拿破崙時代的炮兵究竟數學要多好？

12-24

我知道在拿破崙時代炮兵不只是體力活，還是技術兵種，必須要經過快速和精準的計算才能在炮戰中獲勝。

法國強大的數學造詣使法軍炮兵在歐戰中立於不敗之地。

但請問如果一個拿破崙時代的青年想當上炮兵軍官，他的數學究竟要多好？他究竟要學哪一方面的數學，學到什麼樣水平和熟練度，才能勝任？

先說答案，18世紀的法國幾乎只有軍校生才大量教數學,炮兵軍官工程師數學水平和今天985非數學專業相當。這個問題是個不錯的思路，由此思索發現美、俄、法三個軍事強國恰好是數學的三大聖地（出於客觀，撇開中國不談），而各自軍事崛起的時代也都是數學研究收穫期，例如美俄在1930後，法國在18世紀末和退出北約後（18世紀之前法國數學並不超群，恰恰是拿破崙時期，法國數學把英德兩國甩開：為什麼法國歷史上產生了如此多的一流數學家？），兩戰期間德語姓氏的數（理）學家井噴與德奧一時的縱橫也非偶然。本文分析一個更廣泛的話題：法國數學與軍事軟硬實力的相關性。如果覺得文章冗長偏離主題體，可以 只看斜體部分，斜體內容僅限於「拿破崙時代炮兵」。我承認那時推炮車搬彈藥的大頭兵文盲也能幹，但是題目重點應該是討論炮兵工程師和炮兵軍官，實際上「拿破崙炮兵數學水平」，下面第一張圖的教材就能夠概括了。

那時炮兵數學教育是極其複雜的，專門找了一個當時的炮兵教材，看不見可以點開看大圖。這本書是英國的炮兵工程師Benjamin ROBINS寫的，然後還是從德語版本翻譯來的。封面最後一行avec approbation et previlege du roi指國王允許並特批的教材。

因為原書太長，我沒有細看，這一段教材研究擺錘的震動，大致是把大炮當作底端固定的一個單擺，如果炮筒太長太粗，開炮時候會抖，故而做了這個數學模型。但這裡的鐘擺不是我們物理競賽的那種什麼2pai*sqrt（m/k）或者2pai*sqrt（l/g）這種簡化體，因為考慮空氣阻力的，這要從微分方程模型，第三列中間部分明顯的一個公式推導，書寫習慣和現在可能略有不同，當時並沒有把微分的dz放到最後，就醬：
$-int_{ }^{ } e^{mz} dz sinz=e^{mz} cosz-mint_{ }^{ } e^{mz} dz cosz$ 如果感興趣的話，不妨看看下面大圖，這個微分方程的推導難度，相比今天中國985非數學系的數學教材如何？

下面再說戰場，和諸多答案提倡的經驗性炮兵不同，戰場測量和就地計算都是必須的，可能中國戰爭片的扭曲，大家忽略了這部分，以日劇《坂上之雲》為例，在日俄戰爭做出傑出貢獻的秋山真之將軍作戰片段，秋山先收到炮兵角度數據作為input，然後用（下圖2）那個極其複雜的工具測量大炮與敵艦相對位置，再將數據傳給工兵，而工兵立刻繪圖並用計算尺計算大炮修正值，此時日本艦炮相比拿破崙法軍，技術優勢遠沒有上個世紀技術進步那麼多。

注意那個工兵的計算尺，現代人很少見過，我有幸在法國見過一次50年代學生的計算尺，可以進行比較複雜的三角函數開方對數計算，對數幹什麼，主要就是算微分方程了。

而更為複雜的數值計算，就要採用機械計算器，是不是和算盤一樣呢？不是！比複雜得多，更快，速度在戰場上是最大優勢。

下面系統化分析歷史背景，多數偏離「拿破崙炮兵的」的限制，如無興趣可以跳過：
一、法國18-19世紀交替時期，冷兵器依然在陸軍中佔有重大優勢，故而數學用處不大。但早期炮兵和海軍對數學要求較高。而軍官素養遠不止彈道計算和三角函數。尤其注意的一點是，拿破崙時期，以拉普拉斯為代表的半數數學家均是行伍出身，法國把該領域仰望星空的掌舵者用在了帝國的崛起上。而且這一時期，建立了Ecole Polytechnique、Ecole de Pont、Ecole Mine代表的幾所數學強勢學校，大量畢業生直接投身軍隊，或作戰略或備工程，直到二戰，依然有大量畢業生反德犧牲。

以下這段報道說明：dans un dictionnaire publié en 1837, une définition à peu près identique de Г ? ingénieur ? : ancien élève de l"Ecole polytechnique, il fera carrière dans l"un des Corps de l"Etat — le Génie militaire, l"Artillerie, les Mines et les Ponts et chaussées（1837年一流工程師投身軍工、炮兵、礦業、路橋） sont cités comme les plus importants — où il aura, grace à son intelligence et à ses exceptionnelles qualités de caractère, une fonction de premier plan dans le domaine de la défense （最優秀的工程畢業生投身國防）源自：Des Corps de l"Etat au secteur industriel : gen?¨se de la profession d"ing??nieur, 1750-1920

所以我推測普通炮兵工程師或軍官水平可以說和今天中國985非數理專業理工科生數學水平相當。有三點原因1這時的法國數學走在世界最前列2最先進的數學成果總是最早運用軍事領域，和互聯網航空航天衛星的歷史一樣3雖然柯西收斂剛剛提出，數學分析體系還不完善，但是早期的微積分、線性空間、經典力學、微分方程和歐式幾何已經成形或完善了，換而言之，今天985學校工科生所學的數學知識，在那個時代已經完成了。

為什麼說985水平呢，因為我有幸在博物館看過一些那時的教材（無圖抱歉），黎曼積分提出之前，有包含黎曼思想的很多其他積分方式，而這些所有方法都要求掌握的。以向量矩陣為例的線性空間理論，在那時更為混亂複雜，維度、秩、特徵向量、張量積、行列式多元方程都遠超過今天同濟版線性代數的難度。在沒有電磁學統計物理量子力學的時代，局限於經典力學的物理與數學一家，在軍事中應用尤為直接。由於炮兵執行先驅戰鬥，破壞對方陣營，炮擊數量與破壞力之間有微分方程關係。這一理論最終的成熟在一戰時期由Lanchester"s laws 建模完成。但是在拿破崙時期，更為簡單的模型計算也是完全可以建立的。

