為什麼隨機信號不能用頻譜表示？而必須用功率譜密度表示呢？

12-25

如題。對於一個確知信號，我可以用頻譜來表示他的頻率成分，也可以用能量譜或者功率譜來描述他。那麼對於隨機信號，為什麼就不能fft求頻譜呢，而必須用功率譜密度來描述？

其實就是個定義的問題，對於隨機信號，功率譜是自相關的期望做傅立葉變換，差一個期望在這裡。如果是傅立葉變換，就有個麻煩：如果是傅立葉變換直接求期望，對大多數隨機信號來說，由於相位不確定，直接就變成0了；如果是模求期望，表達式沒法處理，是非線性的；如果是模的平方求期望……那就是功率譜了啊。
實際上估計一個樣本的功率譜，最簡單的就是求fft然後取模的平方，要比按定義求自相關快一些。

一個信號有三個組成部分：幅值、相位和頻率成分。

對於隨機信號而言，這三個組成部分都是隨機的，當然它的幅值是圍繞平均值在交變，包含所有的頻率成分，相位完全雜亂無序。任一時刻與下一時刻之間沒有任何關聯，所以，不能用確定的數學函數來表徵，只能從統計學角度來分析處理。

將一個信號從時域通過FFT變換到頻域，得到的直接結果就是所謂的頻譜，頻譜是複數形式，有幅值和相位。由於頻譜是複數形式，包含相位信息，當信號中包含不相關的雜訊成分時，由於雜訊成分的相位是雜亂無序的，那麼多次線性平均之後，可以將不相關的雜訊平均掉。

功率譜密度PSD表徵的是單位頻率上的能量分布。它等於自功率譜除以頻率解析度，因此，它的單位為（信號單位^2/Hz）。由於自譜是實數，因此，功率譜也是實數，可進行線性平均。它只有RMS格式。

不同的試驗人員試驗時可能會採用不同的頻率解析度，因此，譜函數的幅值可能會有差異，不方便進行對比。而PSD剔除了頻率解析度的影響，因而，可比性更強。在各類國標中，通常用的都是PSD來描述信號的頻域結果。

對隨機信號、頻譜與PSD簡單介紹完之後，我們再來說說隨機信號的頻譜與PSD的結果。

由於FFT通常只能對有限長度的信號作分析，如果一個信號時間很長，因此，需要對這個信號做截斷：一次取一幀數據用於FFT分析。對於隨機信號而言，每一幀數據與其他幀數據都是毫不相關的。所以，當對FFT的結果作線性平均時，隨機信號的幅值會隨著平均時間的推進慢慢地趨於為0。如下圖所示，底下的綠色為隨機信號平均30s的結果，底下紫色為平均300s的結果。因此，時間越長，頻譜的結果越趨向於0。

我們再來看看隨機信號的頻譜的相位。下圖是一個近似於隨機信號的頻譜結果（還不完全是隨機信號）。從為個頻譜圖中可以看出，相位完全無序，也就是說從相頻曲線中完全得不到有用的信息。也就是說，隨機信號的相位對我們來說，完全無用。

在說PSD之前，我簡單介紹一下自譜。自譜或稱為自功率譜，本質是由頻譜計算得到的，它是複數頻譜乘以它的共軛。因此，自譜是實數，沒有相位信息。由於它是實數，因此可以進行線性平均。

由於它是複數頻譜與它的共軛的乘積，因此自譜有平方形式，平方形式的自譜稱為自功率譜Power。對平方形式的自譜再求平方根，對應為線性形式，稱為線性自功率譜AutoPower Linear。
當用線性自譜來表示一個隨機信號的結果時，由於信號的總能量是一定的，當採用不同的頻率解析度會導致幅值大小不一樣。因為，頻率解析度高，則譜線越密集，因而分配到每條譜線上的能量就少，對應的幅值就低。如下圖1Hz的在最底下，2Hz在中間，4Hz在最上面，幅值最大，而頻率解析度最小。

當用PSD來表示隨機信號的結果時，由於PSD是實數，所以沒有相位信號，只有幅值信息。還是上圖中的那個隨機信號，可以看出，不管用多大的頻率解析度，PSD的幅值都是相同的。

因此，對於隨機信號而言，用PSD來描述是最合適的。

對於一個工程上的信號，時域和頻域是他的兩種表達方式，就像是孿生兄弟。有時域就可以算出來頻域，有頻域就可以算出來時域。

一個隨機的信號，同樣有隨機的時域和隨機的頻域表示。所以，「為什麼隨機信號不能用頻譜表示」，是可以表示的。只不過隨機信號的頻譜是隨機的，而功率譜密度是這個隨機信號的一個特徵量，是確定的。

之所以花很大篇幅去講功率譜密度，是因為它重要，而且對信號系統來說尤為重要。功率譜密度本質上是頻域上的二階矩。一個隨機變數的一階二階三階四階矩都是有名字的，但是在信號這，二階矩最重要，因為二階矩決定了一段信號能傳遞的信息量的上限。一個最經典的場景就是帶限信號在有色雜訊信道下最大化信息的傳輸，就是在頻域去分配功率。

其實工程上往往不是能不能的問題，而是有沒有用。有用的量自然會想辦法找數學表達。即使找不到也總有辦法修補或者近似。

有的信號，它的幅度在時間趨向正負無窮時是衰減的，其總能量有限，這樣的信號可以去算它的頻譜。

有的信號，它在整個時間軸上都有不可忽略的幅度，總能量是無限的。這樣的信號，如果你去算它的頻譜，就會發現不收斂。如果這樣的信號是周期的，那麼可以取一個周期來求頻譜，但如果是非周期的就不行了。

