如何通俗地解釋泰勒公式？

12-27

能不能用通俗的語言解釋下什麼是泰勒公式。

泰勒公式一句話描述：就是用多項式函數去逼近光滑函數。

先來感受一下：

此處有互動內容，需要流量較大，最好有wifi處打開，土豪請隨意。
點擊此處前往操作。

設 $n$ 是一個正整數。如果定義在一個包含 $a$ 的區間上的函數 $f$ 在 $a$ 點處 $n+1$ 次可導，那麼對於這個區間上的任意 $x$ 都有： $displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{N}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^ n+R_ n(x)$ ，其中的多項式稱為函數在 $a$ 處的泰勒展開式， $R_ n(x)$ 是泰勒公式的余項且是 $(x-a)^ n$ 的高階無窮小。----維基百科

泰勒公式的定義看起來氣勢磅礴，高端大氣。如果 $a=0$ 的話，就是麥克勞倫公式，即 $displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{N}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n+R_ n(x)$ ，這個看起來簡單一點，我們下面只討論麥克勞倫公式，可以認為和泰勒公式等價。

1.多項式的函數圖像特點

$sum _{n=0}^{N}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n$ 展開來就是 $f(0)+f$ ， $f(0)$ ， $frac{f$ 這些都是常數，我們暫時不管，先看看其中最基礎的組成部分，冪函數有什麼特點。

可以看到，冪函數其實只有兩種形態，一種是關於 $Y$ 軸對稱，一種是關於原點對稱，並且指數越大，增長速度越大。

那冪函數組成的多項式函數有什麼特點呢？

怎麼才能讓 $x^2$ 和 $x^9$ 的圖像特性能結合起來呢？

我們來動手試試看看係數之間如何壓制的：

此處有互動內容，需要流量較大，最好有wifi處打開，土豪請隨意。
點擊此處前往操作。

通過改變係數，多項式可以像鐵絲一樣彎成任意的函數曲線。送你一顆心（雖然是隱函數，意思一下）：

2.用多項式對 $e^ x$ 進行逼近

$e^ x$ 是麥克勞倫展開形式上最簡單的函數，有 $e$ 就是這麼任性。

$e^ x=1+x+frac{1}{2!}x^2+cdots + frac{1}{n!}x^ n + R_ n(x)$

增加一個 $frac{1}{4!}x^4$ 看看。

增加一個 $frac{1}{5!}x^5$ 看看。

可以看出， $frac{1}{n!}x^ n$ 不斷的彎曲著那根多項式形成的鐵絲去逼近 $e^ x$ 。並且 $n$ 越大，起作用的區域距離0越遠。

3.用多項式對 $sin(x)$ 進行逼近

$sin(x)$ 是周期函數，有非常多的彎曲，難以想像可以用多項式進行逼近。

$sin(x)=x-frac{1}{3!}x^3+cdots +frac{(-1)^ n}{(2n+1)!}x^{(2n+1)}+ R_ n(x)$ 。

同樣的，我們再增加一個 $frac{1}{7!}x^7$ 試試。

可以看到 $frac{1}{7!}x^7$ 在適當的位置，改變了 $x-frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5!}x^5$ 的彎曲方向，最終讓 $x-frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5!}x^5-frac{1}{7!}x^7$ 更好的逼近了 $sin(x)$ 。

一圖勝前言，動手看看 $sin(x)$ 的展開吧：

此處有互動內容，需要流量較大，最好有wifi處打開，土豪請隨意。
點擊此處前往操作。

4.泰勒公式與拉格朗日中值定理的關係

拉格朗日中值定理：如果函數 $f(x)$ 滿足，在 $[a,b]$ 上連續，在 $(a,b)$ 上可導，那麼至少有一點 $heta$ ( $a< heta <b$ )使等式 $f$ 成立。----維基百科