有些答案提到炮彈落點打不準，但是打不準不代表不能算，我不能100%確定炮彈落哪兒，可以建模一個射程距離的統計分布，然後利用這一模型列陣，並進一步計算打炮持續時間和火力安排。

在微分方程的數值解方面，軍事領域則極其重要，例如其他答案提到的彈道學，但是炮彈角度的計算遠遠不是高中物理能夠解決的。空氣阻力與炮彈速度的關係，即使是最簡單的正比，也要一元微分方程了，且沒有顯式代數解，戰地還要使用數值模擬（註：該題目常年作為法國某軍校考試題）。為此戰場上的幾何測度和就地計算不可或缺的。

二、從十九世紀中期到第二次工業革命前後，數學的軍事應用更為廣泛了。當然隨著Haussmann改革的來臨，巴黎大興土木，形成了今天的模樣，一種新的商業應運而生了，cabinet de calcul，專門從事數學計算的諮詢公司。這一職業在軍事中被長期廣泛運用，至今依然存在。舉個例子，偵察兵在邊境戰場拍攝了敵人堡壘圖，怎麼傳遞呢。大清八百里加急的時代，法國用類似微信照片的速度幾個小時從邊界線傳到千里之外的司令部，也是早期大數據雛形。怎麼辦？19世紀傳真很慢的時候，圖像需要壓縮，得益於大量數學屌絲，圖像立刻人肉數字化，然後手算二維傅立葉變換，壓縮抽樣有效信息，把最少量的數字電報回總部，然後復原。這一行為在二戰時期達到高峰，例如英國用解碼德國enigma密文，幾千維的矩陣求逆、特徵向量，曼哈頓計劃控制原子彈威力需要的大量非線性方程，在電子計算機出現之前，全部都是大量人力在草稿紙上算。

三、現代數學和法國軍事軟實力的儲備：不同於近30年的中國和冷戰後的俄國，一流的人才移民美利堅，法國最頂級的人才，依然如早期的柯西那樣，效忠法國的軍事黑暗科技。這個答案里綜合來說，從學生素質和畢業生表現來看，法國哪所學校最好？指出，法國的corps d『armement作為軍事人才儲備庫，為冷戰期間的彎道超車做出了傑出貢獻，今日的核武、航空、以及小精尖武器均得益於此。

法國的武器在數量上不及俄國，但是質量和穩定性上比俄國更高，至於往民用領域下放就更不知道高到哪裡去了，要不俄國也不會買法國軍艦。知乎上有個答案說過，舉全國之力製造核武器不難，但是遍地博物館卻只有少數國家達到。舉個例子，坦克發動機的設計壽命是幾十個小時，轟炸機飛行壽命也數萬公里，因為在壽命達到前基本就被暴了，實現這麼短的壽命，技術難度遠比一架空客400（該計劃2009年就出了不是道聽途說）要晚20年。
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下面回複比較集中的評論，外加文中援引出處：

【1】 20英軍彈盡糧絕時與100伊拉克民兵拼刺刀獲勝
【2】曼哈頓人才計劃部分：一位美女理科學霸寫的悲情圖靈
【3】 Lanchester微分方程模型這個鏈接就有
【4】本文第一句話，出處在這裡http://images.math.cnrs.fr/Les-mathematiques-au-XVIIIe-siecle.html，原話是Au XVIIIe siècle, les mathématiques, en dehors des écoles militaires, sont très peu enseignées. En revanche, dans les écoles militaires – du Génie, de l』Artillerie et de la Marine –, les mathématiques aussi bien ? pures ? que ? mixtes ? étaient enseignées pendant trois ans, à raison d』environ trois heures par jour. Cet enseignement touchait cependant très peu d』élèves, puisqu』une promotion des écoles militaires, tous corps confondus, comptait environ six cents jeunes hommes.
三年每天三小時數學課，也只有600軍官可以享受這個教育

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正常的炮兵軍官學員基本相當於目前的高中水準+初步微積分，部分運算對查表熟練度有要求。

如果一個拿破崙時代的青年想當上炮兵軍官，他的數學究竟要多好？他究竟要學哪一方面的數學，學到什麼樣水平和熟練度，才能勝任？

首先看教材，和當今一樣，當時法軍各學校各時期使用教材都有差異，例如拿破崙·波拿巴待過的歐索訥（Auxonne）炮兵團，其炮兵學校教材是一半皮熱（Puget）和隆巴爾（Lombard）版教材、一半裴蜀（Bézout）版教材。拿破崙本人使用過的1781年版裴蜀教材後被收藏家買走。（Napoléon Bonaparte et les généraux Du Teil (1788-1794), p. 15）

艾蒂安·裴蜀（1730-1783，通譯為貝祖，數學界多稱之為裴蜀，有人和我一樣中學時看到裴蜀定理差點以為是中國人嗎？）

以裴蜀版教材《數學課程（供海軍與炮兵使用）》（Cours de mathématiques, à l"usage de la marine et de l"artillerie）為例，全書共分六卷（拿破崙時期增補本見Cours de mathématiques à lamp;amp;amp;amp;#x27;usa，為適應教學形勢，還加入了包含綜合理工入學需知之類的噱頭）。炮兵部隊實際使用刪去海軍部分並重排的四卷本「炮兵聖經」《數學課程（供炮兵使用）》（Cours de mathématiques, à l"usage du corps de l"artillerie，革命前版本為供王家炮兵使用）。

六卷本增補版卷首

王國時期四卷本炮兵數學教材卷首

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《數學課程（供海軍與炮兵使用）》六卷本簡述

1. 算術（小學水平，部分對數查表除外）

典型例題：

乘法應用題（可能單位有人不大清楚，T=toise，P=pied=T/6，p=pouce=P/12，l=ligne=p/12，pts=points=l/10，l=livre，s=sol=l/20，d=denier=s/12）

