函數在閉區間內可導能否推出其導數在該區間連續？

12-27

「函數可導，其導函數是否一定連續」？這個問題的答案是，不一定連續。

有些同學我估計審題就審錯了，把這個問題看成了「可導是否一定連續」。排除開這種粗心大意的情況，這個問題還是有點反直覺。首先，看著函數研究它的導函數，本身就隔了一層，需要一些想像力；其次，這個導函數並不普通。

1 可以間斷的導函數

講到不連續，我們腦海中的圖像應該是這樣的（可去間斷點）：

或者是這樣的（跳躍間斷點）:

還有這樣的（無窮間斷點，我覺得看起來就好像飛機的尾跡）:

但是這三種間斷點都不能作為導函數，換句話說，存在這三種間斷點的函數沒有原函數（文章最後會給出證明）。

只有下面這種間斷點可能有原函數（振蕩間斷點）：

至此，我們總結一下（原函數存在法則還是很重要的，雖然《高等數學》同濟版上沒有提到）：

可去間斷點、跳躍間斷點、無窮間斷點沒有原函數
振蕩間斷點可能有原函數

由於導函數存在的間斷點的特殊性，並且振蕩間斷點是很難想像的（間斷點的圖像實際是畫不出來的，現實中我也想不出有啥對應物），所以我們往往覺得「導函數必定連續」。

下面讓我們來研究一下振蕩間斷點以及原函數存在的情況。

2 振蕩間斷點的產生

$sin(x)$ 是一個我們非常熟悉的周期函數。它的周期為 $2kpi$ ：

而 $frac{1}{x}$ 是非一致連續的函數，這個函數有個特點：

具體關於一致連續的問題還請參看函數連續和一致連續有什麼區別？開區間上的連續函數不一定是一致連續的，為什麼？這篇文章。

所以這兩個函數結合起來之後，成為 $f(x)=sin(frac{1}{x})$ 之後產生了化學反應， $x$ 越靠近0，其震蕩越厲害，可以自己動手試試：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

最後就形成了這樣的圖像，我們已無法判斷函數在0點附近的幾何圖像：

此時函數在0點振蕩間斷了。關於 $f(x)=sin(frac{1}{x})$ 在0點不連續的代數證明可以參看如何通俗解釋海涅定理？這篇文章。

3 從振蕩間斷到連續

將上述函數稍加改造：

因為 $-1 le sin(frac{1}{x}) le 1$ ，所以 $-|x| le xsin(frac{1}{x}) le |x|$ ，所以我們用夾逼定理很容易證明我們在上圖中構造的 $f(x)$ 在0點處是連續的。

當我用夾逼定理來看待 $f(x)$ 的時候，從幾何上看就好像夾板把這個彈簧的壓縮了一樣，下面這個互動我可以玩一天：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

可以看出在0點附近， $f(x)$ 被夾板壓縮了，想振蕩也沒有空間振蕩了，被逼的連續了。

我們繼續推一下:

$egin{eqnarray} left.egin{aligned} -|x| le xsin(frac{1}{x}) le |x|\ h(x)=-|x|\ g(x)=|x| end{aligned} ight} implies frac{h(x)-h(0)}{x-0}le frac{f(x)-f(0)}{x-0} le frac{g(x)-g(0)}{x-0} end{eqnarray}$

從上面這個式子我們可以看出， $f(x)$ 的導數和 $h(x)$ 、 $g(x)$ 的導數大有關係。

根據夾逼定理，若夾逼的 $h(x)$ 、 $g(x)$ 函數在此點導數存在且相等，則函數在此點可導，導數值為夾逼函數在此點的導數值,我們暫且稱它為夾逼定理之導數版。

很遺憾，上面的看法是錯誤的，根據夾逼定理， $h$ 與 $g$ 不存在的時候，必須用別的方法去判斷 $f$ ：

$f$ ，即 $f(x)$ 在 $x=0$ 點並不可導。

4 從連續到可導

繼續改造 $f(x)$ ：

$egin{eqnarray} f(x)= egin{cases} x^2sin(1/x) x eq 0cr 0, x=0 end{cases} end{eqnarray}$