數學定義的文字描述總是非常嚴格、拗口，我們來看下拉格朗日中值定理的幾何意義：

這個和泰勒公式有什麼關係？泰勒公式有個余項 $R_ n(x)$ 我們一直沒有提。

余項即使用泰勒公式估算的誤差，即 $displaystyle f(x)-sum _{n=0}^{N}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^ n=R_ n(x)$

余項的代數式是， $R_ n(x)=frac{f^{(n+1)}( heta )}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}$ ，其中 $a< heta <x$ 。是不是看著有點像了？

當 $N=0$ 的時候，根據泰勒公式有， $f(x)=f(a)+f$ ，把拉格朗日中值定理中的 $b$ 換成 $x$ ，那麼拉格朗日中值定理根本就是 $N=0$ 時的泰勒公式。

結合拉格朗日中值定理，我們來看看 $N=0$ 的時候，泰勒公式的幾何意義：

當 $N=0$ 的時候，泰勒公式幾何意義很好理解，那麼 $N=1,2,cdots$ 呢？

這個問題我是這麼理解的：首先讓我們去想像高階導數的幾何意義，一階是斜率，二階是曲率，三階四階已經沒有明顯的幾何意義了，或許，高階導數的幾何意義不是在三維空間裡面呈現的，穿過更高維的時空才能俯視它的含義。現在的我們只是通過代數證明，發現了高維投射到我們平面上的秘密。

還可以這麼來思考泰勒公式，泰勒公式讓我們可以通過一個點來窺視整個函數的發展，為什麼呢？因為點的發展趨勢蘊含在導數之中，而導數的發展趨勢蘊含在二階導數之中......四不四很有道理啊？

5.泰勒公式是怎麼推導的？

很多同學看到這段時，可能有點看不懂，我在牛頓插值的幾何解釋是怎麼樣的？ - 知乎，這個回答里嘗試重新作答了。

根據「以直代曲、化整為零」的數學思想，產生了泰勒公式。

如上圖，把曲線等分為 $n$ 份，分別為 $a_1$ ， $a_2$ ， $cdots$ ， $a_ n$ ，令 $a_1=a$ ， $a_2=a+Delta x$ ， $cdots$ ， $a_ n=a+(n-1)Delta x$ 。我們可以推出（ $Delta ^2$ ， $Delta ^3$ 可以認為是二階、三階微分，其準確的數學用語是差分，和微分相比，一個是有限量，一個是極限量）：

$f(a_2)=f(a+Delta x)=f(a)+Delta f(x)$ $f(a_3)=f(a+2Delta x)=f(a+Delta x)+Delta f(a+Delta x)=f(a)+2Delta f(x)+Delta ^2f(x)$ $f(a_4)=f(a+3Delta x)=f(a)+4Delta f(x)+6Delta ^2f(x)+4Delta ^3f(x)+Delta ^4f(x)$

也就是說，f(x)全部可以由 $a$ 和 $Delta x$ 決定，這個就是泰勒公式提出的基本思想。據此的思想，加上極限 $Delta x o 0$ ，就可以推出泰勒公式。

6.泰勒公式的用處

多項式這種函數是我們可以親近的函數，它們很開放、很坦白，心裡想什麼就說什麼，比如 $f(x)=2-3x$ ，這個多項式會告訴我們想問的任何消息，甚至更多，譬如，我們問：「嘿，老兄，你在4那點的值是多少？」這時 $f(x)$ 會毫不猶豫的回答：「你把4代進來，就會得到 $2-3 imes 4=-10$ ，順便告訴你，我最近長了奇怪的疹子，癢的要命，還好這兩天癥狀減輕了...」。但是 $ln(x)$ 陰暗、多疑，要是問它：「嗨，你在3的值是多少啊？」你得到的答案可能是：「你要幹什麼？為什麼打聽別人的私事？你以為憑著你那點加減乘除的三腳貓功夫就可以查出我的底細？況且我在3的值是多少，干你什麼事！」----《微積分之倚天寶劍》

