為什麼證明1+1=2那麼難？

12-26

如果你說的是哥德巴赫猜想，那1＋1＝2是不知道誰傳播開的提法。他的真實意義是：任何一個大於2的偶數（用2表示）可以表示成兩個質數（用1表示）的和。比如12＝7＋5。當時說陳景潤證明了1＋2，是指他證明了一個足夠大的偶數，可以表示成或者兩個質數的和，或者一個質數（用1表示）加上兩個質數的積（用2表示），比如100＝23＋7X11。

我必須說1＋1＝2的提法造成國人對哥德巴赫猜想極深的誤解，以為就是「一個蘋果＋一個蘋果＝兩個蘋果」的意思，覺得這個沒有被證明非常神秘。如果真是普通意義上的1＋1＝2，這是構建自然數的公理，我們定義了元素1後，將1＋1這個元素定義為2，因此不用證明。

我印象里，好像沒有在西方聽說過1＋1＝2指代哥德巴赫猜想的，有人能證實一下嗎？

至於哥德巴赫猜想為何很難證明……我想你看過真實意義後也覺得不容易了吧。這涉及數論，並且長期以來大大推進了數學的發展。在此就不詳述了。有興趣看可以＠王玉超的回答，山大前校長潘承洞對哥德巴赫猜想有不小的貢獻。

僅僅是做個補充，以下是「1+2」的證明過程，或許可以讓一些人了解其難度。

希望哪位能淺顯地講解下其中的思路，不勝感激。

如果是指哥德巴赫猜想，我就說一下我的一些理解吧。

關於哥德巴赫猜想稱呼為「1+1=2」的問題是不恰當的，更準確的描述應為「1+1」問題。下面介紹一下哥德巴赫猜想的一些情況，後面會詳細說明為何被稱為「1+1」問題。

1742年，哥德巴赫提出了兩個猜想，分別被稱為奇數哥德巴赫猜想和偶數哥德巴赫猜想。奇數哥德巴赫猜想表述為任何一個不小於7的奇數可以表成三個素數之和；偶數哥德巴赫猜想表述為任何一個不小於4的偶數可以表成兩個素數之和（這其實就是1+1叫法的來源）。

1937年，Vinogradov部分的證明了奇數哥德巴赫猜想，實際上是證明了對於充分大的奇數，都可以表示為三個素數之和。一般情況下，對於有限個我們總是很容易處理，真正難處理的是無窮大的部分。Vinogradov解決了對於某個大整數N之後的所有奇數都可以表成三個素數之和，這是最有意義的地方。

很明顯的我們可以看出，偶數哥德巴赫猜想是可以推出奇數哥德巴赫猜想的（只需要對偶數表法再加一個3即可），所以偶數哥德巴赫猜想證明起來困難更大，至今仍未被解決。

在人們試圖解決偶數哥德巴赫猜想的過程中，所使用的方法是Hardy和Littlewood引進的圓法（circle method），這一方法之所以能夠順利解決奇數哥德巴赫猜想而不能解決偶數哥德巴赫猜想，是因為奇數哥德巴赫猜想中有三個變數，在計算中可以提出一個來進行非平凡的估計，剩下的兩個進行平凡的估計，而偶數哥德巴赫猜想只有兩個變數，提出一個來之後，剩下的一個進行平凡的估計將得不到一個好的結果。

目前我們只能通過一些形式來逼近這個結果，比如陳景潤等人所做的工作。考慮幾乎素數（almost prime，指素因子不多的整數）來表示偶數，把n表成一個素因子不超過a個的整數與素因子不超過b個的整數之和，即為「a+b」問題，偶數哥德巴赫猜想就表示為「1+1」。這一方向上目前最好的結果就是陳景潤所作的「1+2」。（但是我認為，這個結果離解決偶數哥德巴赫猜想還有非常大的距離。）

另外一種逼近方式為考慮小於等於X的偶數當中，不能表示成兩個素數之和的數的個數，稱為例外集（記為E(X)）問題，這個例外集元素的多少當然是越少越好，偶數哥德巴赫猜想等價於E(X)=1。在這裡我們介紹一個 &< &< 的概念，f(x) &< &< g(x)代表當x充分大的時候，存在一個與x無關的常數c，使得f(x) &< =cg(x)。比如x &< &< x^2，剛開始x是比x^2大的，但是後面情況就反過來了。也就是說我們考慮階的大小的時候，考察的是充分大之後的情況。華羅庚先生最早在1938年證明了E(X) &< &< X(log X)^{-A}，這是一個非平凡的結果，至少說明了，X充分大的時候，不能表示成兩個素數之和的偶數所佔的比率是趨近於0的。這一方向上也有一系列的結果，最好的結果是屬於Lu Wenchao（不知道中文名字該怎麼寫）的，其發表在2010年J. Number Theory上的，E(X) &< &< X^0.879。Pintz聲稱他做到了E(X) &< &< X^{2/3}，但沒有公布細節。

