有哪些數學問題在高維和低維上情況比較簡單，唯獨在中間某個維數上很複雜？

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簡單可能是因為這個問題在某些維度下是trivial的

我記得繩結問題是這樣的，二維及以下不足以形成繩結，四維及以上沒有死結（都能拉成一根直線），只有三維才有各式各樣的繩結。

好吧，既然有大佬表示太抖機靈了，我就解釋一下，一般來說，N維球能在N+2維空間內扭結，且必能在N+3維空間內解開。對於繩結，就是N=1的情形。而弦論，就是高維扭結理論的應用。

偶數維標準球面S^{2n}上復結構是否存在問題。

非6維的情況相對簡單。6維情況相當難證明！

exotic sphere是個很典型的例子。

拓撲里刻畫一個幾何對象的連續性有「強度」上的不同，大體上可以按照連續&<分片光滑&<光滑這個樣子。如果兩個幾何對象光滑同胚，那麼它們顯然在連續的意義下也拓撲同胚，但反之不然。Milnor之前人們沒有意識到這個問題，後來Milnor找到了第一個7維exotic sphere的反例，他發現在7維存在和歐式拓撲的標準球連續同胚但不光滑同胚的例子。後來大家發現了一堆這樣的例子，並且建立的cobordism這種理論來對exotic sphere分類。以上是background，下面說一些結論。

對於exotic sphere，對維度n&>=7的怪球的分類已經完成，對於n&<7但不等於4，可以證明不存在拓撲結構相同但微分結構不同的怪球。而n=4的情況，究竟是否存在微分不同胚的怪球到現在都是一個難題。

其他我能想到的一些例子，有時間慢慢補上一些慢慢補上一些細節

比如說R^4上，存在無窮多種微分結構，但其他R^n上微分結構唯一；

三維的knots理論；

4維Riemann流形上曲率的1/4 pinch定理，這個已經被Ricci flow的方法解決了；

最後說說和物理的關係，7維怪球最早被Witten用來作為11維supergravity里的configuration來理解gravity instanton；R^4上無窮多微分結構的發現是由於Donaldson-Witten theory用instanton對四維流形的分類的啟發而得到的；三維的knots和Chern Simon量子場論，以及低維超對稱場論之間的深刻聯繫。

（光滑）Poincare猜想在2維和大於等於5維相對簡單
3維很複雜
4維目前沒辦法

四維歐式空間上的微分結構，四維球面上的微分結構。

龐加萊猜想啊，二維和大於等於4維都相對簡單，三維就變得奇難無比...

龐加萊猜想……3維的時候最難

Erdos和二項式係數非冪。無限的都很簡單，到了有限卻變難了。這讓我想起了孿生素數猜想和張益唐。

19路的圍棋（GO）。

強答一個關於圖頂點染色的命題：

定義： Gc, m =（V,E）= 一個V (頂點數）最小的c色圖，它含Km, 但不含K（m+1）子圖。

顯然的，在三維空間和一維空間，V（Gc,m） &< V（Gc,m-1）都能成立。

但不能直接推論它在二維空間成立（猜測目前我們缺少一個基礎定理，它是什麼呢？我總感覺它是存在的。希望有能力的研究者思考一下。）。

如果成立，再假設5色平面圖存在，則有V（G5,4） &< V（G5,3），可得最小平面5色圖必然含K4子圖，結合已知的一個結論（最小平面5色圖不可能含有含K4子圖），推出矛盾，故四色定理得證。

其實V（Gc,m） &< V（Gc,m-1）在二維也是成立的。從四色定理反推，即可證明。