泰勒公式最直接的一個應用就是用於計算，計算機一般都是把 $sin(x)$ 進行泰勒展開進行計算的。

泰勒公式還可以把問題簡化，比如計算， $displaystyle lim _{x o 0}frac{sin(x)}{x}$ ，代入 $sin(x)$ 的泰勒展開有： $displaystyle lim _{x o 0}frac{sin(x)}{x}=lim _{x o 0}frac{x+o(x^3)}{x}=1$ ，其中 $o(x^3)$ 是泰勒公式裡面的余項，是高階無窮小， $displaystyle lim _{x o 0}o(x^3)=0$ 。解題神器有沒有？

如果你對於高等數學有一定的心得，請忽略此答案。
如果你是剛剛學習高等數學，接觸到了泰勒公式，請繼續看下去。

讓我們避開繁瑣的推理，從曾經學過的知識慢慢了解泰勒公式。
在高等數學的課程上，高數老師出了幾道運動學的習題。
① 一小滑塊以 $v_{0}$ 的初速度，從 $x=$ $s_{0}$ 處運動(以向右為正方向)，求 $t$ s時小滑塊的路程 $S$ 。
坐在台下的你拍腿大叫so easy，以迅雷不及掩耳之勢寫下了第一題答案。
$S=s_{0} +v_{0} t$ $S^{$
② 一小滑塊以 $v_{0}$ 的初速度， $a$ 的加速度，從 $x=$ $s_{0}$ 處運動(以向右為正方向)，求 $t$ s時小滑塊的路程 $S$ 。
不難！高中也學過的樣子！
$S=s_{0} +v_{0} t+frac{1}{2} at^{2}$ $S^{$ $S^{$
③一小滑塊以 $v_{0}$ 的初速度， $a$ 的初加速度， $b$ 的初加加速度，從 $x=$ $s_{0}$ 處運動(以向右為正方向)，求 $t$ s時小滑塊的路程 $S$ 。
初加加速度？什麼鬼，就是加速度對時間求導吧，好像也不難。
$S=s_{0} +v_{0} t+frac{1}{2} at^{2} +frac{1}{6} bt^{3}$ $S^{$ $S^{$ $S^{$

好了讓我們停下這簡單枯燥的物理題，把結果放在一起看一下有什麼規律。
① $S=s_{0} +v_{0} t$ $S^{$
② $S=s_{0} +v_{0} t+frac{1}{2} at^{2}$ $S^{$ $S^{$
③ $S=s_{0} +v_{0} t+frac{1}{2} at^{2} +frac{1}{6} bt^{3}$ $S^{$ $S^{$ $S^{$
似乎發現了那麼一點小意思，再讓我們稍微改變一下③中第一個式子的形式。
$S=s_{0} +frac{1}{1!} v_{0} t+frac{1}{2!} at^{2} +frac{1}{3!} bt^{3}$

這個時候，高數老師又出了一道新的題。
④一小滑塊以 $v_{0}$ 的初速度， $a$ 的初加速度， $b$ 的初加加速度， $c$ 的初加加加速度， $d$ 的初加加加加速度……從 $x=$ $s_{0}$ 處運動(表徵了一個小滑塊任意運動的情況)(以向右為正方向)，求 $t$ s時小滑塊的路程 $S$ 。
好像以你的智力並不可以想明白這個道題怎麼寫，不過不怕，你可以找規律。
$S=s_{0} +frac{1}{1!} v_{0} t+frac{1}{2!} at^{2} +frac{1}{3!} bt^{3} +frac{1}{4!} ct^{4} +frac{1}{5!} dt^{5} +frac{1}{6!}e t^{6}...$
讓我們根據①②③中 $S$ 的導數情況把 $v_{0}$ , $a$ , $b$ , $c$ 等換成與 $S$ 有關的式子。
$S=frac{s_{0}}{0!} +frac{S^{(1)}}{1!}t+frac{S^{(2)}}{2!}t^{2} +frac{S^{(3)}}{3!}t^{3}+frac{S^{(4)}}{4!}t^{4}+......frac{S^{(n)}}{n!}t^{n}$
等等，好像這個公式在哪裡見過。
泰勒公式： $f(x)=frac{f(x)}{0!} +frac{f(x)^{(1)}}{1!}x+frac{f(x)^{(2)}}{2!}x^{2} +frac{f(x)^{(3)}}{3!}x^{3}+frac{f(x)^{(4)}}{4!}x^{4}+......frac{f(x)^{(n)}}{n!}x^{n}$

