經典結構自由度的判定基本原則不管幾剛片，都是以三角形穩定出發的，但是有些體系的幾何構造必須通過計算確定，世界上除了三角形是不是還有別的基本穩定的體系？

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涉及空間索桿體系情況更加複雜，我想這是一種空間的性質，即是度量的，也是拓撲的，現有的理論是用矩陣計算可能的位移和約束的關係，號稱已經解決了，但我覺得背後是幾何，並希望推廣到n維並考慮穩定，希望數學好的同學給出解答。

如果我沒有理解錯……相關維基頁面 Structural rigidity，但是這個頁面確實嚴重過時了。

物理圖像：
不同長度的剛體直桿，互相之間在端點鉸起來。
問：不考慮平移和旋轉，一種連接方式是否固定（局域剛性）？是否中有一種構型（全局剛性）？

數學表述：
給定一個圖，對其中每條邊賦一個長度。考慮一個圖在空間中的嵌入，如果圖中每條邊的兩個端點間距離為給定長度，則稱該嵌入為一個實現。
問：一個圖的實現是否孤立（局域剛性）？是否唯一（全局剛性）？
更準確的描述篇幅太長，請看下面文獻中的原文。

從自由度出發的研究，主要研究的是局域剛性（local rigidity）及極小剛性（infinitesimal rigidity），大致是說結構是否可能有微小形變。這樣的研究起步極早（Cauchy），並且一直就是考慮任意維度。現在已經基本消化了，比較秩就可以了，不難理解。文獻比如：L. Asimow and B. Roth. The rigidity of graphs. Trans. Amer. Math. Soc. 245:279-289, 1978. 及後面兩篇文獻的 Introduction 部分。

一個很新的發展是全局剛性（global rigidity），即結構是否只有一種可能構型。最新的結果是用 stress matrix 的秩來描述，大致是說把桿換成彈簧有多少可能。我們開始稱這個判定方法為 Connelly 條件。
充分性：R. Connelly. Generic global rigidity. Discrete Comput. Geom. 33 (4):549-563, 2005.
必要性：S. J. Gortler, A. D. Healy, and D. P. Thurston. Characterizing generic global rigidity. Amer.
J. Math. 132 (4):897-939, 2010.
後一篇文章的重點是代數幾何，不是矩陣可以搞定的。

還有許多其他各種邏輯上強弱不同的剛性定義。以上文獻中都有很多有趣的例子，還有許多細節。更多內容請自己從上面這些文章的引用中追。

再但是，以上大都是一般典型性質（generic property）。目前大家感興趣的方向是非典型結構的剛性，現在只是「部分」解決。我個人的興趣是拓展到非歐幾何，現在雙曲幾何中已經有不少結果了。

謝邀

這是一個非常有趣的問題。

我數學力學確實學得不紮實，只能說從結構力學和有限元的角度試著回答一下，所學有限，希望高人解答。
我覺得結構自由度的判定和三角穩定沒啥關係。

數學上呢，自由度的概念百度百科是這麼說的：

自由度是在數學中能夠自由取值的變數個數，如有3個變數x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等於2。

在結構力學中，自由度的概念是用來區分結構與機構。當自由度大於0時，為機構，自由度為0為結構。
結構力學只能解決自由度為0的結構問題，不能解決機構的問題。

回到剛才的數學定義的例子中，3個變數x、y、z，當x+y+z=18，自由度為2，要想自由度為0，必須補充兩個方程。

如果將補充的兩個方程加上，三個未知數，三個方程，就可以唯一的解出X，Y，Z的結果。

所以，直覺結合線性代數的知識告訴我們，自由度可能就是矩陣方程的變數數目-矩陣的秩。

從有限元的角度，我們也可以從一個側面來推敲這個問題。

這是我在某本待出版的書中寫下的對有限元的認識：

從數學上說，有限元法是偏微分方程定解問題數值分析方法的一種新進展；從力學上說，有限元法是基於變分原理的力學問題的近似解法；從結構工程上說，有限元法是結構力學的矩陣位移法在連續介質力學中的深入應用。
有限元法是將一個連續的場離散為若干個有限的小單元。這些單元的幾何，物理屬性簡單明確。每個單元可以採用較少的參數，利用簡單的代數方程，進行描述。而每個單元的代數方程組合後形成的代數方程組，可以近似的描述本該使用微分方程組描述的連續場。求解此代數方程組，即可得到連續場問題的解。
要想有限元能夠求解，即代數方程組能夠求解，代數方程組的自由度必須為0。
這樣是不是就把結構自由度的問題和數學的代數方程組自由度的問題建立了聯繫。

我猜想這會不會就是結構自由度判定的數學背景。

非常好的問題，可惜關注的人太少。
我也再思考這個問題，那些不能用規律解決的問題與可以用規律可以解決的問題有何差別？數學差真的是不好解決呀！