數學中有哪些典型的不變數？研究不變數的意義是什麼？

12-27

謝邀。

我初中的時候也曾有過一個幼稚的想法：拿個小本子把所有的數學定理都抄下來。後來意識到這是不現實的，不僅僅是小本子做不到，我整個電腦硬碟存炸了估計也做不到。。

之所以要提這件事，就是因為這個題目就給我一種類似的感覺：數學裡面的不變數？那不要太多好吧。。先不說已經存在的，就是現在數學家也在不停地發現、構造新的不變數啊。。典型的不變數是吧，最淺顯的，體積是等距變換下的不變數；然後學過一點點微分幾何的話，就知道曲率也是等距變換下的不變數——所以你不能通過等距變換（3維空間中就是剛體運動）把球面展平，因為球面帶正曲率而平面曲率為0，所以平面的世界地圖永遠會有失真，你只能做到保角而做不到保持距離。然後數學裡面還有很多更複雜的不變數，數學裡面的不變數可不一定是數字，比如基本群同調群這種拓撲不變數，然後各種類型的K理論也是更複雜的拓撲不變數；紐結也有各種紐結不變數，紐結不變數可以是一個多項式，也可以是某種同調群。我見過最複雜的不變數是辛流形的Fukaya category，這尼瑪是個 $infty$ -category.. 拿一整個範疇作為不變數，數學家們的想像力真是夠豐富的。。

至於說不變數的意義在哪，我上面其實也提到了。不變數的一個目的是區分不同的數學對象，比如曲率可以區分球面和平面，紐結不變數的不同可以區分不同的紐結，而Fukaya category的不同原則上也可以區分不同的辛流形，雖然Fukaya category的計算本身就是很困難的事情。。另一個目的則是為了刻畫數學對象自身的性質。比如關於非正曲率的Hadamard定理就刻畫了流形本身的拓撲，Toponogov comparison等各種比較定理也給出了流形的幾何性質（比如正曲率會導致三角形內角和大於180度），然後當然還有著名的Gauss-Bonnet-Chern等等。在辛幾何裡面，對於Fukaya category的研究也能夠幫助數學家更好地了解辛流形的幾何結構，這方面我就不了解了，需要 @李吟如果有時間的話來做做科普，雖然我覺得他的時間花在研究上更有意義。

這問題比較大。我就籠統說一說。

其實你要搞清楚什麼是量。比如真實世界裡，沒有任何坐標系。我們用坐標系可以定義出很多真實世界裡不存在的量。那麼我們要問，到底哪些是真正有意義的？由於坐標系是可以變來變去的，最簡單我們可以作一個3維空間（其實n維也一樣）的可逆線性變化，如果一個量在這個變化下變了，說明這個量是跟坐標選取有關的，就不是真正的量。當然幾何上還有別的變換，不一定是代數變化了。

拓撲上有很多啊，比如基本群，陳類。代數上比如跡，秩這些。

瀉藥，這個太多啦……

最近在學一些實用的群（以及Lie代數）表示，裡面有個Casimir算符，數學家會告訴你是z(Ug)里的元素，但搞物理的直接說成J^2也無傷大雅……給不可約表示分類用的。

怎麼在安卓客戶端打LaTeX公式啊……

emmm...不想扯什麼高深的東西（其實是我不懂233），說的直白點，研究不變數的意義就倆字「分類」。。舉兩個接地氣的例子吧：

線性代數中，矩陣在相抵意義下的分類只有一個最重要的不變數：秩；復方陣在相似意義下的分類，其最重要的不變數是一組東西，叫初等因子組；復對稱方陣在合同意義下的最重要的不變數也是秩；等等諸如此類的矩陣分類問題中，可以搞出各種不變數。「最重要的不變數」又叫「全系不變數」，顧名思義，全了，缺一不可。有了全系不變數，就可以輕鬆愉快的按你設計的分類方式來分類矩陣啦！
古典微分幾何中， $R^3$ 中的正則曲線在剛性運動下的分類，其全系不變數是 $｛s,kappa, au｝$ ; $R^3$ 中的正則曲面片在剛性運動下的分類，其全系不變數是 $｛g_{ij},L_{ij}｝$ .

從這兩個非常簡單的例子中，我們其實已經能發現，不變數往往和「分類」這個主題密切相關。其實，以我個人十分微小的閱讀量來妄言，很多數學（求輕噴233）似乎就是在分類各種對象...而尋找不變數就成了這些分類工作中最關鍵的一步。如果帶著這種分類的觀點來看很多數學教材，理解和感悟會越發深刻。。。

瀉藥。

不變數首先要知道變是什麼，一般理解成一個category裡面的morphism好了。那這個不變數就是說針對這個category在morphism下保持不變的一種性質而已。ie 先有變換才有不變數

vector space的linear map最基礎的可能是distance跟angle吧
space of linear map之間的conjugation就包括determinant trace etc

另外一種理解方法就是一個廣義的function（functor）是well defined：不論你取的什麼x 在一個class裡面都是一個y。比如linear map無論取什麼basis determinant trace都是一樣的；比如left derived functor你取什麼projective resolution也是一樣的。

個人理解

要說不變數必然先說是針對具體什麼變換。研究不變數，就是研究事物的本質，排除一切干擾因素，直指本心。哪些無關，哪些有關。

不太嚴格地說，一個數學對象（在某類變換下）不改變的性質通常可以通過不變數來描述；換句話說，不變數的概念是在對數學對象分類的問題中自然出現的。

在有限維實線性代數裡面的例子：

對象是線性映射， $T:mathbb{R}^m ightarrowmathbb{R}^n$ ，它在不同的基下的表示對應的矩陣M的秩是不變數，特別當rank M=m則T是單射，rank M=n則T是滿射；當m=n時，T的表示的行列式的符號在相似變換下是不變數: det T=0時T是退化的，sgn det T = 1 或者 -1對應T是保定向或反定向的情況；實對稱矩陣的正定、負定子空間和核的維數也是不變數Sylvester"s law of inertia，這可以用於平面二次曲線的分類。

典型的比如1在log和它的反函數裡面的概念。意義就從不變數的特殊性質衍生到實際應用，比如二進位，電子元件只有開和關也就是0和1這樣的不變數，然後衍生到現在的互聯網世界。借用易經的話太極生兩儀，兩儀生四象從無到有就是意義。