R就構成一個環。
代數裡面研究這些的原因是，兩個完全不同的集合，只要它們具有相同的代數結構，那它們就會有很多相同的性質，看著很爽的（≧?≦）。
如果L是R的一個非空子集，在R里的加法和乘法的定義下，L自己也構成一個環，那L就叫做R的子環。

原答案中我將理想描述成了一種特殊的子環。事實上，理想的標準定義通常如下：
環R的非空子集I稱作R的理想，如果
(i) 對I中的任意元素a，b，a–b仍在I中；
(ii)任取R中的元素r，I中的元素a，ar和ra都在I中。

如果不加乘法單位元的限制，這兩條性質可以推出I關於乘法封閉，因而是子環。但加上乘法單位元的限制後，由於我們不要求I中含單位元，故I不一定構成子環，原來的說法就有錯誤了。

每一個環都有兩個平凡的理想，一個是{0}，一個是R自己。

啊終於寫完了ˊ_&>ˋ題主參考吧。

唯一分解性十分重要，最初理想引入的目的就是為了在元素的唯一分解性不存在的環中添加上理想的唯一分解性。

為了嘗試把motivation解釋清楚，我舉兩個例子。
例子之前，我們注意這麼一個事實（這個事實很容易用整數的唯一分解定理證明出）：

兩個互素的元素乘起來是三次方，那麼這兩個元素各自必須為三次方。

ex1.
考慮找： $ab=6$ 的整數解，很容易得到 $a=pm 1,pm 2,pm 3,pm 6$
這是因為我們知道整數環上有唯一分解定理（即任意整數在不考慮正負情況下可以唯一分解為素數乘積）， $6=2 imes 3$ ，所以 $a$ 必須為 $2,3$ 以及 $pm 1$ 的乘積。

ex2.
再考慮找 $x^2+1=y^3$ 的整數解
顯然，在整數範圍內它是沒法分解了，但是可以考慮在 $mathbb{Z}[i]$ (即把 $i$ 加到整數裡面加減乘除出來的集合, $i:=sqrt{-1}$ ）中分解： $(x+i)(x-i)=y^3$ 。
可以證明等式左邊兩個元素是互素的，由於 $mathbb{Z}[i]$ 中唯一分解定理仍然成立，所以前面的事實也是成立的，因此 $x+i$ 與 $x-i$ 必須為某個元素的三次方。
很容易驗證 $mathbb{Z}[i]$ 中的元素都形如 $a+bi(a,bin mathbb{Z})$ ,所以 $x+i=(a+bi)^3$ ,然後展開比較。
虛部相等可以得到 $1=(3a^2-b^2)b$ ,所以 $a=0,b=-1$
再比較實部可以得到 $x=a^3-3ab^2$
所以原不定方程只有一個解 $x=0,y=1$ 。

現在進入正題：
考慮找 $x^2+5=y^3$ 的整數解，我們想模仿上述解法，將其分解 $(x+sqrt{-5} )(x-sqrt{-5})=y^3$ ，同樣可以證明等式左邊兩個元素互素，但 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 沒有唯一分解性（ $6=(1+sqrt{-5})(1-sqrt{-5})=2 imes 3$ ），所以不能夠繼續。

可是Kummer認為它還是具有某種唯一性，他引進了形如 $(a_1,a_2,...,a_n)$ 的東西，並稱它們為「理想數」，定義了它們的乘法規則(見update 2016.10.10)，認為 $6=(2,1-sqrt{-5})(2,1+sqrt{-5})(3,1-sqrt{-5})(3,1+sqrt{-5})$ ，從而恢復了唯一分解性。
於是上面那個不定方程可以通過轉換成理想數來求解。

用現在的語言來說，Kummer所說的就是我們指的理想，而他認為的唯一性就是在Dedekind整環上理想的唯一分解定理。

後人在沿用他這個想法的時候不知道怎麼就把好端端的理想數改成了理想╮(╯_╰)╭

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update 2016.10.10:
Kummer定義的理想數 $(a_1,a_2,...,a_n)$ 也可以看成是 $a_1,a_2,...,a_n$ 在更大的環（如 $mathbb{Z}[i]$ 、 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ ）上求最大公因子。所以 $(a_1,a_2)$ 與 $(a_3,a_4)$ 相乘運算如下
$(a_1,a_2)(a_3,a_4)=(a_1a_3,a_1a_4,a_2a_3,a_2a_4)$
同時保持各種其他的求最大公因子的演算法。

