在多大高度跳水時，人會在撞擊水面時死亡？

12-24

最近剛看完一篇用SPH算Slamming force的碩士論文，難得勉強夠得上回答一記（自己跳過13米的懸崖，摔得也不輕，還能來點現身說法）。
由於人體不是剛體，也不是純柔體，算是一個多關節自由度的彈性體，這個花樣作死的問題變數很多，目前能想到的有：死亡標準、入水姿勢、入水速度、個人體質、流場狀態等等。現實的實驗中，研究人員也沒法把人一個一個往下扔拿結果做回歸曲線和死亡概率統計，所以只好做一點數值模擬了。
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死亡標準：有人說死亡標準有什麼難的，跳完了拖上來看看還能不能蹦躂不就行了？非也非也，有的人跳水下來是由於心臟病發作嚇死的，這樣用不了兩米的高度就夠了；有的人是內臟摔爛了痛死的，有的人是全身骨折慘死的，還有的人是摔昏了被嗆死的。不同的死法所需要的最小高度都不一樣，為了方便計算，我們取人體大腦能承受的最大加速度為死亡標準，這就保證了哪怕你摔的高位截癱全身器官換個遍加全身粉碎性骨折，只要你的大腦還健在，我們還是可以把它挖出來放進營養液中插上管子讓你用VR玩Overwatch。

圖一：Brain in a jar w/ VR goggles
Eli Beeding
是美國空軍做過的最高加速度試驗，這位叫Eli
Lackland Beeding Jr.的空軍上尉曾經受過最高高達82.6 g的0.04秒瞬時加速測試並成功活到了85歲。我們就以大腦加速度82.6
g作為死亡臨界標準。 $a_{max} = 82.6 G = 810.3 m/s^2$
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入水姿勢：入水姿勢的講究就更多了。先來看幾個例子：

圖二：正面入水

圖三：團身式入水

圖四：中國隊入水

圖五：外國隊入水

圖六：納粹淹禮
那麼哪種姿勢入水衝擊力最小呢？
首先，入水時的衝擊力和物體在浸沒時的勻速運動中收到的阻力並不一樣。後者可以用 Morison equation 簡單推得 $F_d = {1/2}* ho C_dAU^2$ ,阻力和水的密度、運動方向投影面積、速度的平方成正比，同時與物體形狀有關。這裡的 $C_d$ 代表著物體阻力係數，球體的阻力係數為 0.47,正方體的阻力係數為1.05。然而入水時的衝擊力是由 $F_s = ho C_sAU^2$ 得出的，雖然相關性與阻力公式一致，但是衝擊係數 $C_s$ 比阻力係數大的多，而且 $C_s$ 不是一個定值，它與物體入水的不同時刻有關。但是首先我們來看，水的密度越大，入水速度越大，接觸面積越大，衝擊力也就越大。衝擊力越大，那麼瞬時加速度也就越大。所以在入水姿勢無法影響到水的密度和入水速度的時候，我們首先要考慮接觸面積最小的姿勢。那麼就只有兩種：身體筆直頭先入水或腳先入水。
人的腳比手更能承受衝擊力，手握在一起能形成更小的接觸面積但頭會更早入水。綜合成功率和安全係數考量，這裡選用腳入水的方式。正常成年人一隻腳腳底面積約為 100 平方厘米，所以 $A=0.02m^2$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------入水速度：接下來我們就可以考慮這個花樣作死問題的真正變數高度（速度）了。首先為了簡化問題，我們假設同樣高度以同一姿勢落下的接觸速度一致，那麼當速度垂直於水面時法向速度最大，衝擊力也最大。忽略旋轉對入水速度的影響。
von Karmen 和 Wagner, H. 分別各自在1929年和1932年http://www.iwwwfb.org/Abstracts/iwwwfb23/iwwwfb23_28.pdf提出了關於楔形體入水的衝擊係數推導，由於von Karmen 沒有考慮在物體入水情況下水面會發生局部抬升，而Wagner考慮了液面高度的影響，Wagner算出的衝擊係數 $2pi$ 正好是von Karmen $pi$ 的兩倍。
Campbell, I. M. C. 和 Weynberg P. A. 在 1980年I. M. C. Campbell and P. A. Weynberg, 「Measurement of Parameters Affecting Slamming,」 Report No. 440, Wolfson Unit of Marine Technology, Southampton, 1980.做了一系列的實驗，測得一個圓柱體水平入水時的衝擊係數為
$C_s = 5.15/(1+9.5Vt/R)+0.275Vt/R$
$V, R, t$ 分別為速度、半徑和時間。在入水那一剎那衝擊係數為5.15。
Zhao, R.和 Faltinsen. O. M.在1993年Water entry of two-dimensional bodies 中對楔形體以固定速度入水進行了計算。