再一種逼近形式為在解決奇數哥德巴赫猜想的三素數定理N=p1+p2+p3中限制其中一個素數p1的大小，考慮其中一個素數p1 &< &< N^a，a越小越好。這個方向上最好的結果是展濤1995年的a比7/120稍大即可。

還有一種，就是考慮把偶數表示成兩個素數加上k（若干）個2的冪次之和的形式。根據素數分布的性質，素數在整個整數中所佔的比率大概是X/logX，而可以表示成k個2的冪次之和的數的比率大概是 &< &< (logX)^k，比素數少很多很多。偶數哥德巴赫猜想是等價於k=0的。這個方向上最好的結果是劉志新和呂廣世的結果k &< =12。Pintz和Ruzsa宣布他們證明了k不超過8，不過沒有公布證明細節。

其實哥德巴赫問題所反映的是這樣一個問題，即將整數表示成素數的方次之和，最多需要多少個。對於一次的，奇數哥德巴赫猜想的意思就是需要三個，偶數哥德巴赫猜想的意思就是只需要兩個。由此引申出來的對於素數次數提高的問題成為華林-哥德巴赫問題，意思就是可以把滿足一定條件的整數表示成幾個素數平方之和？幾個素數立方之和？華羅庚先生在1938年給出的定理表明，充分大的除以24餘5的整數都可以表示成五個素數平方的和，充分大的奇數都可以表示成九個素數立方的和。

以上這些問題考慮的都是對於充分大的整數，而這個要多大，是一個很大很大的數N之後的。前面也提到了，處理無窮的總是比有限的直觀上要更難一些，目前是對無窮大的有好的結果。

還需要說明的就是，哥德巴赫猜想只是數論裡面的一部分內容。

上個世紀我們國家的數論研究是很厲害的，比如眾所周知的陳景潤。但是這個問題沿著以上所陳述的經典方法走下去之後走到了一個死胡同，如大家所看到的，做到「1+2」就做不動了。目前來說數論有很多前沿的東西，比如懷爾斯證明費馬大定理時候的很多工具就非常複雜。

以上大部分內容是選自劉志新的一份總結，向他表示感謝。

因為寫《哥德巴赫猜想》這部紀實文學的徐遲，他不懂數學，妄圖把哥德巴赫猜想這個數學問題和華羅庚、陳景潤這些數學家通過科普文學的方式介紹給大眾，所以，他在行文中也虛構了一些陳景潤的艱苦生活、陳景潤的科學怪人氣，並且強調了工作的難度和意義的重大。

------------------------------------------------------請看這條的人看they的評論。。

關於哥德巴赫猜想的介紹與說明都是只描述了數學中的一個現象，而且是這一現象的最簡單的情況，即：大於4的偶數是否都可以表為兩個素數之和。進一步驗證可以發現：偶數越大，用兩個素數之和表為該偶數的方式越多。從更全面的角度看這一現象，就可以進入到問題本身：偶數與素數對之間存在什麼樣的關係？

【最新動態】：「哥德巴赫猜想」和「孿生素數猜想」已被證明。詳情請見《科技視界》2015第24期《枯樹生花於「哥德巴赫猜想」》。（註：由於作者的疏忽，文中「任一大於2的整數都可寫成兩個質數之和」的「整」字需要改為「偶」字）

我目前發現哥德巴赫猜想符合一個公式，但是我現在還是一名高中生，不知道怎麼發出去

假設黎曼猜想是正確的也只能證明1+1+1，
黎曼猜想都那麼難，這個就可想而知了，
我覺得1+1應該是錯誤的命題，因為
假設黎曼猜想是真的都證明不了。

這是人類最愚蠢的問題，也許沒有之一，很多數學大佬以為一數學邏輯的方法解決這個問題是一種榮譽，例如樓上樓下的幾位，什麼哥德巴赫猜想，什麼數學家萊昂哈德·歐拉，什麼亞里士多德的結論，《數理哲學導論》、皮亞諾公理等等，但我想問兩個問題：（1）.數學理念的起源是什麼？（2） 1=1嗎？

不弄清楚這兩個問題，來探討1+1=2的問題，別人生病，你吃藥那麼荒唐。

我們先要看看數學到底是怎樣發明的。

古代猿人的生活中有的是什麼？是他們的個體，房屋，獵物等等，當相似的個體，相似的獵物，相似的物體在一起時，就出現了數量上的變化。這其中有兩個意識上的變化：1.相似物體的概念，2.有物體概念基礎上的數量概念。