沒有計算器，所以對數運算只能查表，不過這已是算術部分的最難篇目

2. 幾何：幾何基礎、平面三角、球面三角（炮兵專用教材無球面三角，中學水平）

全等三角形、相似三角形之類毋庸贅述

利用正弦、餘弦等定理進行三角測地也是常見例題

以及球面三角公式（當然，這是海軍學的，炮兵考不到）

3. 代數（中學水平）

會介紹如何解一次方程、多元方程組、二次方程以及在幾何（尤其是三角）中的初步應用

二次方程

三角

4、5. 力學、數學-物理，第4、5卷系微積分基礎和中學物理力學。

典型例題

動量守恆

展開

6. 導航，屬於海軍範疇，略

炮兵四卷本教材略有不同

卷1：算術、幾何基礎、平面三角

卷2：代數、幾何中的代數應用

卷3：微積分基礎、力學

卷4：力學

其次看學時

據Napoléon Bonaparte et les généraux Du Teil (1788-1794), p. 60-61

學制兩-三年，最後一年每周二、三、六各一次數學課，每次從上午9時上到中午，計3小時，需要學習的數學科目包括算術、代數、幾何、力學、應用幾何學。

實際炮兵學員考核分為兩部分，第一階段考核算術、幾何、平面三角（裴蜀版炮兵教材第1卷），第二階段考核幾何、代數、力學（相當於裴蜀版炮兵教材第2-4卷）——如拿破崙之類數學較好的學員，可以一次申請考過4卷。

從教材和學時，不難看出其實際狀況——較為擅長實用計算的高中學力+微積分基礎。

謝謝黃老師邀, @黃秋古，雖然我完全不懂數學和軍事。。。給各位大神跪了。
我只能給做一點知識性的補充

首先定義一下：
拿破崙時代：是法國資產階級革命後，拿破崙專政期間。1799-1815年。

我認為，歷史上任何事件 ,都離不開過去的歷史積累,當時的社會背景。

所以我會從在拿破崙時代以前，法國的軍人是如何產生的呢？開始說起

我們就從查理大帝開始，卡洛林王朝時期，當時的通用做法是就地徵兵。比如我們今天要去打布列塔尼，就開始在布列塔尼附近的村莊徵兵。

中世紀時期，十字軍東征。騎兵取代了騎士。

百年戰爭的第二階段，西方第一支國王常備軍出現。這要歸功於查理七世，組建了一支包含了20個營，每營600人的騎兵部隊

。

百年戰爭的最後階段，炮兵真正成為了法軍中的一個關鍵兵種，徹底挽救了法國。

中世紀過後，王宮貴胄紛紛開始擴張自己的常備軍，最早是自己的侍衛，然後各處招人。

太陽王路易十四有諸多創舉，軍事上面，他不僅擁有法國史上最強大的軍隊，也成為了世界上第一個給士兵發統一制服的國王。士兵的軍需用品均由國家提供。

王族的軍官和入關後的八旗子弟一樣，耽於享樂，忘記了自己作為軍人的使命。這些貴族不僅搞得士氣不振，更使得軍隊日漸僵化。然後，就迎來了世界上第一場現代戰爭：法國大革命。然後就出現了一位數學家：拉扎爾·卡諾。請記住他的名字，拿破崙成功，他功不可沒。這位總統的爺爺，全家開掛的人，於1793年對法國軍制進行改革。全民普遍徵兵進入大家眼球，請記住，這是人類歷史上的第一次大規模徵兵。從這裡開始：卡諾將軍率領70萬大軍，奔赴戰場，與反法聯盟進行殊死搏鬥。

我們需要注意的是，從這裡開始，軍官不再是貴族了。而是由高素質的人擔任，當時的政治氣氛，軍隊氛圍決定了軍隊需要更高水平的人來指揮。

前面說了一大堆，終於到了這句話。

然後，我要說的是軍校了。

1799年，拿破崙時代正式來臨。

三年以後的1802年，對於法國教育史來說，是一個無比重要的年份

為了培養國家精英，為軍隊選拔最優人才，拿破崙建立了高中。他認為，那些貧窮的人民是不應該接受優秀的高等教育。所以，他第一個把目標瞄準了x ，école polytechnique .

x 成立於1794年，創始人包括了我剛剛講的拉扎爾·卡諾將軍。當時建立的目的是為「炮兵、軍工、道路橋樑、民用建築、採礦、船舶製造、地形測量等」培養具有數理知識的職業培養人才「

拿破崙在x 提出的Pour la patrie, les sciences et la gloire.為了祖國、科學和榮譽，讓每個x的學生都為之瘋狂。隨後，1805年，拿破崙對x進行正式改制。

他決定把學生變成戰士，武裝他們的頭腦及身體。要求他們向軍人一樣地生活，不僅需要穿戴軍服，佩戴軍劍，更要用軍事化來管理學校。因為在他眼中，他們本來就是充滿理性的軍人。