圖七：不同角度楔形體入水時的壓力分布

圖八：不同角度的楔形體入水時衝擊係數
Campbell, I. M. C. 和 Weynberg P. A. 提出衝擊係數和傅汝德數（速度）沒有關係，是個常量，我在這簡化考慮就取 $C_s=5.15$ 了。歡迎各路大神前來指正。
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流場狀態：不知道大家有沒有看過跳水訓練時水池底下經常加人工氣泡，

圖九：水池裡的氣泡
作用就是降低水的局部密度而減小衝擊。那麼在戶外很少有這種條件，我們還是取
$ho=1000kg/m^3$
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個人體質：什麼個人體質最重要？沒錯體重！體重最重要！在我們只保大腦的前提下，入水者體重越大，在體型和入水姿勢不變的情況下，相同衝擊力產生的加速度就越小。你的大腦質量並不會因為你的體重增加而增加，因次大腦受到的衝擊力會減小。當然，你身體的其他部分可能就沒那麼走運了。因次在這我們選擇一個 $m=100kg$ 的大胖子。

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那麼就可以開始算了
設高度為 $H$ ，不計風阻，接觸速度為 $sqrt{2gH}$ 。
$C_s ho (2gH)A/mleq a_{max}$
$Hleq 40.09m$
從四十米以下往下跳都是安全的。
結合實際的世界記錄來看：https://www.google.no/url?sa=trct=jq=esrc=ssource=webcd=2ved=0ahUKEwjTy-u4i_jMAhUDZCwKHSHuAyQQFggfMAEurl=http%3A%2F%2Fwww.newsweek.com%2Flaso-schaller-dana-kunze-dave-lindsay-high-diving-cliff-jump-365349usg=AFQjCNGBU-nPVV6uHfuziul-vii7rqYDIgsig2=FE5KyMZBaY8HOUdvRxWbIg
Dana Kunze 在1983年聖地亞哥的海洋世界創下了172ft(52.43m)的記錄，隨後Olivier Favre在1987年跳了54m，LASO SCHALLER在2015年跳了59米。觀察這些視頻你可以發現，他們都是以腳先入水的方式進行的，也沒有人入水後失去意識。考慮到風阻和其他不確定因素，我的計算基本上是和這些紀錄保守地吻合的。
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那麼問題來了。這些人連意識都沒有失去，算什麼死亡標準，人類可以跳的更高（作更大的死）！
現在取人體皮膚可承受的極限拉伸強度為標準， $P_{max}=15MPa$ ， $C_s ho (2gH)Aleq P_{max}*A$
$Hleq 148.45m$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------還能再給力點么？
跳傘運動員在風阻下可以達到的最大速度約為53m/s，那麼入水時的衝擊加速度為

$C_s ho U_{max}^2A/m=a_{max}$
$a_{max} =294.93G$
所以，一個體重兩百斤的人腳朝下筆直往水裡跳，如果他能承受295個重力加速度（Steve Rogers鐺鐺鐺鐺），那麼不管從多高的地方往下跳都不會死了。

圖十：美國隊長

Sorry no Chinese input method in the lab machine.
It is completely wrong to estimate the force by drag coefficient for steady incompressible viscous flow, as seen in the highest voted answer.
Please read this for a review:

Water Entry of Projectiles
Annual Review of Fluid Mechanics
Vol. 46: 355-378 (Volume publication date January 2014)
First published online as a Review in Advance on September 18, 2013
DOI: 10.1146/annurev-fluid-011212-140753
Tadd T. Truscott,1 Brenden P. Epps,2 and Jesse Belden3

In general it depends on the angledimensionshape
oughnesswater depth.

估計上面的都沒看過流言終結者中的一集, 詳細說明了怎樣從6樓高跳入水池無傷, 好象是只有兩米深的水池.

