伽利略悖論的存在價值是什麼？

首先答：伽利略悖論讓數學家們，深刻去揭示了無窮的特殊，尤其是無窮和有限存在本質差別，這給後來康托爾創立超窮理論鋪墊了一點道路吧，雖說超窮理論幾乎是康托爾一人之力完成，但他前輩們的探索也是有意義的。

詳解：「伽利略悖論」嚴格一點應該稱之為「伽利略佯謬」，主要揭示無窮中「整體大於部分」的原理不再成立。這個問題真正解決還是康托爾創立超窮理論，才真正揭示了無窮的神密面紗。康托爾的超窮理論中，不同的無窮集合，可以進行基數的比較後得到性質上不同無窮——既阿列夫數。

康托爾還指出，每個無窮集合的有限倍數的基數還是其本身的基數，而無窮集合的所有子集組成的集合的基數，才是很高級的無窮。

這就是1891年，康托爾證明的一個重要定理——康托爾定理！

其內容意思是：所有集合的子集組成的集合，其基數（y）一定大於原集合的基數（x），並滿足y=2^x！

（因為集合每個元素的子集就是對每個元素選擇留與不留，所以是已2為底。）

這些很可能都是從伽利略悖論中逐步研究完善起來的，而伽利略悖論很可能就是數學家對無窮研究的啟發思想吧，所以伽利略悖論還是很有意義的。

對於無窮的科普理解，有個非常好的例子——希爾伯特旅館。

設想一家旅館，內設無限個房間，所有的房間也都滿了。

第一天：來了一位新客，想訂個房間。「不成問題！」旅館主人說。接著他就把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到3號房間，3號房間的旅客移到4號房間等等，這樣繼續移下去。這樣一來，新客就被安排住進了已被騰空的1號房間。

第二天：又來了無窮多位要求訂房間的客人。「好的，先生們，請等一會兒。」旅館主人說。

於是他把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到4號房間，3號房間的旅客移到6號房間，如此等等，這樣繼續下去。現在，所有的單號房間都騰出來了，新來的無窮多位客人也都可以住進去，問題解決了！

第三天：又來了無窮多個旅行團，每個旅行團有無窮多個旅客，只見這個老闆不慌不忙，讓原來的旅客1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……，k號房間客人搬到2k號。這樣，1號，3號，5號……所有奇數房間就都空出來了，然後：

讓1號旅行團到3號，3*2號，3*3號，3*4號，…，3k號。

讓2號旅行團到5號，5*2號，5*3號，5*4號，…，5k號。

讓3號旅行團到7號，7*2號，7*3號，7*4號，…，7k號。

讓4號旅行團到11號，11*2號，11*3號，11*4號，…，11k號。

將所有奇素數排成一列，也是一個可列無窮集合，然後讓

1號旅行團到第1個素數的k次冪房間；

2號旅行團到第2個素數的k次冪房間；

3號旅行團到第3個素數的k次冪房間…這樣不僅安排下了所有旅客，而且空出了1，15，21，33，35……這些不能表示為奇素數的k次冪的房間。

第四天：所有入駐的客人，每個客人都來了無數個親戚，請問：旅客老闆還有辦法把這些客人的所有親戚安排到旅館中嗎？這個問題就留給大家思考吧！

聲明：以上內容，精選自我上個月發布的三篇關於無窮的文章，主要是講述超窮理論的發展史，有興趣的讀者朋友，可以關注我們呢。??

這其實不是個悖論，只是看起來令人吃驚而已。如果你學習了這方面的數學（集合論），你就會明白：平方數跟自然數確實是一樣多的。用數學術語來說，所有平方數的集合，跟所有自然數的集合，具有相同的「勢」。一個集合的勢，就是這個集合里元素的數目。

為什麼會這樣呢？你需要從頭開始想一想：當我們說兩個集合的元素一樣多的時候，我們實際的意思是什麼？

如果兩個集合都是有限的，那麼你可以數出兩個集合的元素數目，然後比較它們的大小。如果一個集合有限，一個集合無限，那麼顯然無限的那個集合元素更多。但是，如果兩個集合都無限呢？怎麼辦？

也許你會說，我們無法比較兩個無限集合的勢。但不要這麼急著認輸，我們其實是可以比較的。

現在世界上還有些原始部落，他們數數的能力很有限，有的只能數到3，有的只能數到5，再往上就只能叫做「多」了。但是，你如果給他們7個蘋果和8個桔子，你覺得他們會無法判斷哪個多嗎？不是的。他們會把蘋果和桔子一個一個地對應起來，最後發現剩下一個桔子，沒有對應的蘋果，於是得出結論：桔子比蘋果多！

這是一個非常具有普適性的方法，不僅適用於有限集合，也適用於無限集合。我們定義：如果兩個集合的元素之間可以建立一一對應，那麼這兩個集合的勢就相等。這是德國數學家康托爾給出的定義。只有通過這種思想，我們才能對無窮進行嚴肅的研究。

康托爾

根據這個定義，立刻可以看出，平方數跟自然數可以一一對應（n的平方對n），所以平方數跟自然數一樣多。同樣，偶數跟自然數可以一一對應（2n對n），所以偶數跟自然數一樣多。奇數跟自然數也可以一一對應（2n - 1對n），所以奇數跟自然數一樣多，如此等等。稍微想想，你還可以證明有理數跟自然數一樣多。

你也許還是會奇怪，平方數集合（或者偶數集合、奇數集合）不是自然數集合的真子集嗎？沒錯！一個集合是無窮集合的一個充分必要條件，就是跟自己的一個真子集具有相同的勢！

自然數集合的基數是阿列夫零（記為?0），實數集合的基數是阿列夫1（記為?1），所有函數集合的基數是阿列夫2（記為?2）

連續統假設:不存在這樣的超限數，大於 ?0，小於 ?1。

2是最高階的集合，也就是說，沒有 ?3。