在現代教育觀而言，拿破崙確實是使用了軍國主義的思想來對待x的學生，但是在當時的歷史環境下，他需要的就是精英，就是有水平，有素質的軍官。

在這樣的環境下，誕生了如柯西，卡諾（對，就是卡諾將軍的兒子）等一系列科學家。當然我最了解是在1814年入學的，後來成為實證主義創始人的奧古斯特孔德。

孔德是拿破崙的忠實支持者，後來也因雅各賓派的倒台而被x開除，但是他後來還是成為了x的數學老師，並且提出：數學是一切科學的基礎。「

除了x以外，還有一所學校聖西爾軍校
ESM

也是於1803年由拿破崙創立校訓為Ils s"instruisent pour vaincre. 為了勝利而受訓

就在這所軍校里，誕生了如戴高樂將軍，貝當元帥，也是秋山好古將軍遠渡重洋留學之地。

在這裡，最早的課程是數學、歷史、地理、書法、繪圖、工事設計和構築、軍事管理、炮兵運用、火槍射擊、體操、登山和游泳等。

所以，最後我還是跑題了。。。

不過，我作為一個女孩子，已經把我知道關於法國軍事的寫完了，點個贊吧。

一、有關題主的問題

註：鑒於知乎已經添加文章功能，有關炮兵學科的詳細文章將會在那裡發布。這裡就詳細談談18世紀末、19世紀初的炮兵技術的一部分。

首先說結論，拿破崙戰爭中的炮兵需要學習很多理工知識，然而在實戰中很少用到。

也就是說，題主說對了前半句話，後半句話就是想多惹：

我知道在拿破崙時代炮兵不只是體力活，還是技術兵種，必須要經過快速和精準的計算才能在炮戰中獲勝。

事實是，當時的炮兵未必需要快速、精準的計算才能在炮戰中獲勝。計算是可取的，但是當時的炮戰技術比題主想像中要來的無腦的多。

炮兵操炮，既然要轟擊敵方，自然也就需要瞄準。而題主所言的數學知識，要運用當然是運用在瞄準這一階段。

不過，炮兵只需要把炮口對準目標就可以進行轟擊了——這種情況常見於實心彈射擊。在野戰戰場上，如上圖，只需要將AB線與目標相交（同時要考慮角度問題）；而攻城戰更為無腦，這條線與目標相垂直即可（因為一般都是轟擊城牆）。當然，也需要考慮風向的問題，炮兵的解決辦法是粗估風速及風向，然後朝目標左方或右方開火。如果是跳彈攻擊，那就是另外一回事了。

如果要用到其他類型的炮彈，或者諸如榴彈炮這樣的炮種，就要大面積涉及到角度問題了。角度通過炮尾的仰角螺來調整。一般這種情況，可以直接參照軍官持有的距離角度手冊，調整合適角度、完成操作。由於火炮本身就有刻度，所以不需要精確測量就可以抬到3°（仰角）。如果需要更大的角度，則需要正切標尺來測定，最大可以抵達6-7°。然而在實戰中，正切標尺很少得到使用。炮兵首先會選擇試射，試射的目標位於地平線方向，然後進行角度調整（一般角度會調大）。也就是說，如果炮彈在試射的時候，因為重力原因沒有打到目標或其附近，那麼炮兵將會調整以補償重力因素。基本上，榴彈炮之外的炮種，有經驗的NCO都是通過目測及其經驗進行炮擊——這比起數學知識和運算來的更為關鍵。

仰角螺

英軍用正切標尺

炮兵真正在實戰中需要運用的數學知識，可以說只需要三角函數。甚至於經驗大於知識，尤其是選擇陣地這一塊——野戰戰場瞬息萬變，雙方會戰的地點未必來得及讓你進行測繪，只能根據經驗選擇最好的炮位。

不過實踐和理論學習可以說是很不同的，實戰時候炮兵相當簡單粗暴；然而成為炮兵的學習，卻是相當刻苦的，所學知識繁多。

以奧地利為例，利希滕施泰因親王在1744年于波西米亞的Budweis創辦了一所炮兵專科學院，1788年該學院遷往維也納，並更名為炮兵學院。

奧地利人的課程規劃有5年之久，夏天學生參加實戰演習，冬天則進行理論學習。理論課學習內容有算術、幾何、高等數學（兩年）、力學和彈道學；同時也要學會幾何作圖、地形學。其他的實踐軍事科目也很多，例如偵查、攻城/守城戰法、戰術、邏輯學，還有參謀作業等等。五年之後，有些人畢業就直接進入炮兵團了；優秀的人繼續學習，時長為兩年，內容有物理學、化學和具體的炮具工藝。

利希滕施泰因親王創立了利希滕施泰因炮系，該炮系可以說是1790s時最為科學、有效的。從炮兵學院的課程規劃來看，利希滕施泰因不僅在培養用於實戰的技術兵種，同時也考慮到以後炮兵學科的發展問題。法國的格里博瓦爾炮系便是效仿利希滕施泰因炮系，可見其先進性。

做個總結，實戰當中的炮兵可以說很少會運用到所學的知識，幾乎是根據實際情況、以及經驗進行作戰——但是這一切的基礎，是專科學院里寒窗苦讀、操練場上一次又一次實操。簡而言之，拿破崙戰爭中的炮兵理論上是一個技術兵種，實戰中還是一項經驗兵種。

Franklin C.E. British Napoleonic Field Artillery. 2008
Kiley K.F. Artillery Of Napoleonic Wars. 1988

順便說一下，拿破崙時代的炮兵標尺大多數是裝在炮尾的，然後樣子如下圖：

二、吐槽部分-更新中

這一部分主要是針對該問題下現存答案的吐槽，有的文字簡直是拍拍腦袋想當然寫出來的，不忍卒視，因而予以勘誤。

吐槽一：六磅炮的性能

「細思恐極的事情1：6磅炮在1公里的命中率為0......所以那些戰役圖大概都是坑人的」

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作者：Lee General
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來源：知乎

先來澄清一下細節，然後再做系統的概述。

首先不能把六磅炮以偏蓋全，各國鑄炮工藝標準各有不同，因而性能也不一樣。需要在論述之前指出的是

論及射程為1公里的命中率，王家炮兵的六磅炮肯定不服

數據一：

Nafziger G. Imperial Bayonet, 1995
Note：Shrapnel是一種類似霰彈的炮彈，一般稱之為spherical case。中空的炮彈中裝填步槍子彈。由於發明人為Henry Shrapnel而得名。

需要注意的是，英國六磅炮分為輕型與重型兩種型號，而能打出1200碼（約合1100米）有效射程的是重型六磅炮，數據三將會給出相應圖表。

數據二：

同上引書，這個是納齊夫格大爺綜合當時多數國家的火炮數據計算而來的圖表。
很明顯，作為多數國家的戰地輕炮的六磅炮，在1公里的射程仍是有一定殺傷的。出於法國的立場上來看，真正用於遠距離火力壓制的炮種主要是12磅炮。

數據三：

Franklin C.E. British Napoleonic Field Artillery. 2008
關於仰角這個問題我將會在第一部分綜述。我們可以清楚看見，英軍的重型六磅炮是能夠打到1公里的，當然那個零頭數字可以幾乎不計。

威靈頓：你們給我搞的這個六磅炮啊，excited

綜上所述，六磅炮在射程為一公里甚至以上的距離時，仍有一定的命中率——但是請注意了，各國對於六磅炮的定位都是步兵、騎兵作戰的火力支援（尤其是英國），所以轟擊遠距目標，根本沒有必要採用六磅炮。而原答主避重就輕，卻無視了最應當提到的12磅炮，實在是有失考量。

