連續函數是否可以在某個區間處處不可導？

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我想來想去，只能想像連續函數在有限個點上不可導的情況。在某個區間處處不可導可能嗎？可以請說明，不可請舉反例。

魏爾斯特拉斯函數

複變函數里，這樣的函數俯拾皆是，順手可得。

講個大多數人學過的吧。
上中學知道布朗運動吧，
數學上的布朗運動的軌跡處處連續但不可導。
（因為是隨機過程，準確的說法是: 處處連續且不可導的概率是1）

而布朗運動的軌跡可以看成其他人提到的「維爾斯特拉斯函數」的一種，
把各項係數用隨機變數替換再取極限。

我斗膽幫樓主直觀的理解一下。講錯了歡迎打臉。我們所說的「可導」可以理解為，把這個函數的某一個部分放大再放大，用顯微鏡觀察，甚至提高顯微鏡的放大倍數，最後總會發現它差不多是平整的，是可以在足夠小的一段空間里用直線去近似的。
但是有很多東西並沒有上面說的好性質。它們無論如何放大，都是大幅度變化的。學習高數的時候我們研究過sin(1/x)，發現x越接近0，函數波動越劇烈，即使用放大倍數更高的顯微鏡來觀察這個函數圖像，也無法在x=0附近找到找到足夠小的區域，使得函數可以用直線去近似。間斷也好，不可導也罷，我們可以把類似的思路向無窮上面推廣，想像這樣的情況：整個函數的每一處都是如此，即使放大，再放大，它依然是大幅度變化的。比如上面說的維爾斯特拉斯（Weierstrass）函數，離遠看它是鋸齒，放大看它依然是鋸齒，無論怎麼放大都是鋸齒。所以處處連續處處不可導。布朗運動曲線也是如此。現實中，考慮海岸線，在地圖上看它是彎彎的曲線，但增大地圖的精度，減小比例，海岸線依然是曲折的曲線，就算實地考察，精度更高，海岸線還是曲折的，不會變平緩，這也可以看作處處連續處處不可導，有興趣的話找一些關於「分形」的科普，就會發現這種例子其實很多。
以上是實變數函數的性質。如果把使用的數學推廣到複數範圍，由於數系本身的性質發生了根本的改變，使得可以輕易的構造處處連續處處不可導的函數。有興趣的話可以找一本教材看看。複變函數也是理工科的基礎課，並不是太高深的理論。

雲朵邊界

Weierstrass function
魏爾斯特拉斯函數

f(x)=∑(b^n)cos[(a^n)πx] (n=0到+∞)

這個最後得到圓一樣的東西就是處處連續不可導了

當然可以～如下圖～

尖端處就都不可導（左右導數不相等），無限分下去，就每個點都不可導啦～o(∩_∩)o

這是一個比較有名的問題，好幾位數學家在十九世紀就已經構造出了處處連續處處不可導的函數。這名字牛逼到爆了有沒有！
圖大概是不規則的鋸齒形的，我在數學大師的創造與失誤里看到的，你搜一搜肯定有