你無意中居然推導出了「泰勒」公式，讓我們仔細看一看「推導」的過程。
勻速直線運動是泰勒公式 $n=1$ 的情況。
勻加速度直線運動是泰勒公式 $n=2$ 的情況。
……
一個任意的運動是泰勒公式 $n ightarrow infty$ 的情況。
開動我們機智的小腦瓜，總結一下上面的情況。
泰勒公式可以把一個可導的函數拆成若干個多項式之和。
當n越大，若幹個多項式之和逼近於原函數的值。

很多數學公式都是為了解決物理上的問題從而發明，我們借用了曾經學過的運動學知識，理解了泰勒公式。
——————————————分割線————————————————
為何要把一個好好的函數殘忍的分割開呢，具體有什麼應用呢。
下面舉幾個小栗子：

令 $f(x)=e^{x}$ ，當 $x=1$ 時，從而計算 $e$ 的值。
在計算機中，計算機可不會直接求 $cos(x)$ ， $sin(x)$ 等函數的具體值，通過泰勒公式展開函數可求其近似值。

不是說要用通俗的話解釋么……

高票答案的：「就是用多項式函數去逼近光滑函數」

好像……不太通俗吧……

=====================================

我嘗試用真正通俗的語言地解釋一下，首先我們看泰勒公式（麥克勞倫形式）的樣子：

容易看出，實際上就是從0這個點的函數值出發，然後把各階導數全部加起來。

下面的階乘不過是為了消掉X本身求導帶出的東西而已。

那麼我們想想為什麼要把導數全部加起來？

導數的意義是什麼？

我們都知道，在物理的時間-位移函數中，求一階導數就得到速度，說白了就是位移的變化率；

求二階導就得到了加速度，說白了就是速度（一階導）的變化率。

所以，容易看出，實際上每一階導數都是上一階導數的變化率。

至此，泰勒公式的含義就很明確了。

我們知道一個時點的值比如f(0)，然後我們想求f(x)，

我們只要讓函數從f(0)走到f(x)然後考慮過程中的所有變化就可以了。

舉例：一個老司機開車（考慮一維的情況）向前行駛，這人開車很任性，一下加速一下減速，完全由著性子來。那麼我知道他0時間在a這個位置，請問他2分鐘後開到了什麼位置呢？

首先直接速度乘以時間，不準確，因為這老司機開車的速度老在變化；

那我們考慮速度的變化，即考慮一個加速度，好像比剛才好點，但是還是不準確，因為這老司機一下踩油門一下踩剎車，連加速度都是變化的；

好，那我們再考慮加速度的變化……

由此一直考慮下去，如果我們能描述，這個開車的人在這兩分鐘里，每個時間的速度的變化，加速度的變化……我們就能得到兩分鐘後他的位置。

即：不論其車開得有多任性，只要我從初始點開始，把這個過程中的車的每一個變化，每一個變化的變化，每一個變化的變化的變化，每一個變化的變化的變化的變化……都考慮到了，就能近似得到最終目標點的情況。

而且越往後考慮，得到的結果越精確。

這就是泰勒展開的含義啦。

=====================================

補充：需要注意的是，泰勒公式適用於局部的近似。即，如果知道某點的值，我們可以用泰勒求出該點附近的點的值，如果兩個點離得很遠，泰勒公式就會產生很大誤差。

● 泰勒公式是在局部，用一個多項式函數，近似地替代，一個複雜函數。這一點，大家在前面的高票回答里已經很清楚了。現在，我想談談為什麼可以用多項式函數進行替代以及泰勒公式展開的本質。

