直接帶隙和間接帶隙有什麼區別？

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一般而言我們希望獲得的是直接還是間接帶隙的半導體？我最近在做二維原子晶體材料，假如能結合這個方向說說就更好了（如單層二硫化鉬是直接帶隙的而塊狀是間接帶隙的）

回答什麼是indirect bandgap和什麼是direct bandgap之前，我們首先得知道bandgap是什麼。我們知道一個原子是由原子核與核外電子們組成的中性粒子。而電子們是以一定概率形式分布在類似軌道的核外電子云上的。但是Pauli Exclusion Principle告訴我們，相同量子態的電子不能同時出現。因為電子是fermion，它的波函數描述是asymmetric的，做一個asymmetric operation後就會發現，電子波函數消失，也就是說不存在兩個相同量子態的電子。如果只考慮到spin這個自由度分為spin-up和spin-down用以區分不同的量子態，那麼一個核外電子能級只能容納兩個電子。根據原子核的電荷情況，核外電子遵循Paul Exclusion Principle排布在不同的核外電子能級（Energy Level)上。這是對於一個原子的情況，但是真實情況是即使是只能在顯微鏡下看到的一小塊材料都有數以千億計的原子。當我們不斷加入新的原子也就是說，又更多的電子被引入，從而形成更多的電子能級。當電子能級的數量足夠大，電子能級之間的間隙就會變得足夠小，這個時候我們就可以認為電子能級是足夠稠密的，連續的了。我們把這些足夠稠密的電子能級們叫做電子能帶(Energy Band). 而固體物理告訴我們，lattice是由許多相同原子通過spatial translation獲得的。換句話說，這些原子排布具有spatial periodicity, 而分布在lattice里的電子能感受到來自臨近原子核spatial periodic potential的影響。此時，我們不考慮electron-electron coupling或者electron-phonon coupling，就把這個時候的電子當成quasi-free electron。這個時候，我們把這個spatial periodic potential帶進薛定諤方程的potential項，然後求解。這個時候就會發現，這個方程的wavefunction解極其類似量子力學中最經典的自由電子在兩端束縛potential中的boundary解，也就是wavefunction在boundary上形成了standing wave。而electron的能量解在boundary condition下不連續，有部分能級變低了，有部分能級變高了，沒有能級的空白區域（也就是forbidden region)是前面的standing wave的自然解。在固體物理上，我們把這些在boundary的能量差叫做Energy gap,而形成這些解的boundary叫做Brillouin Zone（動量空間描述，也就是空間橫坐標變數是動量k，以區別我們實空間描述，空間坐標變數是空間規度 x）。換句話說，電子被lattice在動量空間的Brillouin Zone boundary散射從而想成了一個能級禁區，禁區內不會有電子能級存在，從而電子也不會以這個能級對應的能量存在。那些已經被電子full filled的band我們稱之為Valence Band，而那些沒有被電子filled的band我們叫Conducting Band。進一步，我們稱 lowest unfilled energy level of conducting band為Conduction Band Minimum(CBM)，稱highest filled energy level of valence band為Valence Band Maximum(VBM)。也就是我們上面提到的導致standing wave的兩個能量解對應的能級。有個鏈接很好，想詳細了解操作細節的可以點這裡Ref【1】http://www.physics.smu.edu/scalise/P5337fa11/notes/ch07/chapter7.pdf

關於Brillouin Zone, 其實直觀上的理解就是lattice在動量空間的Fourier Transform.關於如何獲得Brillouin Zone, 我們必須得知道lattice的對稱性，原子排布，然後找出unit cell，畫出unit cell vector。之後再根據unit cell vector，算出reciprocal vector，然後再對reciprocal vector畫bisecting line(2D）/bisecting surface(3D), 而這些bisecting stuff圍成的區域就是brillouin zone. 而Brillouin Zone的corner或是 middle point都具有高對稱性，一般直接對應於CBM或是VBM。好，現在來回答什麼是indirect bandgap和direct bandgap。直觀上理解就是，direct bandgap對應的過程是：一個電子在動量空間從VBM激發到CBM並不需要phonon (quantized energy of lattice vibration)的參與（也就是不會被lattice vibration scatter)，因為VBM和CBM在動量空間的location一致。而indirect bandgap對應的過程則需要phonon參與，也就是說電子會被lattice scatter，從而放出phonon。而電子一開始是沒有momentum的，所以必須引入phonon,因為momentum方向必須滿足動量守恆。打個不恰當的比喻，如果你在一棟樓里，從一層到頂層只需要坐電梯垂直起降就好，但是如果你想要到臨近樓的話，那你就只能藉助樓與樓之間的通道或是橫跨電梯了。這裡phonon就像這個橫跨通道的作用。之前答案已經有人提到，direct bandgap semiconductor有更長的electron-hole recombination lifetime，所以發光效率很高，非常適合做光電器件。這樣就是為什麼monolayer 2D Transition Metal Dichalgenides(TMDs)能在graphene之後獲得巨大關注的原因。

