兩個實數之間有無窮多個數，那麼一個實數旁邊難道不是像一串珠子一樣緊挨著另一個數字嗎？

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如在概率論中事件X小於x和事件X小於x+1/n在n為1到正無窮的交集是兩個同樣的事件，難道不存在一個數字緊挨著x又小於x+1/n嗎？

這個問題等價於，實數0的下一個實數是什麼？這個問題的答案很明確，沒有。我們可以用反證法來證明：

假設0的下一個實數是 $0$ ，那麼有 $0 < frac{0+0$ ，與假設矛盾，所以不存在 $0$ 。

這其實是連續統的性質：

稠密：在任意兩個元素之間存在第三個元素
無洞：有上界的非空子集一定有上確界

因為實數是連續統，所以符合稠密性，所以沒有下一個數。模糊的說來就是，「實數可以連續的變動」。

但是，我相信，這是相當反直覺的，估計很多人初次接觸的時候都很難接受實數沒有下一個數這樣的一個事實，並且難以想像實數是怎麼連續變動的。我嘗試分享下我是怎麼建立直覺。

要理解這個問題需要基於對無窮的理解，要把無窮講清楚我個人覺得在一篇小文裡面做到還是很困難的，我也不想講太細了，要不然偏題太多了。畢竟無窮是一次人類思維的大飛躍。如果有什麼問題可以提出來進行討論。

1 無窮的一些性質

先列一下：

無窮和有限非常不一樣，很多性質都無法直接照搬
無窮的部分可以和整體一樣多
同樣是無窮，實數的個數就比自然數的個數多

1.1 希爾伯特旅館悖論

這是很著名的一個悖論，我這裡簡單的複述一下：

讓我們先從這裡開始，上面用數學符號來表示，不嚴格的可以表示為： $infty =infty +1$ （為什麼說不嚴格呢？因為無窮沒有加減法）。我們可以看到，無窮和有限非常不一樣。

上面可以這麼理解，偶數雖然是自然數的一部分，但是偶數（房間）也足夠容納所有的自然數了（用集合論的話來說，就是偶數和自然數等勢）。可以看到，在無窮裡面，部分和整體可以一樣多。

我們還可以用數學符號來表示， $f:$ 偶數 $o mathbb {N}$ ，也就是說這是一個偶數到自然數的一一映射。

1.2 實數的無窮比自然數的無窮多

簡單點說，你找不到一個函數，定義域在 $mathbb {N}$ 上，值域在 $mathbb {R}$ 上，即 $f:mathbb {N} o mathbb {R}$ 不存在。

直觀點的話，你可以這麼考慮：

上面證明了，實數比自然數多，哪怕你覺得難以想像，我覺得應該也可以認識到自然數和實數有本質的不同。

注意到這點不同，我們就沒有理由要求實數和自然數的性質完全一樣，比如說自然數有後繼數，實數卻不一定需要有（其實有理數數目和自然數一樣多，我們稱為可數，但是也沒有後繼數，因為有理數也是稠密的）。

前面說了那麼多，是因為無窮的直覺需要一點點建立。我希望通過前面的講解可以對我最開頭說的無窮的性質有一點認識，如果需要更多了解，可以看下科普書籍，《從一到無窮大》。

2 全體實數與 $(0,1)$ 開區間

我們注意到， $(0,1)$ 這個開區間和全體實數一樣多，要說明這件事情很簡單，我只需要找到一個函數，其定義域為 $(0,1)$ ，值域為 $mathbb {R}$ 就可以了，即找到 $f:(0,1) o mathbb {R}$ 。

這個函數很容易找到， $f(x)=tan((x-frac{1}{2})pi )$ ：

為什麼要畫出這個曲線呢？是因為我想借用無窮大的直覺（假如有的話），對於這個函數，無窮大是無法到達的，只能無限的靠近：

如果能夠理解函數值在 $(0,1)$ 開區間兩端無限靠近無窮大的話，那麼：

換句話說，如果0的下一個數 $0$ 存在，那麼 $f(0$ ，但是 $-infty$ 並非是在該函數的值域( $mathbb {R}$ 也可以寫成 $(-infty ,infty )$ ，這也是開區間，不包含端點)。

我就是這麼建立直覺的，0沒有下一個數，就和沒有無窮大是一個道理。

3 接受之後的思考

接受0沒有後繼數，以及相應的直覺後（進一步說，就是接受連續統），開始回頭思考，重建數學觀。

之前把實數點看作是一個點，線段是一個個點挨在一起，那麼我們就會面臨一個問題，幾個點放在一起才會形成線段？兩個點肯定不行，三個點呢？並且我們知道實數點是沒有長度的，那麼為什麼無數多個0加在一起可以有長度？這些問題都需要在連續統中得到解釋。

我們對數學的認識是從自然界中的實在開始的，自然界的實在界限分明，一個蘋果可以緊挨另外一個蘋果，所以我們發明了自然數，我們也很自然的認為每一個數都應該有一個後繼。

就算目前物理學深入了很多，但是物質依然是量子化的，物質的尺度的下限就是普朗克長度，時間的下限是普朗克時間。哪怕是連續的時間也是被切割成一個個時間片的，比如電腦CPU的時鐘頻率。

而且，現實世界中，所有的都是有限的，連續是一個無限的概念，所以我們很難真正的認知什麼是連續，什麼是連續統。

所以，我們難以接受連續統，是因為我們受制於自身的感官觀測能力。就像我們難以想像四維、五維空間一樣。

況且數學也沒有說一定要有現實中的對應物，數學不關心世界，只關心是否自洽。不過往往最後現實都和數學不期而遇。

4 連續統這個問題重要嗎？

肯定是相當重要的問題，涉及到數學的根基。

比如：

為什麼我會懷疑它在 $(a,b)$ 上的可導性呢？因為如果 $a$ 有後繼數 $a$ ，那麼根據導數的定義， $a$ 只有右側導數（左側無定義）。哪怕忽略 $a$ 的問題，就認為單側導數是OK的，但是 $a$ 的後繼數 $a$ 呢？其左側鄰域只有一個點，這還能算鄰域嗎？

還有些問題，是學到拓撲、數分、測度遇到的一些純數學問題，這裡就不展開了。

數學的基礎必須要牢靠，上面的問題才能獲得解答，更重要的是，數學的嚴格性是數學的立命之本。

設有一個實數A，假設如題主所說的那樣有一個緊挨著A的實數B&>A，即定義「緊挨著」的意思是A和B之間不會再有第三個實數。那麼考慮A和B的算數平均數，(A+B)/2，這個數應該是比A大且比B小，所以我們找到了一個落在A和B之間的實數。矛盾。所以我們不可能找到一個緊挨著A的實數B&>A，使得A和B之間不存在第三個實數，亦即不可能找到實數B緊挨著實數A。

題主問題描述有誤， $left{ X<x ight} =igcap_{n=1}^{infty} left{ X<x+frac{1}{n} ight}$ 是錯的，
正確的是 $left{ Xleq x ight} =igcap_{n=1}^{infty} left{ X<x+frac{1}{n} ight}$ 。

Q在R中稠密啊......任意兩個實數間都有有理數啊....

怎麼可能是一串珠子呢......

去了解何為戴德金分割吧

frac{dy}{dx}