方便大家理解，我只用最簡單的帶佩亞諾余項的麥克勞林公式做範例，後面大家可以用一般的泰勒公式自己分析一下。

● 一般教科書把麥克勞林公式寫成以下形式：

初學者可能有點懵逼，只是死記硬背，對這個展開式沒有直覺性的分析，覺得這個公式很不可愛。

但是，如果稍稍把階乘換個位置，譬如這樣：

這個公式一下子就變得和我一樣可愛。上一個公式只是為了方便求各階冪函數前的係數，而這種形式才更貼近泰勒公式的本質。

● 大家可以思考下，在泰勒展開式中，每一個冪函數與其搭配的同階的階乘的特點。可能還是沒有一眼看出來，但是如果我告訴你x^n的第n階導數是n！呢？也就是說，x^2的二階導數是2！，x^3的三階導數是3！，這樣你能看出什麼嗎？

是的，你會發現，在x=0這一點，對右邊多項式函數求三階導數，結果為f"""(0)，因為f(0)、f"(0)x、f""(0)x^2/2分別在一次求導，二次求導和三次求導中求導成了0；而後面的456更高階冪函數代入x=0全為0；x^3的三階導數是3！，和分母的3！約去，只剩下了f"""(0)這一項。——多項式函數的3階導數值就是f(x)的3階導數值。同理，多項式函數的4階導數值就是f(x)的 4階導數值，多項式函數的10086階導數值就是f(x)的10086階導數值。

● 大家可能就理解了，為啥泰勒展開式都是冪函數。這並非某些答案所說的因為冪函數很簡單，而是因為冪函數一旦與相應的階乘組合，就可以在對應階數求導後「消失」，只留下各階導數值。在這種意義上，泰勒展開並不是唯一的，因為任何在對應階求導後能夠消失並只留下導數值的函數，都可以作為泰勒展開的備胎。可惜的是，冪函數與階乘的組合，是我們已知的唯一具有上述性質的函數，因此，這種唯一性決定了泰勒展開能夠且僅能夠由冪函數表示。

● 因此反過來看，就算你沒有記住某個函數的泰勒展開式，你也是可以輕易算出每一階冪函數前面的係數的，由之前分析的結果可以很容易知道，x^7前面的係數為f(0)的第7階導數值/7！。這就是一般的泰勒公式把階乘放在各階導數值下的目的。

● 總結：泰勒公式的靈魂是導數值，而非冪函數。在展開的這一點，泰勒展開式與f(x)的每一階導數值都完全相等。而這種「各階導數值相等」，揭示了多項式函數和它想要替代的複雜函數f(x)在「每一個維度上完全相同」的奇妙的事實。

● 打個不精確的比方，在「某一時刻」，有兩個「獨立的人」，一個人叫張三，一個人叫李四。張三想讓李四替代自己去上學。

在這一時刻，李四和張三的長相相同（函數值相同），體型相同（一階導數值相同），聲音相同（二階導數值相同），那我們就可以認為，或許在這一刻，讓李四替代張三是比較合理的。如果在更深入的維度上，他們具有相同的智商（三階導數值相同），具有相同的記憶（四階導數值相同），那麼用李四替代張三就更合理了。如果他們具有相同的喜惡（五階導數值相同），具有相同的三觀（六階導數值相同），那麼用李四替代張三就越來越合理了。

這也是為什麼泰勒公式展開越多項，在展開這一點的附近就越接近f(x)本身。

● 現在再看一眼公式，大家能「理所當然」地理解為啥泰勒公式能夠如此展開了嗎？你在寫出展開式的時候，內心活動應該如下：
◎ 在x=0這一點，他們的函數值相同，所以寫出第一項f(0)。
◎ 他們的1階導數值相同，所以寫下f"(0)；要求求1階導的結果為f"(0)，那麼後面得添上x。
◎他們的2階導數值相同，所以寫下f""(0)；要求求2階導的結果為f""(0)，那麼後面得添上x^2/2！。
◎ ……
◎ 他們的n階導數值相同，所以寫下f(0)的n階導數值；要求求n階導的結果為f(0)的n階導數值，那麼後面得添上x^n/n！

