高等數學中課本和習題集是什麼關係？

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很多科目，比如數學分析和高等代數/近世代數，都有很多的習題集。有人認為，科研不是看書學出來的，那習題集的意義是什麼？書看懂了（什麼是看懂了？在這裡的定義是，能說出黎曼積分與勒貝格積分的差別，說清楚格林公式，高斯定理的想法），但是很多習題不會做，算不算合格？只學過理論的人和刷通（會做的做一遍，不會做的仔細看再抄一遍）有什麼差別？對「科研力」的影響呢？
分支越細的數學，越沒有所謂的「習題集」，這說明什麼呢？

謝邀，你對「懂」的定義到了可笑的地步,太膚淺了。如果這種程度就算懂，未免也太容易了。

打個比方吧，你這種懂等於學象棋知道「基本規則一樣」。當然，你只學個規則自然也可以玩，但是會被別人玩死。數學也是這樣，你知道個定義不代表你能解決任何數學問題了，解決一個具體的數學問題往往需要你有各種「技巧」和定義以上的「各種結論」。有時候壓根不是懂不懂定義，會不會高談闊論的問題，就是一個輔助函數你不會構造，就是一個技巧你不懂。

做習題的意義在於讓你去思考各種具體的數學問題，輔助你掌握各種具體的技術。甚至幫助你理解各種次級的數學結論。一個數學對象的很多性質很多時候是通過習題給出的，比如給你凸函數的定義，然後讓你證明它在內部是連續的。這個東西本質上需要利用凸函數的一個等價定義和一點小小的觀察。（當然了，我這裡說的是有限維，雖然無限維上的凸函數也有類似的性質，而且證明思路類似）如果你思考並且做出了這個習題，那麼你第一可以深刻理解和運用凸函數性質，第二可以知道這個結果。這種習題就是好的習題，你做這個習題就有意義。

如果你「知道定義」但是做不出習題，那也是分情況看待，有些習題意義不大，不會加深你對定義、定理和數學對象的理解，或者說考察常用的技巧，只是一個「腦筋急轉彎」。那麼這種習題你會不會意義都不大。比如我故意拿一個複雜的函數求導，然後讓你求原函數。 但是，一般好的教科書的課後習題八成都是有意義的，只有很少的一部分是這種貨色。在我看來，rudin習題的質量算是最高，當然了，對於初學者難度也頗大。如果這種有意義的習題你都不會做，只能說你水平不夠，需要提高姿勢，因為這種東西你都不會會讓你後期看書看論文做研究都舉步維艱的。你這樣壓根算不得「懂」，更別提什麼「科研力」了，估計看論文都能卡死你，論文裡面可是會寫各種「容易發現」的，你發現不了怎麼辦？

我不知道你說的細分是什麼程度，因為大部分gtm（研究生課程）有課後習題是很正常的。當然了，難度怎麼樣就看書而定了。再細分的科目沒有習題是因為學那些科目的人都是直接看論文和專著了，它們本身就是對一個數學對象的深入和前沿的思考，裡面的證明也蘊含了很多技巧和各種結論。我拿這種論文上的研究課題給你寫成一個習題簡直是折磨你，而且意義不大。與其這樣，我不如直接把論文指給你看，其實很多的書就是這樣做的，在每一章最後告訴你更深入的內容需要看什麼。那些內容可以朝什麼方向推廣。

再說了，高水平的人看到新定義後自己就會問自己問題，或者乾脆是帶著問題學的，那就是最好的「習題」了。對於這種level的人來說一些人造的習題意義不大，而且造這種習題也很累人，屬於吃力不討好的行為。