從相似物體得出古代猿人的概念是什麼？是具有名詞為特點的叫聲和形態學上的肢體語言，也就是嗷嗷叫或者用肢體語言來比劃，「肢體語言」刻在石頭上就是原始文字。這就是認識事物的第一步。

而後呢？由於相似物體同時出現，這個概念就有了數量，既然「肢體語言」刻在石頭上就是原始文字，那數量又由什麼來刻畫和標記呢？那就必須有點和橫豎筆畫來表示，這是數字的成因。也就是說：沒有物體概念的存在就沒有數字概念，1 2 3 4 5 6 ........等等都必須在物體背景之下，物是數字的靈魂，也是數學的靈魂。如果你隨便擺弄數字，而不考慮物的背景，就像你想隨便擺弄一個人，卻不考慮他是皇帝一樣。

1+1=2需要證明嗎？那得看看數字是怎麼來的。

數字從物的背景提取，是物具有相似性，具有相似性很有意義，因為它表明了物的差異被忽略了，物體的差異被忽略方有數字的出現，兩個人，忽略了人的差異，3個物體，忽略了物體的差異。很多人會說我會進一步說明啊。但事實上無論你怎麼樣說你都無法說盡物的差異，因為我們交流的語言概念也是忽略差異得到的。

強調一次：「數字從物的背景提取，是物具有相似性，具有相似性很有意義，因為它表明了物的差異被忽略了，物體的差異被忽略方有數字的出現，兩個人，忽略了人的差異，3個物體，忽略了物體的差異。很多人會說我會進一步說明啊。但事實上無論你怎麼樣說你都無法說盡物的差異，因為我們交流的語言概念也是忽略差異得到的。」

1=1嗎？如果僅僅考慮相似性，1=1成立；但如果考慮必須所有的差異，1=1是一個絕對錯誤的結論，這是有數字的背景，數字的靈魂，數字根基--物---所決定的；世界上任何視覺上，哪怕是世界上最精密的儀器上見到的兩個「相同」的物體，其差異都市無窮無盡的。所1隻能等於它自己，不等於數學上的任何其他的1.

這裡我想講一個比喻：一個菜籃子很多蛋，您從中挑出了所有其他蛋，只剩下雞蛋，你是否試圖會去證明剩下的全是雞蛋呢？在這個比喻裡面，菜籃子中的不同蛋就是我們見到的的「不同物體」，雞蛋就是我們用於計算的「物」概念和數量，「其他蛋「是我們沒有考慮的物體差異，我們進行1+1=2時成立是因為我們」糊塗「的忽略。在我們的糊塗數學世界中還能拿什麼來證明？當你寫出1=1時，1+1=2已經被定義，被固定了。

因為它是最基本的公式，幾乎所有要證明它的公式都是要在它成立的基礎上，才可以實現。要證明它需要先去定義與假設。比如定義加法的意義和數與數之間的遞進關係。德國數學家克羅內克認為數是上帝賜予人的，所以1 2 3 4……這樣的規律不言而喻。但是大多數的數學家反對他的觀點，他們認為集合這個概念比數更為基本。之前@甄景賢的回答里Russell 和 Whitehead 寫的 Principia Mathematica 《數學原理》用三卷本巨著，試圖重新定義算術，將之歸為集合理論的一個分支。第一卷用了洋洋洒洒362頁來得到命題「1+1=2」而第二卷才開始定義加法，在第二卷86頁，他們才真正的證出「1+1=2」。你若是有興趣你可以去看看原著，那是目前數學界比較認可的證明「1+1=2」的著作了，儘管這部書里的證明方法也是錯的。比如羅素髮現，對集合的某些操作是不允許的，其中包括不可能定義一個「所以集合的集合」，所以羅素說：這個命題偶爾成立。1931年奧地利數學家哥德爾發表了一篇名叫《試論《數學原理》中的形式上不可判別的陳述及相關係統》的論文，里就指出：永遠無法證明任何足以推導算術規則的集合論規則是自洽的。所以在1981年的《數學經驗》一書中寫到：總有一天，某人將就1+1=3提出一項完全有里有據的證明。