小時候看discovery記得是40米還不知道是50米的時候，撞擊力量和水泥地一樣。記錯勿怪

在美國，有一種高空特技跳水比賽，特製的鋼架跳台高48米，檯面寬約70厘米。運動員自由選擇比賽動作，由裁判員評分，得分多者為優勝。在墨西哥，有一種傳統的懸崖跳水比賽，懸崖高達60米，下面是大海。運動員所跳動作與美國48米高空跳水相似。由於高空跳水危險性較大，容易出現傷害事故，所以在世界上開展得不很普遍。
在福建冠豸山直上直下的馬鞍寨懸崖上，主辦方事先搭建了兩個不同高度的跳台，一個18米，一個28米。但由於雨水少，湖面降低了2米，原有的高度無形中就增加到30米。在比賽前的試跳中，只有2名選手攀上了28米跳台。沒有一名女選手敢於嘗試第二高度。但比賽過程中還是出現了意外。第一個出場的德國女選手的第一跳就因為入水傾斜，背部拍在水面上而被救護艇送走。她的失誤似乎影響了其他選手，德國男選手在第二跳中身體側面著水，右側一側皮膚被拍裂，滲出血來，不久就青腫起來。據了解，世界上從事高空極限跳水的只有35個人，世界級的高手則有10幾個人。（這兩段話摘自百度百科）。
從這兩段看來，目前跳水最高高度是60米，但20多米跳下，如果姿勢把握不對，妥妥的會受傷，傷勢輕重要看入水角度和懸崖高度。

電腦增訂版來了！加粗以示修改

高中畢業水平的手機黨試答：首先，根據問題，可以抽象成人最終死於超過生理極限的垂直重力加速度。記得美國宇航局的數據是人最高耐受32g，但這未必是瞬時致人死亡！
參見人能夠忍受的極限加速度是多少？
我們取Justin Lee 提供的「50g」作為終極目標。
設此人體重為60kg，其入水後能承受的最大阻力是：F=50mg+1mg。
然後，根據流體力學，物體在流體中運動，有兩種阻力：由流體在物體表面分離產生的壓差阻力，和流體粘性產生的摩擦阻力。總阻力可以表示為：總阻力 = 0.5×流體密度×物體相對速度的平方×阻力係數×特徵面積。權且當作純水，密度算1000，最小抵抗路線是垂直落下，阻力係數按球形和梭形之間算0.5，頭部+肩膀的正交投影面積估600+400平方厘米。

最終結果：60kg的人從61米高處落水必死，空中歷時3.5秒，接觸水面時速度約為35米/秒，即126km/h。
如果按照並不是太逆天的「32g」來算呢？答案是39米！空中歷時2.8秒，接觸水面速度約28米/秒，即100km/h。
查了一下，造價30億美元的美國海狼級核潛艇，最高速度是65km/h。。。
看到「km/h」這個單位以後心中是否一驚？

這裡值得再開一個話題了：「為什麼卡車是小轎車永遠的痛？」
無論相向碰撞還是逆向碰撞，重量懸殊的兩輛車因碰撞產生的加速度大小也是極其懸殊的，粗略來看，質量比1：10的小車和大車相撞，他們加速度的比值是：10：1，此時即使不存在擠壓傷，單憑加速度，就足以令小車乘客受到巨大傷害——再完美的安全氣囊和吸能車架，都比不過水的溫柔吧？

最後，聰明的你一定發現了：體重大一點，安全的跌落高度就高一點！我從100米的高處跌落，入水時才有50g的加速度。。。39米的話，真的是跳著玩呵呵

暫時沒有機會做文獻閱讀、推倒公式然後提供全面、嚴謹的對題目的答案，以下僅提供一個思路。有空再回來！也歡迎高手對我的答案進行補充。
同時糾正一些思路錯誤的答案。

第一章：公式

(0) $extbf{F}Delta t=mDelta extbf{v}$
(1) $dfrac{{partial} extbf{v}}{{partial}t}=-dfrac{1} ho { riangledown}p$
(2) ${ riangledown}cdot{ extbf{v}}=0$
方程（0）是個衝量定理，刻畫了段時間內的動量變化和力的關係。方程（1）是一個簡化的Navier-Stokes 方程，刻畫了流體的動力學規律（動量）。物體高速觸水的一剎那，其他項都是可以忽略不計，上面有個很長的答案考慮粘度帶來的阻力，流體的粘滯在這個情況下相比慣性太微不足道了。
方程（2）是一個質量守恆方程，刻畫了不可壓縮流體（水）的運動學規律（速度）。
首先，簡單起見，我們假設人體是一個剛度無窮大（或者說，不論受力多麼大都不會變形）的方敦子——這非常不科學！但是非常數學:)

