1+11+111+ …+加到2000個1，它的結果中有多少個1 ？

12-25

阿里巴巴面試題，數學題，推了半天沒推出來，求數學大神正確推導姿勢，不是程序題!不是程序題!面試官讓你在紙上寫數學推導過程，給出答案←_←

這題直接把答案算出來都不是啥困難的事情。
注意到k個1= $(10^k-1)/9$ 令n=2000
原式= $sum_{k=1}^{n}frac{10^k-1}{9} = frac{1}{9}(sum_{k=1}^{n}10^k -n)=frac{10^{n+1}-9n-10}{81}$
注意到1/81=0.012345679循環，簡單算下餘數就知道10^2001除以81餘28 所以

(10^2001-28)/81=(0.012345679把小數點往右移2001位)=(222個012345679)012

所以原式
=(10^2001-28)/81-(9*2000+10-28)/81
=(222個012345679)012 -222
=(221個012345679)012345678790

然後就發現答案是222個1了。
其實我覺得問有幾個8才比較有意思呢23333 一定想不到是1個。。。。

你們幹嘛想這麼多, 我覺得這個題真的很Simple. 這題目直接全算出來就好了.
熟知:
$a_n = frac{1}{9}(10^n -1)\ S_n = sum_{i=1}^n a_n = frac{1}{9}(sum_{i=1}^n 10^i -n)\ = frac{10^{n+1}-9n-10}{81}$

把 $n=2000$ 代入，可以知道 $S_{2000}$ 里一共有222個1.

直接算出來是：

!( *UnderoverscriptBox[([Sum]), (n = 1), (2000)](( *UnderoverscriptBox[([Sum]), (i = 0), (n - 1)] *SuperscriptBox[(10), (i)])))

Out = 1234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567 9012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345 6790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123 4567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901 2345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679 0123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456 7901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234 5679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012 3456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790 1234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567 9012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345 6790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123 4567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901 2345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679 0123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456 7901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234 5679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012 3456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790 1234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567 9012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345 6790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123 4567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901 2345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679 0123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456 7901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234 5679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012 3456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456790 1234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567 9012345679012345679012345679012345678790

所以可以算得：

StringCount[IntegerString[%4], "1"] Out = 222

共222個1。

summ = 0
for i in range(1, 2001):
k = (10 ** i - 1) // 9
summ = summ + k
print(summ)

結果是12345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345678790

hoho 大家都挺喜歡用硬算的啊~

每十個數多一個1，每十個數多出來這個1再多10個再多一個。所以如果n個1111...1，n是一個k位數一共有 $Sigma_{i=1}^k ceiling(frac{n}{10^i})$ 個1出現
所以是200+20+2=222個
=======
這個做法的確有問題, 有時間再來改.反例:11, 12, 700, 800等等等等...詳見評論區

硬算是可以計算的，而且如果真的是測試題硬算是比較靠譜的方法。

S=1+11+111+1111+11111+……+111……1（2000個1）
10S+2000=11+111+1111+11111+……+111……11（2001個1）
下式減上式有
9S=111……109110（1996個1）
S=123456790 123456790 123456790 …… 12345678790（221個123456790）
所以有222個1

def c1(x): return sum([int("1"*i) for i in range(1,x+1)])

print str(c1(2000)).count("1")

222個

熱烈恭賀知乎新增【計算器】功能。

這樣

str(sum(10 ** i / 9 for i in xrange(2001))).count("1")

222

update：
至於筆算，反正+11111...1一定會出現123456790這個模式，考慮到它會趨向於10^n / 8.1。
末九位是：

123456789 + 111111111 × (n-9)

算一下就好了（逃

你加20次就可以發現其實是

123456790 9位數循環，2000除以9 就是222整數，其餘都不用看了，你把2000看成N，它總在以123456790循環，而這個9位循環只有1個1，所以最終答案就是222，其實連結果答案都能列出來，
-----------
看了排第一的答案，出乎我的意料，雖然總體找規律思路沒問題，但結果我還真沒仔細去算，最後幾位竟然是8790……要問幾個8，我肯定回答1個都沒有，哈哈……

二進位還是十進位？

題目有說明這是幾進位的嗎，如果是二進位的話會好辦點。題主可以從這方面考慮。

C++新手一枚，代碼獻醜了。。。
#include&
#include&
using namespace std;
int main()
{
char one[2000],sum[2001];
memset(one, "0", sizeof(one));
memset(sum, "0", sizeof(sum));
for (int i = 0; i &< 2000; i++)
{
one[i]++;
for (int j = 0; j &< 2000; j++)
{
sum[j] += one[j] - "0";
if (sum[j] - "0"&>9)
{
int temp = sum[j] - "0";
sum[j + 1] += temp/10;
temp = temp % 10;
sum[j] = "0" + temp;
}
}
}
int count = 0;
for (int i = 0; i &< 2001; i++)
{
if (sum[i] == "1")
{
count++;
}
}
cout &<&< count &<&< endl;
return 0;
}
答案222

mathematica暴力解決

我覺得HR應該在考你能不能想到進位的問題。

為啥這麼肯定？在二進位中呢？

加上9+99+999……兩千個9除以10。就是10+100+1000……10兩千次方這個等於1999個1加一個0。除以10。答案是1999個1。

找規律得到是，1234567890的循環，2000除以9就好了。

看來大家都挺喜歡直接數列…那麼我算出來也是222個…假如是數8的個數好像也許會簡單一些

目測是n整除9然後加上餘數k的前k位1的個數是答案。先mark一下。

如圖