想證明很難，因為這是現代數學的基礎。如果1+1=2不成立，現代數學大廈就要倒塌。人都希望追求真理，如果當人發現自己相信的都是假的，該如何面對剩下的生命呢？

1+1=2表示2個沒有重複元素且只有1個元素的集合的並集的元素個數為2（數學定義）

呵呵，我……我看不懂

請問：如果有人真的解出了那些世界難題，怎麼才能把它公布出來讓大家來評審？

別理他，他就啥也不懂

哥德巴赫猜想的證明,3為最小奇素數時
作者姓名：崔坤
作者單位：即墨市瑞達包裝輔料廠
E-mail:cwkzq@126.com
摘要：
定理A:每一個大於等於6的偶數都可以表示成兩個奇素數之和。簡言：N=P′+P"
定理B: 每一個大於等於9的奇數都可以表示成三個奇素數之和。簡言：Q=P1+P2+P3
關鍵詞：奇素數對、奇合數對、伯特蘭-切比雪夫定理、CK公式、哥德巴赫猜想。
中圖分類號：0156.1
（一）在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：
任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。
（參考文獻：百度百科：哥德巴赫猜想）（數學猜想）
（二）：給出證明的思路是：每一個的問題是哥猜的核心問題，作者就是圍繞這個問題給出了一種新的方法，運用雙記法給出的證明。現代數學約定3是最小奇素數。
理論基礎：
1.建立一個完整的閉合系統，即上下互逆等差數列。
2.運用波特蘭-切比雪夫定理給出奇素數數對為0的偶數不存在，即是排除法。
3.運用通項的定義給出每一個的回答。
CK表格是哥德爾定理思想的產物，它提供了一把解開哥猜的鑰匙理念。
這個思想就像鎖與被鎖物之間無法打開，只有第三者鑰匙方能打開。
定理A:每一個大於等於6的偶數都可以表示成兩個奇素數之和。簡言：N=P′+P"
證明：
（注意：本文的符號都是作者自我約定的,目的是為了文章簡潔明了）
約定：CK表格是一個圖表。
約定：CK公式是由CK表格中的各項元素關係推導而來的方程式。
約定：D(N)表示CK表格中奇素數對個數的符號。
約定：H(N)表示CK表格中奇合數對個數的符號。
約定： π(2n+1)表示不超過（2n+1)的素數的個數。
約定：W(N)是CK表格中奇合數與奇素數成對個數的符號。
約定：M(N)是CK表格中奇素數與奇合數成對個數的符號。
為了找到每一個的問題，根據偶數N=2n+4是關於自然數n的函數，設計出一表格
構造CK表格，CK表格所對應偶數N的等差數列通項是An=2n+4。
CK表格中的上篩：是首項為3，公差為2，末項是奇數（2n+1）的遞增等差數列。
CK表格中的下篩：是首項為奇數（2n+1），公差為-2，末項是3的遞減等差數列。
D(N)、H(N)都是以中項N/2為中心對稱分布的。
CK表格如下,共有6列:
第一列:偶數N=An=2n+4
第二列:奇素數對的個數D(N)，
第三列:奇合數對的個數H(N)
第四列:奇數對的實例，
第五列：奇數對的個數n，
第六列：不超過2n+1的奇素數個數π(2n+1)-1
雙記法CK表格如下:

分析CK表格通項An：
An 中共有n個不相同的奇數，共有n個不相同的奇數對。
0003 0005 ... n+1 ... 2n-1 2n+1
2n+1 2n-1 ... n+3 ... 0005 0003
CK表格中的奇數對分類與N相關的有四種：
[1]（奇素數，奇素數），令有D(N)個
[2]（奇合數，奇合數），令有H(N)個
[3]（奇素數，奇合數），令有M(N)個
[4]（奇合數，奇素數），令有W(N)個
根據其對稱性則有：M(N)=W(N)
設An中共有π(2n+1)-1個不相同的奇素數，則：
D(N)+H(N)+W(N)+M(N)=n . . .〈1〉
M(N)= π(2n+1)-1-D(N) . . .〈2〉
M(N)=W(N) . . .〈3〉
有上述〈1〉、〈2〉、〈3〉式得：D(N)=H(N)+ 2π(2n+1)-2-n
其中，D(N)、H(N)均為自然數， π(2n+1)-1、n均為正整數。
將公式：D(N)=H(N)+ 2π(2n+1)-2-n稱為CK公式。
因為N=2n+ 4,所以N=2H(N)+4π(2n+1)-2D(N)
將公式N=2H(N)+ 4π(2n+1)-2D(N)稱為CKK公式
分析CK表格可知，有且只有π(2n+1)-1≥M(N)。
由此給出CK表格中2個定理：
定理1：CK表格通項An中的奇素數沒有與對應的奇合數全部成對,即π(2n+1)-1≠M(N).
證明：
若π(2n+1)-1＝M(N)，那麼D(N)= π(2n+1)-1- M(N)=0
也就是說此時CK表格通項An中的奇素數與對應的奇合數全部成對，即D(N)=0
設P1為2n+4中最大的素數，若D(N)=0，則P1+(P1+2)=2n+4，即P1=n+1
這是因為：
從(P1+2)，(P1+4)，(P1+6)，...,到 (2n+1)之間全部是合數。
根據其對稱性則下篩有：
下篩中：從(2n+1)，(2n-1)，(2n-3)，...,到(P1+2)之間全部是合數。
此時CK表格有且僅有如下排列：
偶數N=An=2n+4中的奇素數全部與對應的奇合數成對，即D(N)=0。
0003 0005 … P1 P1+2 … 2n-1 2n+1
2n+1 2n-1 …P1+2 P1 … 0005 0003

