光線追蹤中的透視畸變如何矯正？

12-25

更新=======================================================
改了下鏡頭的位置以及鏡頭遠近，調整了物體的大小以及相對位置，效果好了很多，如下圖，不過當兩個球離得稍遠時還是會有明顯的畸變。

原問題=======================================================
剛開始寫簡單的光線追蹤，如圖，相機是看向世界中心坐標的，藍色的球體因為位於中心坐標附近，所以變化不明顯，而右邊綠色的球體明顯有了透視畸變，請問這種問題該如何解決？是不是我的castray的代碼有問題？代碼如下

castRay相關代碼：
Vec3f Y(0, 1, 0); Vec3f lookAt(0, 0, 0); //camara model Vec3f camOri(0, 4, 20); Vec3f camDir((lookAt - camOri).normalize()); Vec3f camRight(camDir.cross(Y).normalize()); Vec3f camUp(camRight.cross(camDir).normalize()); float aspect = width * 1.0 / height; for (unsigned int x = 0; x &< width; ++x) { fprintf(stderr, " Rendering %3.2f%%", (x + 1) * 1.0 / width * 100); for (unsigned int y = 0; y &< height; ++y) { unsigned int k = y * width + x; float xx = 0, yy = 0; //adjust if (aspect &> 1) { xx = ((2 * (x + 0.5) / width) - 1) * aspect; yy = 1 - (2 * (y + 0.5) / height); } if (aspect &< 1) { xx = ((2 * (x + 0.5) / width) - 1); yy = 1 - (2 * (y + 0.5) / height) / aspect; } if (aspect == 1) { xx = (2 * (x + 0.5) / width) - 1; yy = 1 - (2 * (y + 0.5) / height); } Vec3f raydir = (camDir + camRight * xx + camUp * yy).normalize(); pixel[k] = trace(camOri, raydir, objects, 0); } }

這跟光線跟蹤沒關係，跟攝像機設置有關係。不論你用光線跟蹤還是光柵化，都會這樣。調fov吧。

一般的攝像機模型使用透視投影，可以說是模仿理想的直線性鏡頭 (rectilinear lens)。這是指，場景中的直線經過投影后，在投影平面上仍然是直線。基於這個約束，必然會導致題主所說，畫面中心以外區域的透視變形 (perspective distortion) 現象。(題主用立方體代替球體就能明白。)

另一種投影是使用魚眼投影 (fisheye projection)，例如 equidistant fisheye。但它們不再是直線性鏡頭，直線投影后會變成曲線。用光線追蹤是很容易實現的，光柵化就只能以後處理實現。

正如把地球畫成平面世界地圖，不同的平面投影只會有不同的變形，不可能有完美的選擇。只有放棄投影至平面才可解決這問題，例如用地球儀。而在圖形學上，可以用穹頂投影機，或更常見的 VR HMD，就可避免平面投影的變形。

畸變這麼明顯應該是你的視錐角度設置的不好導致的。不過畸變這種事情，如果你是用這種投影方法的話，是無法避免的。照相機也是這樣。

至於人眼的投影比較複雜。你經過觀察就會發現，如果你直視一條很長的橫樑的中間，兩邊其實是彎曲的。如果要近似這種效果，可以在人的面前放一個巨大的球體，然後光線首先平行於「前」方向射到球體，計算那一點的法線，然後改為按照法線的方向射出去。

這是一道幾何題：

無畸變=等距映射，等距(isometric)字面的意思就是等度量，即保持像的每一個局部等尺度並且保角(亦稱共形). 對於題主的問題而言，二維曲面局部的度量由一個張量( $2 imes2$ 數組)決定： $g_{ij}$ .
有度量就能定義面內的夾角——查一查你的高中課本是怎麼定義向量之間的夾角的。

舉個例子，我想知道平面上很相近兩個像素點 $(a_1,b_1),(a_2,b_2)$ 之間的距離的平方, 它是這麼算的：
$(Delta s)^2=sum^2_{i,j=1}g_{ij}Delta x_iDelta x_j$ , 其中 $left{ egin{aligned} Delta x_1=a_2-a_1\ Delta x_2=b_2-b_1\ end{aligned} ight.$
只要取圖像上各個點 $g_{ij}=delta_{ij}= egin{pmatrix} 10\01 end{pmatrix}$ ，就是勾股定理，就是平面歐氏幾何。

球面幾何是怎樣的呢，如果距離很近的兩個像素點方位角分別是 $(phi_1, heta_1),(phi_2, heta_2)$ ，那麼
$(Delta s)^2=sum^2_{i,j=1}G_{ij}Delta xi_iDelta xi_j$ ,其中 $left{ egin{aligned} Delta xi_1=phi_2-phi_1\ Delta xi_2= heta_2- heta_1\ end{aligned} ight.$
這裡 $G_{ij}= egin{pmatrix} sin^2 heta0\01 end{pmatrix}$ , 這就是球面幾何。

任何攝影都有一個光學中心，相機就是以這個光學中心為球心，將球面上的影像映射到平面的ccd/屏幕上。也就是說，從「真實」的影像到你屏幕上的影像，是一個這樣的映射：
$P:(xi_1,xi_2)mapsto(x_1,x_2)$
伴隨的度規矩陣映射是 $G_{ij}mapsto ilde{g}_{ij}$ 。

這個所謂的 $ilde{g}_{ij}$ 的對角元很可能不是1(圖像的伸縮)，甚至還有非0的非對角元(圖像的剪切形變)，取決於你的 $P$ . 這就是你照片邊緣的球被扯成了蛋的原因，不過一般來講，圖像中心的度量矩陣，就剛好是 $ilde{g}_{ij}= delta_{ij}$ , 所以圖片中間的球還是比較端正的。