上面說的第二種信號，如果在 [-T, T] 區間上的總能量的增長大致跟 T 成正比，那麼可以說它的功率是有限的，於是可以算功率譜。

說到隨機信號，常常指的是平穩的隨機信號。這樣的信號總能量是無限的，但功率是有限的，所以不能算頻譜，只能算功率譜。

至於隨機信號算譜的時候要求期望，我覺得不本質。

謝謝被邀請回答這個問題。頻譜中包含相位信息，由於隨機信號含有的各個頻率分量的相位是隨機的，在畫頻譜圖時無法辨別各個頻率分量的大小，需要去掉相位信息，因此，一般取功率譜。人們可以通過相關函數的傅里葉變換求得功率譜。

瀉藥，因為隨機信號的頻譜是隨機的，每次實現的頻譜是不一樣的(頻譜是隨機的，幅度譜和相位譜均隨機)，但是功率譜是固定的，因為功率譜從定義上看是幅度平方函數的統計平均，而不是單純的頻譜的平方，其中有一個統計的概念，所以自相關與功率譜是對應的，等於自相關是時域統計量，功率譜是頻域統計量，所以隨機信號的不同次實現的功率譜是相同的
另外關於隨機信號能不能起傅里葉變換的問題，從理論分析上是不可以的，因為隨機信號無限長一般認為能量無限，但是實際應用下樣本都是截斷的，所以其實隨機信號譜分析本質上是用有限長度的信號去估計原始未截斷信號的譜(功率譜估計)，所以隨機信號是能起傅里葉變換的。實際中也有根據傅里葉變換估計功率譜的做法，比如編寫信號的一百次實現，截取前100個信號點，起傅里葉變換，然後再把這些傅里葉變換平方之後再取平均，這就是傳統功率譜估計下的周期圖法
——————————補充分割線——————————
既然這麼多人給贊，我再補充一點東西好了。關於自相關的含義，自相關函數如大家所知是：

(ps：上述自相關公式不同書有不同定義，諸如部分國內教材認為τ前是正號)
上述公式最關鍵就是在於期望符號，它包含了統計的含義，也就是說當你手上僅有隨機信號的一組實現的時候，你是無法得到上述結果的(所以你也無法得到功率譜)，除非你的信號是平穩的，你才可以通過時間自相關得到期望自相關(各態歷經特性)。所以反過來也可以體現功率譜的計算也絕不是那麼簡單的一件事，不是說測量到一個信號波形(一次實現)就可以求出功率譜了，與之相反，按照功率譜的定義，你想求出真正的功率譜，理論上要對該信號進行無數次測量，這樣才可以求統計平均。也正是因為無數次測量的不可能性，才會誕生各大功率譜估計方法。
——————————總結——————————
一句話總結就是隨機信號必須用統計方法進行分析，所有確定信號分析法針對隨機信號全是耍流氓。針對隨機信號一次實現使用頻譜分析、幅度譜分析、幅度譜平方分析、確知信號自相關分析，確知信號功率譜分析(比如隨機信號一次實現是周期的，你把該周期信號當確知信號求功率譜)全是錯的!!!
重要的事情說三遍：
隨機信號功率譜不等於隨機信號一次實現的功率譜
隨機信號功率譜不等於隨機信號一次實現的功率譜
隨機信號功率譜不等於隨機信號一次實現的功率譜

朱元：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯繫？為什麼要進行這些變換。研究的都是什麼？

不妨先想清楚，頻譜這套數學工具，他的研究對象是啥，是為了解決什麼問題。

你如果能把隨機信號轉換成了這對應的研究對象，再去考慮他是否滿足傅立葉變化條件拉氏變化條件，Z變化條件之類的（就是搞清楚是否一些狗屁函數是否可積分），最後你再來得出答案「隨機信號能或者不能用頻譜表示」。

隨機信號是隨機的，你都不知道他是啥，一直在變變變，你怎麼畫他的頻譜？
但是我們發現雖然他是隨機的，但是功率譜是一定的。
所以我們就用功率譜去研究它。

沒有說必須，只是一般情況下，隨機信號是能量無限信號，無法滿足傅里葉變換的條件。

還有就是希望這種問題，不要放在知乎上問，找一本信號方面的，或者數學概率與統計方面的書看看。

舉個通俗易懂的例子。

假設你碰到了這麼一個隨機信號X(t)=Acos(wt),其中A是一個符合xx分布的隨機變數，w是一個固定的頻率。

現在對它的一段樣本進行FFT。

由於每個t時刻的A都是不固定的，這個FFT結果每次都不同。那麼單純的求FFT對我們探索X(t)的內在規律有意義嗎？好像沒什麼意義。

換個思路。但是既然是隨機信號，那麼間隔X(t)和X(t+τ)之間有沒有什麼聯繫呢？
那好，我們求一下他們的相關性看看吧。就像求隨機變數的那樣，我們求一下隨機信號互相關期望E[X(t)X(t+τ)]。如果這個信號是「平穩」的，上述結果就只與τ有關了，記為R(τ)。把τ當做t來看，這個就好像一個時域信號啊，那可以不可以對它進行傅里葉分析呢？當然可以啦。這個FT(R(τ))的結果，就換做功率譜。這個譜為什麼叫「功率」呢？你看R的形式，當X是一個單位電阻上的電壓時，R就是功率嘛。

為什麼隨機信號不能用頻譜表示？而必須用功率譜 密度表示呢？

為什麼隨機信號不能用頻譜表示？而必須用功率譜密度表示呢？