補充：
1、好事者造出來的12磅是依照哪個國家的炮系？如果是美國本土的我也就笑笑了
2、六磅炮的定位差不多是近距離火力支援，看看滑鐵盧聯軍炮位的布置的就清楚了

吐槽二：拿破崙時代的炮兵理論

早期炮兵可能是工兵信息兵外唯一對數學要求較高的兵種。而軍官素養遠不止彈道計算和三角函數。尤其注意的一點是，拿破崙時期，以柯西為代表的半數數學家均是行伍出身，法國把該領域仰望星空的掌舵者用在了帝國的崛起上。

著作權歸作者所有。
商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。
作者：黃秋古
鏈接：拿破崙時代的炮兵究竟數學要多好？ - 黃秋古的回答
來源：知乎

雖然有點地圖炮，但是我還是希望諸位能夠理性看待拿破崙對於炮兵發展的作用。

1、先來談談炮兵裝備的問題（主要集中於火炮）

從裝備更新換代上來看，革命戰爭以及拿破崙戰爭的火炮體系的基礎，是1776年的格里博瓦爾炮系。而在1801年的共和十一年炮系，做出的改動，是將太輕的步兵炮4磅炮和太重的8磅炮折衷，改進為6磅炮，以及統一規範炮具。當然，主持共和十一年炮系的是拿破崙的好友馬爾蒙，後者也的確是個專科將軍

拿破崙：執政府已經決定了，就是你來主持大局。
馬爾蒙：你還是另請高明吧，我實在也不是謙虛。

2、關於拿破崙時代的炮兵理論，《劍橋世界近代史》給出了中肯的評價

大概就是這樣，因為實際上拿破崙戰爭時期炮兵技術並沒有發展多麼明顯（包括俄羅斯的1805年炮系，實際上也是數年來俄軍炮兵技術的集大成者）。唯一明顯的是，生產力的提升導致在戰場上能夠大規模地使用火炮，至於火炮本身的並無質量層次的提高。

3、關於拿破崙時代各國炮兵兵種的極簡概述

法國眾所周知，而法國之所以炮兵能夠雄極一時，撇開各種通俗作品吹捧之外，更多的是因為舊王朝時期的格里博瓦爾炮系的確立。而格里博瓦爾炮系，很大程度上（可以說是幾乎）又是繼承自奧地利的利希滕施泰因炮系，前者的威力我們自是清楚，而後者的效益也是不言而喻的。戰史暫時不予更新，因為談及拿破崙時代的炮兵仍是一個需要嚴肅考察、考證的項目。一般認為奧地利軍事孱弱，實際上它仍是一個軍事強國。利希滕施泰因炮系的唯一問題在於騎炮兵的定位，導致該兵種的效率低下。

俄軍炮系，無論從作戰理念還是從裝備來看，與法系是有過之而無不及。尤其是俗稱的「獨角獸」加農榴炮，這一點也不用贅述。

「最爛」的兩國，普魯士和英國，普魯士炮兵及其炮系最不來事，克勞塞維茨也多次吐槽過。英國的問題在於缺乏重炮。

4、關於柯西
之前和朋友談到這個問題，柯西的論文更偏向於物理學研究，而且其人理論的精華部分大多出產自帝國後期。事實上，帝國後期我們也可以發現並沒有重大的炮兵改革。

5、關於本傑明·羅賓斯（Benjamin Robins）
得數最高的投票里，我們可以看見這位數學家的身影。不過該答主有點裝神弄鬼，不告訴你本傑明的傑出之處在於哪裡。他的高明之處在於利用彈道擺原理測出了子彈出膛時的速率——對，你沒有看錯，他測的是滑膛槍子彈出膛的速率。不過後人利用的他的方法測出了6磅炮的速率，這就是他高明的地方。

只要會基礎的平面幾何和三角函數就可以了（至於神馬地表弧度地轉偏向力不是19世紀炮兵要考慮的）。。。炮兵學校培養的不是數學家，具體參數讓數學家算好試射組試好之後隨身帶著就可以了。

從左到右分別是射程，仰角，飛行時間，落地角度，和落地速度（這張已經是前裝炮後期的射表了），炮兵要做的就是根據三角函數測距測高（這一部分很簡單，理論上來講用幾把靠譜的尺子和量角器就可以搞定），然後帶入。（然而命中依然全靠信仰）

稍稍跑個題～

首先歡迎大家自行搜索「射表」。

我爺爺以前當過炮兵（炮長），參加過金門炮戰，解放前讀的是私塾，據他回憶他是在十二歲左右上了學校才開始接觸數學的。

那時候的炮兵是沒有計算機幫忙的，計算起來估計也和拿破崙時代差不多。爺爺說過，他們炮兵必須要算好才能開炮，算裝藥量、角度之類的。

打一門炮是有分工的，我爺爺是炮長，負責計算（當然還有其他任務）。負責同一門炮的炮兵，對數學水平的要求也不可能相同。搞計算的一般是炮長。

另外藥包是提前配好的，似乎是分1、2、3、4號吧，所以計算起來是離散型而非連續型，相對要方便一些。

以下圖片來自於百度知道，我不敢確認，僅供參考吧～

他到部隊當了炮兵之後在專門的輔導班惡補了兩年數學。他自己說相當於又當了兩年學生，一點水分都沒有。

重點來啦！

我專門問過他們計算的方法，是不是要受力分析之類的，他說不用，直接套公式就好。只不過這是一套公式，不是一兩個，何況還有各種修正（比如風向風速啊），所以即使是套公式也有技術含量的。

據說當年有領導來視察（貌似是徐向前吧），要他們現場比賽（沒問是直接打金門還是打靶子），結果有人沒算好打偏了很遠，他算得還不錯正好打中，後來的事與題目完全無關就不說了。