Ref【2】: http://ned.ipac.caltech.edu/level5/Sept03/Li/Figures/figure8.jpg

下面主要來講講你所關心的MoS2為啥在bulk是indirect bandgap而到了monolayer變成了direct bandgap。monolayer和few-layer,甚至bulk的最大區別就在於，它是純的2D system，所有的電子都在2D體系內感受到了perpendicular的quantum confinement，而且不再有interlayer coupling存在。這裡放張挖坑之作里的圖。圖中可以看到，在bulk的時候，1.8eV的direct bandgap在Brillouin Zone的K點形成，而與此同時，在 Γ點的v1（VBM)和沿著 Γ-K方向的c1(CBM)形成了一個1.29eV的indirect bandgap。

Ref【3】： doi: 10.1103/PhysRevLett.105.136805

根據15年Wang Yao組的文章[4]，可以這樣這樣理解這個crossover from indirect to direct bandgap transition. 首先當然得仔細看band structure contribution。對於在K(K")點的conduction bands主要來自Mo的d_z軌道(這個是out of plane),少許來自S的p_x和p_y; valence bands還是來自Mo,這次是d_x^2+y^2和d_xy（這個是in-plane),少許來自S的p_x和p_y。而位於Γ點和K(K")點之間的c1 CBM 主要來自Mo的d_x^2+y^2和d_xy,少許來自Mo的d_z, S的p_x, p_y,p_z軌道，而Γ點的valence bands主要來自於d_z, 少許來自p_z。兩個都是out of plane。除了來自Mo的d-bandwidth外, Mo-和S的hybridization也會參與determine bandgap。所以隨著layer number在減少，in-plane的軌道基本不受影響，主要影響的是out-of-plane的lattice hopping和orbital hybridization。而Mo一般主要和同個trigonal prismatic structure的S相互作用，而S不但和同個unit cell的Mo作用還和相鄰layer的S相互作用。所以K(K")的CBM和VBM基本不變，而S-S之間的electron hopping在不斷被weaken, 而Mo-S之間的hybridation也受到影響。同時，在monolayer MoS2，in-plane的inversion symmetry breaks due to trigonal prismatic structure。所以有個crystal field應運而生，同時會影響bandstructure. 綜上所敘述，out of plane sensitive的c1在monolayer的時候被greatly lift to higher level, the associate indirect bandgap becomes smaller compared to direct bandgap at K(K") due to its nature of Mo d-orbitals. 還有朋友提到這是一個2D的自然結論，據我所知，trigonal prismatic 或者是in-plane inversion symmetry breaks的materials應該都有這個性質，不過不清楚是否已經被DFT理論計算驗證。

Ref【4】：Electronic structures and theoretical modelling of two-dimensional group-VIB transition metal dichalcogenides

希望我的答案已經回答了你的問題。

一般我們希望獲得直接帶隙半導體。
他們的區別在於價帶頂和導帶底是否擁有相同的波矢k。
直接帶隙半導體電子躍遷時不需要釋放或吸收聲子（即晶格振動），而間接帶隙半導體需要。而且聲子的能量也是分立的，所以直接帶隙半導體更容易躍遷。
至於二維材料，MoS2單層是直接帶隙的。多層是間接的。據說這個是挺自然的結論。某師兄告訴我，固體物理里可以證明，二維材料如果存在帶隙（或者零帶隙），總是直接帶隙的。然而我並不會證明……
希望回答對你有用。有常識性錯誤的話，笑笑就得了……

先說明一下k，他是時空間長度的倒數，是倒格子里的長度單位。之所以引入倒格子和波矢，是因為當倒空間某一點確定，那麼其波矢確定，從而根據德布羅意的波粒二象性公式確定電子在某一位置的狀態，即能量和動量確定，一般倒格子的相關處理通過傅里葉變換解決。在直接帶隙中，因為導帶底和價帶頂的波矢相同，那麼他們便擁有了相同的動量（hk），那麼電子在躍遷的過程中只發生能量的變化，不發生動量的變化。所以這種躍遷更容易發生，現在的LED燈的工作一般採用這個，而間接帶隙因為波矢不同，在躍遷的過程中還存在動量的變化。所以定義一能量量子，讓其具有準動量，並參與間接帶隙電子躍遷。

補充樓上，從效果上說，直接帶隙半導體內電子空穴更容易複合，雖然不一定發光，（釋放的能量也有可能轉成熱），但這是高效發光的前提條件。物理上也可以用recombination lifetime，複合壽命，來表徵。容易複合，也即載流子的壽命更短。如用作LED發光的氮化鎵，載流子壽命為納秒或更短。
硅是間接帶隙，載流子壽命在微秒量級，發光效率低到根本不能用來發光。
所以說想要直接還是間接，還是看你的application。

直接帶隙半導體指的是電子價帶頂躍遷到導帶底，保持k不變，沒有聲子等的參與。間接的則k改變，由於動量守恆，有聲子等的參與。

直接間隙的導帶低和價帶頂對應與k空間同一點，間接帶隙對應不同點。

直接帶隙半導體材料就是導帶最小值（導帶底）和滿帶最大值在k空間中同一位置。電子要躍遷到導帶上產生導電的電子和空穴（形成半滿能帶）只需要吸收能量。

間接帶隙半導體材料導帶最小值（導帶底）和滿帶最大值在k空間中不同位置。電子在k狀態時的動量是（h/2pi）k，k不同，動量就不同，從一個狀態到另一個必須改變動量。

直接帶隙是在同一個K空間，間接帶隙K不同，電子躍遷除了要吸收能量還需要改變動量

對於VB的解釋容我考證

看能帶圖啊，一般發光器件和感光器件需要直接帶隙