——如果你能理解當中的本質，這是一個簡單到不需要記憶的公式對吧？

● 希望你們看完這個回答後能夠體會到，f(x)泰勒展開成怎樣的函數並不重要，重要的是，在進行了某階求導後，這個函數一切外在的軀殼都隨風而逝，只留下了在這個維度上和f(x)完全相同的事實。

2016-04-11更新
有個童鞋問階乘是怎麼來的，在這裡更新一下
比如其中一項
$int_{0}^{x} (int_{0}^{x} f$
$=int_{0}^{x} left[ f$
$=int_{0}^{x} f$
$=f$
$=frac{x^2}{2!} f$
======================================================================
單手倒立拍星軌的回答啊非常好啊，在此基礎上補充一點自己的看法。
前面有位答主說泰勒公式是微分的升級版，但我覺得她更像是求積分的升級版呢。

大家都會求導吧，給定一個f(x)，都可以唯一確定一個導函數f "(x)，導函數給出了原函數的變化情況。
比如 $f(x)=x^{3}$ 導函數為 $f^{$
但是，倒過來就不行了，一個導函數 $f^{$ 對應原函數為 $f(x)=x^{3}$ ， $f(x)=x^{3} +1$ ， $f(x)=x^{3} +2$ ………無窮多個。
寫成積分形式就是
$int_{}^{} 3x^{2}cdot dx=x^{3} +C$
為什麼呢，因為在求導的過程中，我們雖然得到的函數今後的變化情況，但損失了一部分信息，就是原函數的初始值。概括一下，
原函數的信息=導函數的信息+初始值信息，
初始值信息沒了，一個導函數就對應多個原函數了。

知道了原因，我們就可以去掉上面那個惱人的C了，加入初始值信息就好了。
$int_{0}^{x} f$
$=int_{0}^{x} 3x^{2}cdot dx+0^{3}$
$=x^{3} +C-0^3-C+0^3$
$=x^3=f(x)$
那個f（0）就是初始信息。當然初始信息可以從任意位置開始，不一定從0開始
這時候我們得到了
$f(x)=int_{0}^{x} f$ (原函數的信息=導函數的信息+初始值信息)
繼續這個過程
$f$
代入得
$f(x)=int_{0}^{x} (int_{0}^{x} f$
$=int_{0}^{x} int_{0}^{x} f$
$=int_{0}^{x} int_{0}^{x} f$
再接著做下去
$=int_{0}^{x}int_{0}^{x} int_{0}^{x} f$
無限做下去，前面是余項，整個是泰勒展開式
如果是普通多項式的導數，做下去總有導數為0的時候，這時余項就為0，是有限項。
如果不是普通多項式，展開項數為無限，在0的附近，余項是很高階的無窮小。
就不啰嗦了。

整體上與單手倒立拍星軌的回答沒有什麼區別，只不過把物理背景刪除了。

泰勒公式可以將難以理解的函數轉變成易於處理的多項式。

圖片來自於Coursera.org

一句話，就是用乘法，加法，來表示光滑函數

嗯，一種把目標函數寫成冪函數的線性組合的方法……冪函數就是多項式了，大家處理多項式都是得心應手，求導、積分也很容易。在複數域上面， $z^n$ 還有個重要的積分性質 $oint_{R}z^kdz = left{egin{array}{cccl}2pi i k = -1 \ 0 k e -1end{array} ight.$
實際上如果在複數域上規定內積為 $oint_{C}f(z)g^*(z)frac{1}{z}dz$ ，則冪函數是正交的，就可以用標準內積展開的方式來求級數了，這個展開的級數一般是洛朗級數，當f(z)的展開點不是極點的時候，這個級數就是泰勒級數，可以很容易用分部積分證明。
我們知道單位圓上的z實際上是復三角函數exp(ix)，我們剛剛定義的內積也恰好是沿著單位圓的第一類曲線積分。所以冪級數其實是將目標點周圍的小圓做傅立葉展開的結果。