當時有炮兵不算或者簡化計算後直接開炮的，這種基本都是概率殺傷。

因此，我認為他們的數學水平不可能差，畢竟是有這麼一大堆公式要現場算（何況還是在戰場上，又要速度又要精度，旁邊就是震天的炮聲，心理素質簡直讓人佩服啊），難度遠高於同樣的問題在考場上解決。但是也沒必要神化，畢竟炮兵的主業是把炮打准，不是搞數學證明（當然法國就有不少軍人出身的數學家，但是這種事情只可能在特定的時代在極少數人身上發生，現代數學與物理的前沿早已不是計算炮彈軌跡這種問題的了）。

而且以我個人的體會，如果把從列方程到解微分方程這一整套搞下來，就算你的計算結果是對的，那你的炮也不用打了。我覺得完全沒有必要把炮兵的數學水平普及到可以輕鬆地解出微分方程的地步。就算真的要算微分方程，也必然是有固定套路的那幾個。

更何況就有那麼一群人不信這些，憑經驗行事，基本就不算，你說這些人數學水平能好到哪裡去？

歡迎懂行的炮兵來講一講。

這個更多的考驗的是熟練度，炮兵的射角和裝藥量，彈道曲線都是提前計算好了，然後編成一本小冊子，然後平時炮兵都要背熟，戰時直接在腦子裡查表。當然也有簡化的計算公式，這個不會太複雜，不至於去解微分方程。

謝邀

主要是彈道學
那個年代打炮，有個要命的問題——你看不見彈著點

所以炮兵要會計算，射擊的角度和方位，要會測距，要會算彈道等等....
算得准打得准，算得快打得快

至於具體要會什麼
打個比方
6磅炮初速400m/s 轟擊對面800m遠，50米高的山頭，射擊角度多高？

你算這道題用到了什麼，大概就得會什麼，還得算得快
反正道理很實在，早一分鐘算出來，早一分鐘開炮，算錯了就打不準
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細思恐極的事情1：6磅炮在1公里的命中率為0......所以那些戰役圖大概都是坑人的
細思恐極的事情2：那個年代的射表居然用到了二戰
細思恐極的事情3：這個射表是歐拉寫的，雖然有表，但是在上戰場之前，還是要進行理論學習
細思恐極的事情4：這個射表因為不被信任，是用實彈射擊來反覆檢驗的
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這是美帝好事者玩兒的12磅炮，他們用水桶當靶子，這樣才看的清楚
這是一發打在地上彈起來的炮彈，你們覺得，在800米外能看見什麼....
6磅炮濺起來的土，自然更少一點我覺得憑那時候的望遠鏡，還是不要指望離遠了以後，能看清楚這玩意
當然如果離得夠近是可以校射的，事實上拿破崙在洛迪戰役時，就親自上手參與打炮

與炮兵有關的數學，應該就是解析幾何方面，平面幾何和立體幾何也有。與現代炮兵相比，拿破崙時代的炮兵所承擔的任務是不同的。
首先把這個問題區分開來，拿破崙不僅有陸軍，還有海軍，所以炮兵戰術也分為陸軍炮兵戰術和海軍炮兵戰術。
先說陸軍。
和現代榴彈炮動輒幾十公里的射程和驚人的殺傷力相比，拿破崙時代的火炮，與清軍在鴉片戰爭時使用的火炮技術水平只是提高了一些。說到炮兵的戰術，不得不先提一下此時的步兵戰術。與現代步兵的戰術相比，拿破崙時代的步兵戰術可謂簡單粗暴——線列步兵戰術。受制於此時步兵前裝滑膛槍的技術水平，步兵還是類似於冷兵器時代的方陣和線列作戰。說通俗點，雙方步兵排成一線，步伐整齊地步入戰場，然後排隊互射。方陣隊形則用於對付敵軍騎兵衝擊。這時候一般需要炮兵與步兵配合，用炮火撕開敵軍的線列步兵戰線，然後騎兵突入，屠殺敵軍殘兵。現代各國軍銜中的列兵，就是來源於「線列步兵」。
放幾張圖直觀感受下

炮兵上線，一枚實心彈打來

然後這哥們的腦袋就被炮彈帶出去了

騎兵殺入戰場

方陣隊形，專打騎兵，滑鐵盧戰役法軍騎兵就是被這玩意坑了，直接導致皇帝手裡無機動兵力可用……

據測算，當時不同火炮發射彈丸的炮口初速差別不大，但由於大口徑火炮彈丸較重，動能較大，射程自然也就要遠些。法國的12磅炮和8磅炮以及反法聯盟方面的12磅炮有效射程約為800～900米，最大射程2000米左右。法制的6磅炮及聯盟方面的3磅、6磅炮有效射程500～600米，最大射程1500米左右。可以看出，聯盟方面的炮兵無論是射程還是火力都要弱一些。為了對抗法國炮兵，英軍在拿破崙戰爭後期引入了9磅炮。這種炮在射程和火力上都近似於法國的8磅炮。

當時的榴彈炮炮身較短，炮口初速低於加農炮。仰角較高，彈道呈明顯拋物線。有效射程較加農炮短，約為400～500米。法國和英國的榴彈炮按口徑分類，法國裝備6英寸和8英寸榴彈炮，英軍裝備4.4英寸、5.5英寸和8英寸榴彈炮。

此時陸軍炮兵任務主要是轟開敵軍隊形，再加上較近的射程和火炮製造水平的限制，所以說計算的再精確也只能保證一個大概的命中區域，不過計算速度必須要快，因為射速太低。原因呢，則是和當時火炮繁瑣的操作方法有關。

首先結合下面的圖來看一下裝填工具有哪些。第一個是炮刷（sponge），頂端包裹羊毛，蘸水後用來熄滅炮膛內殘留的火星；第二個是干炮刷（mop），洗干前面步驟留下的水分；第三個渦狀的鉤子是用來清除炮膛內可能殘餘的紙片或纖維的（因為當時火炮的裝葯都是用紙或法蘭絨包裹）；第四個是裝填桿（rammer）；第五個是點火棒（portfire），棒的一端是一個紙卷，內含慢燃物質（火藥，硝石，硫磺和亞麻油的混合物）。