學數學，特別是基礎課程，別偷懶，該做點東西就做點東西，只會坐而論道就是可笑了。

瘋狂刷題和一點題都不做這兩者我都覺得極端，做什麼題，怎麼做才是問題的關鍵。這一點，我在過去的回答中多次提過個人的意見，我就不重複了。

可以不做，但不能不會做。

至少要能做1/3，不然你只是像某些文科生一樣背書。

至於高級課程缺乏習題集，因為素材積累不夠。

首先，懂了是什麼標準？其實你到底理解有多深，這不只yes or no兩個level，而是有n個level。
其次，學習從根本上講是對人的改造。這種改造是多重的。你所定義的懂了僅僅是最低的目標，即知識結構的改造。進一步地，還有對事物認知分析角度和層次的多元化，邏輯分析能力的提升。習題不會做，其實是你掌握不夠熟練，理解不夠深。做習題能幫助你加深對知識的理解，也提高了思維水平和解決問題的能力。反覆地練習，會讓知識體系和思維習慣內化成你大腦不可分割的一部分，甚至類似肌肉記憶，讓你在現實中遇到問題時條件反射式地運用起來。
也許你不相信習題會對現實問題有幫助，那我就打了比方吧。習武之人練的到底是什麼？各種套路天天耍，真的對打架有幫助嗎？有。不斷地練習高難度的套路，其實是在保養身體的各個肌肉、關節和臟器，讓它們保持良好的狀態，讓身體柔韌靈活。在不斷的運動中還能加深對人體結構的理解。有了良好的身體條件，以及對身體結構的理解，這就比普通人強的多了。如果能隨機應變，就能成為高手。習武之人應該正確理解習武的作用，如果以為套路就是目的，然後學會套路就去打架，就鼻青臉腫了。
「運用之妙，存乎於心」。要達到這樣的境界，練習是必不可少的。

想回答一下這個問題。

首先很多課本的習題，就是一種引導性的學習。它只是沒在前面加上一個，此處留作習題或者讀者不難看出而已。這種題不得不做，也是最有意義的一種題。

然後就是檢驗你概念理解的題。有些概念部分容易產生誤解，一部分人會理解錯。你屬於這部分人，做了你賺了。不屬於，你做了也能提醒自己。

還有的題是考你應用。有些東西你要用著用著才能理解，或者要用著用著才能熟悉。

最後就是考計算了，這一部分是一種能力訓練，有些人會迫切需要。

習題基本就是上面四種了，我覺得前兩種是不能放過的，第三種至少要有一定的量。第三種和第四種，訓練的多少看興趣和需求。

我就是那種習題做少了，很後悔的人。

個人認為習題只是對於所學知道的鞏固，不可不做，在做題中掌握數學分析的本質東西才是最重要的。

謝邀，下面的僅僅是個人的看法。

關於要不要做題，我覺得這個因人而異，我不了解題主的具體情況，也沒辦法多談。下面簡要說一說什麼算真正搞懂。

對於一門數學課，我覺得真正搞懂，應該是可以把書合上，把所有的定義，定理，證明，例子，反例都完整地「默寫」出來，當然這不是文科的死記硬背，而是充分了解背後的idea和motivation之後的「默寫」。也就是說，可以不看課本，直接給別的同學講這門課，而且能把引入某些概念，或者構造某個輔助函數的想法完全講清楚。如果能達到這個境界，我覺得做不做題倒是真的不太重要了。但如果達不到的話，做題其實是在加深對基本概念基本原理的理解，也是為這門課及後續學科積累例子。至於為什麼後續課程習題集越來越少，我覺得一是需求量越來越少，二是越來越接近科研，在做科研的時候看paper肯定比刷題重要多了。

不會做題也叫懂？naive。。。

不要覺得做題只是為了考試，數學不做題不可能懂。

你連課後習題都不會做，也敢說學會了高等數學？

你要是管這個叫懂，
那我高中就懂了。

23333，題主的「懂」基本等同於見過並認識某些知識。對於這個觀點，其他答案里已經很詳細了。至於為何越細的分支約沒有習題集，這其實是學習順序的問題。在本科、研究生教育中學的數學課幾乎都是數學的基礎分支、一級子學科，這有習題集很正常。到後面，分支越來越細化，例如，專註於研究積分語義的分支，是語義理論的一個小方向，能否出習題集呢？可以，但其價值不大。因為習題集基本考察了本科的分析加代數知識，但這對於該理論沒什麼促進。其他的細分支大體如此。

高中數學老師說過一句很精闢的話，
上課是學怎麼包餃子
做作業是學怎麼蒸包子
考試卻要你做出灌湯包。