因此
$(2,1-sqrt{-5})(2,1+sqrt{-5})=(4,2-2sqrt{-5},2+2sqrt{-5},6)=2(2,1-sqrt{-5},1+sqrt{-5},3)=2$
其中，最後一個等號是因為 $(2,3)=1$ ,於是更多的數的公因子更是1。
同理可以得到 $(3,1-sqrt{-5})(3,1+sqrt{-5})=3$ ，於是
$6=(2,1-sqrt{-5})(2,1+sqrt{-5})(3,1-sqrt{-5})(3,1+sqrt{-5})$ 。

理想這個名字ideal是怎麼來的我不清楚……對這段數學歷史我也不是很清楚……而且代數這方面的東西我也不是很了解。有說錯的地方請指正。
先從理想是什麼講起。題主自己去查一下群和環的定義，很簡單的。
環有加法和乘法，最簡單的就是考慮所以整數構成的環R，有加法，有乘法，但是乘法不一定有逆(兩數相除可能會不是整數)。
好了，現在我們考慮他的一個子集，比如說，7的倍數，可以發現，這個集合的數也構成一個環，所以是一個子環。而且，還是個理想子環。但是不是所有的子環都是理想子環，因為理想子環有一些更高的要求。
你看，7的倍數加7的倍數還是7的倍數。
然後7的倍數乘任何整數還是7的倍數。
第二個性質是一般子環所沒有的，這也是理想的定義。
從我舉的例子裡面可以看出，我們通過數7得到了一個理想，於是你可以想到，很多理想都可以這樣由一個數生成，這種理想叫主理想。當然還有非主理想，不過例子會比較複雜。一個環商掉一個理想就是一個更小的環，如果商掉的是極大理想，得到的就是一個域了。所以我們可以通過理想來構造想要的域。
對理想有很多應用，看到其他人提到的理想數。我對代數數論不是很了解。在代數數論裡面，我們經常會研究這樣的「整數」，比如a+b√3，這種叫代數整數，他們也有很多類似整數的性質，而且在解決很多數論問題的時候很有用。但是有一個問題，就是只有少數種類的代數整數有唯一分解性質，這個東西太重要了，沒有它很多結論就無法成立。怎麼辦呢，庫莫爾後來證明了在所又代數整數中，有一些數肯定有唯一分解的性質。然後由於這些數的構造和理想有點關係，就叫理想數了。

回答一個很有局限但是容易理解的，數論或者是近世代數里有一個概念，ideal，也就是你說的理想，e，滿足，("·"僅代表某種運算)

a·e=a
a·a^-1=e

比如我們隨便給個群(不需要知道是什麼)，實數的運算，因此，
3*1=3
3*1/3=1

因此1是實數在乘法運演算法則下的理想。同理，0是實數在加法運演算法則下的理想。

還可以繼續推廣到環和更多~

理想主要是為了讓環上的「商」也具有環結構。因為一個環同時也是一個阿貝爾群，所以他的「商」可以由阿貝爾群的商自然地給出，但此時的自然乘法結構可能並不滿足環的定義（比如會存在 $a imes 0 ot= 0$ 的情況），因此 $RIsubset I$ 就可以保證這一點。

這是數學課程《近世代數》里一個定義的數學概念，完整的定義是這樣的：
設R為環，I為R的非空子集，如果I滿足：（1）r1，r2屬於I，r1-r2屬於I；（2）對任意的r屬於I，s屬於R，rs，sr屬於I。則稱I為環R的一個理想。
又如果I真屬於R。則稱I為R的真理想

一個環的理想就是：該環同態映射到由該理想導出的商環中的乘法零元，就是說理想在環上是具有強閉性的環，在商環上是乘法零元