每門炮有炮手7名（法軍12磅炮有8名），步兵若干，用來協助移動、調整火炮角度，炮兵連遭到攻擊時還可進行必要的抵抗。7名炮手中，炮長通常由軍士擔任，一名點火手，一名裝填手，一到兩名負責搬運彈藥，一名負責蘸濕炮膛，最後一個不知道怎麼翻譯了（ventsman），姑且稱之為點火口操作手，一會兒大家就明白為什麼這樣翻譯了。如果只有一人運彈藥，餘下一人在較後的馬匹和「前車」的地方待機，聽候命令。每兩門炮會有一名中尉負責，整個炮兵連由上尉連長負責。

火炮裝填發射的全過程：

1、蘸濕炮膛。

2、與此同時Ventsman用拇指（應該有皮手套保護的，圖中沒有）按住點火口。這麼作是因為：發射後膛內溫度會迅速降低，膛壓減小，空氣會由點火口倒灌入炮膛。如果一旦有未燃盡的火藥，膛內又有殘餘火星，會傷害到正在進行蘸濕作業的炮手。

3、先後放入裝藥包和彈丸

4、用裝填桿壓實彈藥

5、Ventsman用錐子由點火口處探入，弄破此處的裝藥包，方便點火

6、Ventsman在點火口插入棉質引信或灌滿火藥（法軍12磅炮多的那一個人就是專門干這個的）

7、Ventsman用手蓋住點火口，防止強風或雨水干擾點火

8、電影里著名的那句「Fire」

9、點燃引信

10、發射

比起現代炮兵只要開炮閂裝彈拉火的操作方式，這種複雜程序所帶來的射速可想而知。

所以炮兵軍官計算速度必須要快，以求一次齊射達到最大的殺傷效果。

說完陸軍說海軍

拿破崙時代海軍艦炮的布置方式是船舷兩側布置，每門火炮有固定射擊口，火炮角度調整有限，再加上火炮射程不遠，所以海戰基本上就是雙方戰艦排列成兩條戰列線，在射程內用炮對轟，基本上和直瞄射擊差不多，所以對於數學計算……基本上沒啥要求。戰列艦即得名於此。

特拉法爾加海戰痛打拿破崙海軍的納爾遜座艦勝利號，可見側舷火炮射擊口

後來隨著艦炮技術的發展，戰列艦火炮射程逐漸提升，基本上不存在直瞄射擊，所以對於炮術計算的要求越來越高。
二戰最遠的艦炮命中停泊船隻記錄：馬薩諸塞號，西非卡薩布蘭卡炮擊讓·巴爾，28千米命中；最遠的艦炮命中航行艦隻記錄：沙恩霍斯特號，挪威海炮擊光榮號航母，24千米命中；最遠的海戰火炮對射命中記錄：英國厭戰號，地中海炮擊義大利軍艦，23千米命中。這時候人力計算基本上都玩不轉了，開始有了炮瞄雷達這種高科技玩意兒。

跑一下題，不知道為什麼，突然想起這位牛人，人家靠心算，我大天朝真是人才濟濟

圖片來源於網路，侵刪

最高票答案洋洋洒洒寫了那麼多，但我覺得基本上沒有直截了當的回答問題，而是在迴避問題賣弄學識，看的人云里霧裡。

回答問題不敢當，畢竟我不是炮兵出身，就在這班門弄斧分析一下這個問題，權當是拋磚引玉。

跟炮兵打過幾次交道，從炮兵連排戰術，營戰術，群戰術，總群戰術都有所了解，現場觀摩過122榴、130加、152加榴、155加榴各種口徑及牽引、自行、自走各種地盤的火炮，組織的直瞄、半直瞄、間瞄各種方式的射擊訓練。

應該說，就當前的炮兵計算，也就是彈道學應用，並不複雜，所涉及的數學知識就是滾加、滾減和三角函數（補充1：因為對於彈道的計算，事先就有模型，把前觀偵察到的數據填到模型里，立刻就能算出諸元，然後把諸元裝定好，就可以射擊了。所以其他答案里說當代炮兵射擊很複雜，那是不對的。打仗對反應速度要求那麼高，不可能在戰場上進行複雜的計算。如果炮兵計算很複雜，那麼把計算兵弄死，是不是一個炮陣地就打不了炮了？不可能嘛！現代炮兵真正最複雜的地方在於指揮信息系統，那個就不在這裡說了。），現代炮兵計算一個初中畢業生完全可以勝任。當然了，在炮兵單位內部，對計算兵的智力要求還是相對高於普通炮手。簡單來說，一批新兵分到部隊，通常通信兵的報務專業和炮兵的偵察指揮專業（也就是計算兵）優先選兵，把學歷最高、腦子最活、最聰明的挑走，然後警衛連偵察連把大個子挑走，剩下歪瓜裂棗的就給步兵、裝甲兵、炮手分分了。

當然也要考慮到，在拿破崙時代，能夠掌握連續加減和三角函數的人，恐怕也已經是高學歷人才了。但是呢恐怕還不是這樣，因為拿破崙時代的火炮是這個樣子的：

拿破崙時代只有滑膛炮，線膛炮要到1846年才出現。大多數火炮也都是加農炮，少量的「榴彈炮」也不是如今這種彈道射角特別大的榴彈炮

（這麼大的射角，普通人可能都分辨不出來是高炮還是地炮了，其實這兩張圖都是大口徑榴彈炮）

而是這樣的

從這些圖片我們可以看出，拿破崙時代的火炮，不僅是滑膛炮，而且是加農炮，通常只能打直瞄。當時所謂的「榴彈炮」打的也就是半直瞄。因為他的有效射程大約是500-800米，最大射程也就1500-2000米。沒有很大的射角。更何況這些炮都是直接在輪式炮架上射擊，而不像今天的炮兵，要在炮陣地構工展開，用駐鋤牢牢的固定在地上才能射擊，所以射擊精度不可能很高。