所以據此推得：(n+1)與(2n+3)之間沒有奇素數存在。
恰恰相反，
根據伯特蘭-切比雪夫定理：若m為大於1的整數，則存在素數p，符合m＜ p ＜2m
（參考文獻：百度百科：伯特蘭—切比雪夫定理說明：若整數n&> 3，則至少存在一個質數p，符合n &< p&< 2n ?2。另一個稍弱說法是：對於所有大於1的整數n，存在一個質數p，符合n &< p &< 2n。）
那麼根據伯特蘭-切比雪夫定理則有：當（n+1）&>1時，
有素數P符合下式：
（n+1）&< P&<2（n+1）&<2n＋3
即：(n+1)與(2n+3)之間有奇素數存在。
這與假設後推導出來的結論相矛盾。
故CK表格通項An中的奇素數沒有與對應的奇合數全部成對,即 π(2n+1)-1≠M(N).
由此定理1得證。
定理2：CK表格中有且只有π(2n+1)-1&>M(N)，那麼D(N)≥1
證明：根據定理1：π(2n+1)-1≠M(N)
以及有且只有 π(2n+1)-1≥M(N)
那麼有且只有π(2n+1)-1＞M(N)...&<4&>
M(N)= π(2n+1)-1-D(N) . . .〈2〉
由〈4〉、〈2〉式可得：D(N)＞0。
由於D(N)為自然數，那麼D(N)≥1.
由此定理2得證
由於An為CK表格的通項，那麼根據通項的定義可知：
由定理2得出：
每一個大於等於6的偶數都至少有一個奇素數對。
即每一個大於等於6的偶數都是兩個奇素數之和。
命題簡言：N=P′+P"，N≥6的偶數，P′、P"是奇素數。
故定理A得證：
定理A:每一個大於等於6的偶數都可以表示成兩個奇素數之和，
簡言：N=P′+P"
推論：根據定理A可知：
在偶數N的CK表格中：
偶數N中只要對應的最大奇素數＞其奇數中項N/2,那麼N中一定有奇素數對。
CK公式進一步解釋為：其中，H(N)為自然數，
D(N) 、π(2n+1)、n均為正整數。
將公式：D(N)=H(N)+2π(2n+1)-2-n稱為CK公式。
將公式：N=2H(N)+ 4π(2n+1)-2D(N)稱為CKK公式。
定理B: 每一個大於等於9的奇數都可以表示成三個奇素數之和。簡言：Q=P1+P2+P3
證明：設P1、P2、P3均為≥3的奇素數，那麼根據定理A可知：P3+N=P1+P2+P3,
因為P3為≥3，N≥6,所以奇數Q=（P3+N）≥9，即奇數Q=P1+P2+P3
故：每一個大於等於9的奇數都可以表示成三個奇素數之和。簡言：Q=P1+P2+P3
所以定理B得證
至此我們成功的證明了哥德巴赫猜想。
作者：崔坤地址：青島市即墨市瑞達包裝輔廠
2016-06-25-11-38

大家看到景潤證明1+2=3是對的，那就先假定歌德巴赫猜想是對的嘛，再說暫時找不到反例，那就先用這個定理用起來嘛。還有，證明的時候效率更高的是找找反例不就好了，找到一個立馬崩潰。。。

據說 Russell 和 Whitehead 寫的 Principia Mathematica 《數學原理》，試圖用邏輯證明 1+1=2，由第一卷開始，要到第二卷才證畢：）

其後羅素還說，1+1=2 這結果「在某些情況中有時有用」。

但我不知詳細的理由……

太繁瑣了，既然是數學思想，就應當簡潔明了，讓不同水平的人都能理解才行，比如要證明1+1=？，用反證法：0+0=0.把第一個0看成1，第二個0也看成1，則得到結論：1+1=1.請問有道理嗎？