通俗的語言？不如用通俗的視頻。

【官方雙語】微積分的本質 - 10 - 泰勒級數

20分鐘時間，讓你清晰直觀的明白泰勒公式到底有什麼含義。

簡單有效哦！看完了別忘了分享給朋友們~

直接點開大圖看動態圖片, 可能會更直觀些, 先看一元函數的泰勒展開多項式(一次就是以直代曲, 更高次就是以曲代曲):

二元函數的泰勒展開多項式:

題主既然都學到泰勒展開了,那想必你一定知道冪級數(Power series)這個概念,我們就以冪級數為切入點,來通俗的解釋一下泰勒展開.

書上關於冪級數的定義是一般項為冪函數 $a_n(x-x_0)^"$ 的函數項級數稱為冪級數.可能有些抽象,那我們舉一個具體的例子,正弦函數.

我們假設正弦函數可以展開成 $sin x=sum_{k=0}^{infty} a_kx^k$ (這並不是顯然的,能這麼做的理由是正弦函數N階可導),等式的右邊就是一個冪級數.我們不用求和符,把右邊展開,我們得到了 $sinx=a_0+a_1x+a_2x^2+cdots+a_kx^k+cdots$

下面我們試著來求一下 $a_0$ , $a_1$ 和 $a_3$ .

先來求 $a_0$ ,這是一個恆等式,所以首先應該想到的辦法是代入特殊值.代入 $x=0$ ,就直接得到了 $a_0=0$ .

再來看 $a_1$ ,這回代什麼特殊值好像都沒法求出 $a_1$ ,那我們將這個等式兩邊求導,得到

$cosx=a_1+a_2x+cdots+a_kx^left( k-1 ight)+ cdots$

這回再代入 $x=0$ ,就得到了 $a_1=1$ .通過不斷求導,我們就可以求出 $a_2=0$ , $a_3=-frac{1}{6}$ 等等等等 .不過需要注意的是正弦函數的導數是具有"周期性"的,所以 $a_0,a_2,a_4$ 等全都是0.另外注意到 $x^n$ 的導數實際上是指數下降的,因此我們可以把 $x$ 前的係數寫成階乘形式(這塊不理解的話可以自己算一遍,知乎的編輯器不好用,我就不寫計算過程了),於是我們得到了

$sinx=frac{x^1}{1!}-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+cdots$

這實際上就是 $sinx$ 的泰勒展開(Taylor expansion).不過可能你要問了,把一個函數弄成這樣有什麼意義呢?不要忘了,泰勒展開本質上是一種級數,那既然是級數,那我們就來考慮一下它的和函數.

首先要明確的是這是個無窮級數,為了方便考慮,我們將其截斷,先來考慮一下有限個項的和函數.我們在坐標系內畫出 $sinx$ , $s_1(x)$ (表示到 $x^1$ 為止的有限個項的部分和,下同), $s_3(x)$ , $s_5(x)$ , $s_7(x)$ , $s_9(x)$ .

(圖像使用函數圖像繪製工具繪製)

可以看到當我們截取的部分越長,和函數就更接近原函數,當然了,肯定是不可能完全相同,在實際應用中,泰勒公式也是需要截斷的,只取有限項,而余項則可以用來估算這種近似的誤差.泰勒公式的余項可以寫成很多種形式,如Lagrange余項,Cauchy余項,Peano余項和Schlomilch-Roche余項等等,有興趣的可以參考Wiki,在此不再贅述.

總而言之,泰勒公式的意義就在於使我們可以以研究多項式的方法去研究函數,是研究複雜函數的一個強有力的工具.