那麼既然是直瞄的話，他就跟如今的坦克炮一樣，指哪瞄哪打哪，打出去的彈道是一根相對平直的線，而不是大麴率的曲線，所以基本是不需要計算的。而且500-800米的射程，這麼近，看的一清二楚，還要什麼計算？第一炮沒打到，第二炮修正一下就行了。（補充2:看到有的答案里說800米距離看不見，這是扯蛋嘛！有沒有距離的概念？800米就是你在跑道上跑兩圈的距離，這個距離放到野外環境下，目標和背景的反差是很大的，看落彈點是非常非常非常清楚的。現場看過打直瞄半直瞄的人就知道，射程就2、3公里，站在炮陣地看落彈點非常清楚，根本不需要望遠鏡。間瞄曲射遠距離觀察落彈點，普通天氣5、6公里肉眼也能看見，天氣不好時需要藉助望遠鏡。）只有現代火炮動輒二三十公里的射程，隔山打牛，炮陣地根本看不到目標，才需要間瞄射擊，才用得到複雜的彈道計算。

而且圖上可以看到，拿破崙時代的火炮，炮身上根本沒有複雜精確的標尺，更說明打得是直瞄，不是間瞄了。

當然了，拿破崙對炮兵的發展是有很重要的意義的，因為拿破崙本身就是炮兵出身，但是他所發展的主要是炮兵戰術，也就是「大炮群戰術」，集中使用炮兵火力組織齊射和攔阻射擊，充分發揮了火炮「戰爭之神」的作用。還有就是拿破崙非常重視科技，遠征埃及期間，他帶了1000門火炮和2000名科學家，由此可見一斑。

1.有誰見過神槍手拿計算尺算彈道？
在計算機小型化以前的任何戰爭中，如果要等所謂的「現場計算」完成，要麼是敵人/敵艦跑沒影了，要麼就是己方/己艦被徹底摧毀了。

19世紀初拿破崙時代的大炮，仍是射擊精度極差的前裝葯滑膛炮。
比文盲稍強些的炮兵軍官能翻閱三角函數計算+經驗修正的射表，就已經很不錯了。

試射，校正，齊射。
這個炮兵打擊模式一直沿用到今天。

2. 數學，沒必要神秘化。
積分，顧名思義，不就是求累積之和么（面積、體積）？
微分，顧名思義，不就是求變化率（切線）么？

幾公斤重的數學書，翻來覆去，不就是把花花草草的計算過程提前寫出來，讓讀者背下來，免得以後自己從頭推導么？

3.大學一年級不應該分文理科。
數學，本來很簡單、很有趣、很簡潔、很美，卻經常被搞成唬人的噱頭和招牌。

一兩句話就能說清楚的事，竟然非要扯上微分、扯上積分、扯上代數、扯上概率與數理統計……

拿破崙時代的炮兵究竟數學要多好？ - 黃秋古的回答

你玩憤怒的小鳥的時候真的用數學了？

80年代打越南那時作圖計算都還是炮兵基本功和必備考核項目，直到最近三十年電子技術發展計算機小型化運算速度提高了才普及電子火控，海軍和防空炮部隊一戰二戰還有機械式火控能計算簡單的參數，陸軍就沒這麼舒服了，紙筆圖表必不可缺，尤其是炮火射程大於目視距離，又沒辦法派觀察員校射的時候命中率就只能看計算水平了，一戰戰壕大量運用空爆榴霰彈（這就是為什麼舊式鋼盔盔沿這麼突出，尤其是英國農夫帽），完全是通過圖紙計算彈道飛行參數來設定延時引信的計時時間，讓炮彈飛到目標上空時剛好能起爆，雖然戰壕戰基本都是固定目標變數少但是一不小心出錯了炮彈就飛過頭甚至提前炸了。不過總的來說炮兵所需要的數學水平應該低於現在的土木工程系的水平，大部分基層士官還是以背射表為主，水平好的能通過圖紙計算制出一份對應當前戰場的射表

不需要多高
火炮彈道的計算確實很複雜，但是炮兵不需要知道這些。有物理學家負責理論，氣動工程師給出模型，數學家負責擬合計算。

炮兵所需要知道的只是這些學者得出的計算表和修正公式就可以了。大概初中水平。

戰場上哪有時間讓你去解微積分對數方程之類的玩意。

我只知道皇帝酷愛尺規作圖，沒聽說皇帝還喜歡別的科目

好吧，你想打什麼炮？加農炮，榴彈炮還是臼炮？

加農炮的話好辦，大致估摸一下方向，親吻一下十字架打一發校射，然後調整角度親吻十字架後再打一發校射。

再說榴彈炮，拋物線你會算吧？很好你就是一個勉強合格的榴彈炮手了，因為當時的榴彈炮對炮手最重要的要求是估算榴彈引信激發時長！引信的事我們不去管他，就來說說打炮吧。一門沒有膛線的火炮如何打得准？靠信仰啊！所以打炮之前請親吻十字架。

臼炮就更簡單了，大致瞄準，親吻十字架，開炮！調整角度，親吻十字架，開炮！

至於問什麼一堆靠信仰命中的火炮能打到人？

呵呵(^_^)

65式37高炮二炮手前來報道。大學畢業進的國企軍訓就是擺弄高炮，操練了3月成功命中航模拖靶。可以負責地告訴你們，壓根沒用到丁點數學計算，埋汰了我大學學的高數，複變函數，離散數學。。。所有的計算都封裝在瞄準機械里了，三，四炮手根據測量兵測得飛行器高度，距離，方位，航速等諸元用旋鈕輸入調整一，二炮手眼前的瞄具來修正彈道。在全手動操作情況下，關鍵是整個團隊的配合協同。

一炮手：他是坐在炮盤上操作方向機,在360度範圍內1-2秒內撲捉敵機
二炮手：他是坐在炮盤上操作高低轉輪，負責高低90度上、下在1-2秒內迅速撲捉目標。根據炮長口令掌握髮火時機和停止射擊時機，該炮手是該炮主要炮手。
三炮手：是測距手.他手握距離轉輪他根據測距機手報出敵機斜距離不斷改變刻盤數字求出相應的距離射角。
四炮手：他左手握航路表示器隨時聽班長口令裝定飛機速度，右手按住航路表示器
五炮手和六炮手是炮盤正中站立，分別負責向左炮、右炮裝填、退彈等項工作
七炮手和八炮手負責輸送彈藥
另外還有一名炮長，負責傳達連長指揮口令

拉格朗日19歲被任命為都靈皇家炮兵學校教授。可見法國對炮兵的數學物理教育是很重視的。

數學，物理，機械等專業，應該降低學費，或者乾脆不收費。