我們容易推出， $h(x)=-|x|^2 le x^2sin(frac{1}{x}) le g(x)=|x|^2$ :

至此， $f(x)$ 終於可導了，但是它的導函數：

$egin{eqnarray} f$

用海涅定理也很容易證明：

取 $x_n=frac{1}{npi} o0$ 。則:

$displaystylelim_{n oinfty}2xsin(frac{1}{x_n})-cos(frac{1}{x_n})=(-1)^n$

這個極限是不存在的。因此 $f$ 在 $x=0$ 處極限是不存在的，繼而 $f$ 在 $x=0$ 處不連續。

5 構造多點不連續的導函數

上面我們從一個周期性函數 $sin(x)$ ,和一個非一致連續的函數 $frac{1}{x}$ 出發,構造出了導函數具有一個間斷點的函數。

我們還可以據此，構造出導函數具有兩個間斷點的函數：

$egin{eqnarray} f(x)= egin{cases} x^2(1-x)^2sin(frac{1}{x(1-x)}) 0 < x < 1cr 0, else end{cases} end{eqnarray}$

它的導數圖像如下:

根據這個方法甚至可以創造導函數具有無窮多個間斷點的函數。

6 原函數存在定理的證明

試證明：含有一類間斷點、無窮間斷點的函數 $f(x)$ 在包含該間斷點的區間內必沒有原函數 $F(x)$ 。

證：假設 $F(x)$ 為 $f(x)$ 的原函數 $implies F$ ，設 $x=x_0$ 為間斷點，分情況討論：

(1) 設 $x=x_0$ 為第一類可去間斷點，有 $displaystyle lim_{x o x_0}f(x) eq f(x_0)$ 。而 $displaystyle F$ ，使用洛必達法則得到 $F$ ，即 $displaystyle lim_{x o x_0}f(x)= f(x_0)$ ，矛盾，所以 $F(x)$ 不存在。

第一類跳躍間斷點和無窮間斷點同理可證。

不可以，但我們有下述最佳結果
命題. 設 $f:[a,b] ightarrowmathbf{R}$ 是函數， $f$ 在 $[a,b]$ 上可微，那麼 $f$ 的連續點在 $[a,b]$ 中稠密
見周民強《實變函數論》 P54 思考題5
可以見這個問題：存在導函數每一點都不連續的函數嗎？

不能。例如 $f(x)=x^2sinfrac{1}{x}$ ，在x=0處可以按照定義計算導數值為0，x非0時按照公式可以求得 $f$ ，因此在x=0處不連續。
zero的問題在於混淆了左右導數和導數的左右極限。

不可以，反例如下：
f(x)=x^2sin(1/x) 在[-1,1]上處處可導。但 f " (0)=0, f " (x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)，在0 點不連續。

這種問題參考汪林的《實分析中的反例》，反例專家。。。

首先已經有人提到了 $f(x) = egin{cases} x^2 sin frac1x x eq 0\ 0 x=0 end{cases}$ ，這個函數是在0點可導但導數不連續。利用這個函數可以構造（作替換 $x o x(1-x)$ )在區間端點可導但導數不連續的函數，然後再把這個函數壓縮一下定義到每個三分區間上，就得到了一個在 Cantor 集上滿足條件的函數。當然也可以定義到 fat Cantor set 上。

這樣的函數叫做 Volterra 函數（wiki Volterra"s function）。

$f$ 構造的想法是這樣的，首先你得知道 $sin frac1x$ 這個函數，它在原點不連續，而且非jump discontinuity（導函數不會有這樣的間斷點）。然後用光滑的 $x^2$ 把它擠到原點使它在0點可導（這個函數被加在了 $pm x^2$ 之間）。類似的如果想構造兩個這樣的點， $sin frac1{(x-1)(x+1)}$ 在±1處有類似 $sinfrac1x$ 這樣的性質，然後用類似 $x^2$ 但具有兩個極值點的 $(x-1)^2(x+1)^2$ 把這個函數的不可導點擠壓成光滑的。

x2sin(1/x) 補充零點定義為0
這個函數可導，但導函數在0出應該是第二類間斷點。
我沒仔細算。。。。
如果我失算了，那就改成x的一點五次方乘sin。。。。這次絕對不失算。。。。