來源見水印

如果題主學過數值分析這門課程的話會更好的理解泰勒公式。我先給個不太專業的回答拋磚引玉吧。如今很多人（比如遊戲開發人員、工程師、編程人員等）使用計算機繪製圖形，圖形說白了就是各種線條的組合（就二維而言），線條在數學中就是一個個函數圖像。現實中我們設計的圖像邊緣都是光滑的，但計算機無法理解什麼是光滑 ，它只能畫出直線條，於是人們就想出用很多很多直線條去逼近光滑的曲線，其中最經典的一種方法就是插值法。一開始的插值法十分粗暴，就是找很多點然後連起來，後來人們發現任何一個函數圖像都可以用一個多項式來逼近，於是就有了拉格朗日插值和牛頓插值。再後來人們不滿足於只是原函數的逼近，還要求在導數值上（包括高階導數）也相等，說白了就是讓曲線更加光滑，滿足這種要求的插值多項式稱為埃爾米特插值多項式，也叫做泰勒插值多項式，它其實就是牛頓插值的極限形式。題主說的泰勒公式大概是sinx等於一大串階乘和什麼的，其實就是個插值多項式，因為sinx之類的三角函數的圖像都是曲線，為了讓計算機畫出來於是就用後面那一堆多項式還代替，這樣計算機就能理解了。

泰勒公式是用多項式函數去逼近光滑函數（無窮次可微函數）的方法之一。

一隻股票，我假設股市是不休市的，而且秒秒鐘顯示一次變化情況。

現在的股價並不能預測未來幾天的股價；
如果知道了現在的股價，以及現在股價的走勢（正在漲還是跌），我就可以大概預測未來幾小時的股價；
如果知道了現在的股價，現在股價的走勢，和現在走勢正在以何種方式變化（是漲的越來越快，漲得變慢了，漲變跌，還是跌變漲？），我就可以更加精確地預測未來一段時間的股價；
……
這樣下去，如果我知道了極多極多的信息（股價，股價變化，變化的變化），我就能極其精確的預測到未來相當長時間的股價，並賺得盆滿缽滿。

一個函數，我知道了這一點的巨量信息，我就可以對這個函數作出精細的估計。

但是，很多情況下，你沾沾自喜的以為你通過正確的計算做出了正確的預測，並挽起袖子準備收錢時，你發現，股價和你預測的不一樣。說好要漲，怎麼跌了？
這時，數學家走到你面前，賤賤的說：「老兄，有些函數是不可解析的，這些函數並不等於他們的估計值，正如你的股票並不等於你的預測結果一樣。
畢竟，想窺現在之一斑，而知未來之全貌，你還naive了些。」

通俗~嗎~T_T

我有一個函數的集合

裡面的函數很多

有的函數很簡單

有的函數有點難

選定一堆簡單的函數

每一個函數乘一個實數

把所有這些加起來

可以得到任何想要的函數

突然有一天

收到了他寄來的函數

不好算，有點難

帶上之前選定的函數

乘實數，加起來

得到了他給我的函數

刪幾項，變簡單

剩下的函數不算難

為簡單，拿它算

拿到一個近似的結果

分析後，才算完

……………………

對不起，我編不下去了。總之，許多難以求解的物理問題，比如一些變係數微分方程，我們把係數做泰勒展開，求得近似解，某些情況下這些解給出的結論還是很OK的。例如我們分析雙原子分子的摩爾斯勢的時候，把勢能函數在平衡位置展開一下，就可以用諧振子的結果做近似分析了。

泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數足夠光滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值。

一天，sin出門看相聲。
傍晚有人按門鈴，cos開門看見一個多項式。
"你是誰啊？"
"我是sin啊。"
「你咋變成這樣了。」
「蛤蛤蛤，太樂了。」

泰勒有一雙火眼金金！！！

能夠把一切函數一眼看穿！！！

在外國的app 找到的，這個非常通俗

如果你理解了極限中的無限分割、以微元代替曲線或曲面，就可以理解泰勒就是在一點的鄰域內用高次冪和的形式的來無限逼近擬合該點鄰域附近的曲線或曲面本身