如何用一句話概括拓撲學、泛函分析、實變函數講的是什麼？

12-27

就本科課程而言，拓撲講連續映射，泛函講有界線性運算元，實變講 Lebesgue 積分。

我覺得無論是未經訓練的素人還是受過一定數學訓練的人，這點認識都會是有好處的:
拓撲是為了確定畫的出來或者畫不出來的幾何對象定義什麼是「形狀」。
實變是希望能夠為任意一個可能很糟糕或者抽象的形狀確定面積(因為有了面積才可以積分)。
泛函是希望能夠為一個(無窮維)的線性空間確定一個幾何，並且探討這種幾何跟它的代數運算的關係，以及如何在不同的空間之間建立聯繫。希望能夠模仿普通的歐式空間的「行為」

拓撲：討論什麼是「遠」，什麼是「近」。

實變：建立一種可以放心大膽地求積分和在積分號下取極限的積分理論。

泛函：研究由函數組成的空間的代數與拓撲結構及它們之間的線性映射。

一句話：拓撲是現象的抽象，泛函是關係的抽象，實變是描述的抽象。

看問題題主應該不是非常深入高層數學了，下面按照本科大三的觀點談一下自己的見解。

一句話1：拓撲是研究連續變化的數學，泛函相當於是無限維空間上的線性代數，實變函數就是在全力消滅黎曼積分的局限性。

一句話2：為了消除課程名稱的晦澀：拓撲就是一門幾何學，泛函主要是用代數的方法在研究變數為函數的函數，實變函數主要由測度與積分組成。

至於三門課中的主要結論和中心定理，由於一句話所限，還是略去吧。

實分析是肉眼, (點集)拓撲學是顯微鏡, 泛函分析是望遠鏡.

實變研究條件更寬鬆的微積分。（通常局限於實數範圍的勒貝格測度與積分，但不是必須的）
泛函研究函數的函數。（通常的課程講線性泛函分析初步，以巴拿赫空間和希爾伯特空間上的線性運算元為主）
拓撲研究怎樣在一般意義下刻畫抽象空間。（主要圍繞收斂，鄰域，連續映射這些概念）

拓撲：
在連續變形下有沒有保持不變的東東？
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泛函：
函數的函數有啥意思？
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實變：
啥是測度？如何在集合論（代表著嚴格）意義上去「量」某個東東的長度？

拓撲學：解釋什麼叫連續
實變函數：解釋什麼是體積
泛函分析：如何在線性空間上做分析學

拓撲：保持開集結構不變的理論
實變：更加「嚴密」的微積分
泛函：無窮維線性代數

拓撲學：如何用基本群區分整體結構不同的空間。

泛函分析：無窮維的線性空間和矩陣是什麼樣子。

實變函數：無窮多個奇點的函數怎麼積分。

「分析」最核心最直觀的思想是運用動態變化的觀點來研究客觀世界的量變關係，無論是古典的微積分和實分析還是以泛函分析為代表的近代分析，最突出的特點是研究這種動態變化，如極限、連續、微分等概念。

拓撲學：利用開集公理定性描述極限、連續性的語言

實變函數：利用測度來嚴格描述經典微積分的語言

泛函分析：結合代數、拓撲的語言來研究有限維和無限維空間上的分析學

謝@蔣子恆邀。
還沒學完，跑來口胡一下：

拓撲：終極目的是將拓撲空間分類，分類是點集拓撲和代數拓撲，本科的課程主要研究對象為連續函數；
實變：目的是建立更加普適的積分理論；
泛函：無窮維線性空間上的線性運算元，簡單的比如線性泛函，當然還有非線性泛函分析，暫且不表。（沒學過，逃）

用分號代替句號是不是耍賴皮……頓時想到我們高中數學老師號稱一行做完最後一道大題的梗……幾乎寫到黑板外面……

PS:一直沒說話，蔣兄莫怪。覺得還沒有資格回答這個問題。。。在知乎一直是潛水黨，破個例試答一下吧～
覺得這個問題應該是面向沒有學過的讀者，要求又是一句話，所以盡量寫的科普向一些

拓撲學：拓撲空間的同倫不變數
泛函分析：無窮維的代數學
實變函數：測度空間上的積分與微分

最近看了網上的一個實變函數的課程。四川大學陳闖主講，我覺得他講得不錯。在一次課堂上，他大概回答了這個問題。實變函數的核心是測度和有限維函數空間的研究，泛函分析核心概念是距離，賦范空間，無窮維空間的研究。拓撲是代數幾何的高度融合。

本科的話。語言、語言、語言。

實變函數: 放寬條件的微積分(基於勒貝格測度)
點集拓撲: 拓撲空間和他們之間的連續映射
泛函分析: 拓撲空間的特例(賦范線性空間)上的映射
僅適用於本科生課程

研究生課程的實分析好像就完全是另一回事了

拓撲：一切和度量有關性質的推廣

泛函：函數的推廣

實變：傳統微積分的推廣

拓撲大概是

從本質上理解幾何吧？

不懂，輕噴。

天書！

豈有此理

橡皮泥幾何，有界線性運算元，有限個區間並集它親戚。