第二章：數學模型

下面我們來考慮觸水那一瞬間發生在方敦子的一角附近發生的事情：
以方敦子的一個角為原點建立一個球極系，方程（1）、（2）經過一些化簡、方敦子的那個角落附近的流體在觸水的一剎那的速度分布由方程（3）刻畫。其中r是流場中質點到坐標原點的距離。
（3） $extbf{v}=kr^{-0.186} ,k e0$ ,
注意到 $v ightarrow infty @ r ightarrow 0$ （直觀地物理解釋是離敦子很近的水會以無窮大的速度離開強硬的墩子，給墩子騰地方）
而這個過程是在無窮小的時間內完成的。然後我們再看方程（0）。當 $Delta t ightarrow 0$ 的同時 $Delta extbf{v} ightarrow infty$ , 進而，所以流體給敦子角的力 $F$ 也是無窮大的。如果我們分析一下一個圓柱體，會得到類似的結論。直觀的解釋是什麼呢？從很小的高度上掉落一個剛體，在碰到水的一剎那，稜角的地方會出現奇異點，出現無窮大的流體速度和無窮大的作用力。

至此，我只想藉此說明，水是多麼「硬」的一種東西，她有能力給你無窮大的作用力！

第三章物理模型

數（zhuang）學（bi）到此打住，讓我們回到現實。之所以我們沒有從1m跳台上跳下，然後摔死在水裡，是因為：
1. 人體基本上是圓的沒有稜角，第二部分的singularity analysis does not hold any more... , so $Delta extbf{v} ightarrow infty$ may not hold either.
2. 更重要的是，人體（世間萬物）在考慮衝擊的時候都不能把它看做剛體，於是 $Delta t ightarrow 0$ 也不滿足了。
但是我們依然能體會到，在人體高速入水的時候，會把最先接觸的那一小部分水在很短的時間內從靜止加速到一個很高的速度。這就物理上保證了來自水的衝擊力可以很大。這個力至少和入水速度、人體的材料特性（剛度）、水的密度、人體的形狀（包括姿勢）有關。

第四章生物學

至於怎麼才能死人，這個俺就不懂了。但是我覺得那個力作用在腳底板和作用在頭頂和法向作用在脊柱上效果絕對差很遠！

看姿勢！

作為一個21年的野外游泳愛好者，我告訴你，姿勢對了，30米以下一點事沒有，姿勢不對，2米就能把你拍的生疼，這個姿勢就是頭朝上筆直入水，腳尖都要綳直，還要用手捂著ball ，不然滋味…再教你一個小訣竅，跳水高度十米以下的在空中時間短的，你可以從起跳就保持筆直入水姿勢，但如果是十米以上的在空中時間一秒以上的，起跳時你就要蜷縮身體成一個團狀，來保持平衡，入水時再順勢轉換成筆直狀態，不然在空中筆直繃緊身體時間過長，就會不受控制的有一些傾斜，入水時還是會拍到側面，生疼！我老家山腳下有個深潭，一面是個斷崖，二十多米高，我們經常跳，有時候夏天下大雨河邊大柳樹大楊樹被沖歪了，我們經常爬到樹頂往河裡跳，也有十幾米了，一點事沒有，現在想想，好爽！當時全是孩童的歡聲笑語，但是嚴禁嗨過了，張牙舞爪雙腿大開的入水，有可能就廢了，睾丸還是很脆弱的，經不起大力拍打

MC里，Steve 只要有一格水，再高都不會死

我當年在跳水隊時
有一次跳7米台
入水動作沒做好
肩膀上臂前胸腫了三周
而後我被禁止跳十米跳台因為我太高了 186cm 會輕輕鬆鬆脖子斷了

所以至今沒跳過十米跳台
別驚訝我真的是跳水隊有史以來身高最高的男隊員柔韌性還是不錯的

小時候印象深刻，什麼都不懂，下池塘游泳。
學著電視里的套路從岸上一個魚躍，打算一頭鑽進水裡，連壓水花的動作都想好了。我想高度最找多不超過一米五吧。可能是動作不夠標準，也可能是膽怯了，時間久遠記不清了。只記得肚皮最先接觸水的。
你問我什麼感覺？
當然沒有生命危險，但是當時我感覺我砸到了水泥地上面。整個胸腔不能呼吸，心臟砰砰的跳。
跳水的變數太多，不好判斷，但是，水確實沒那麼友善。

國際懸崖跳水聯合會規定，跳水高度一般為男子23至28米，女子18至23米，說明30米這個高度應該是安全的。
但據報道曾有，在墨西哥太平洋沿海城市阿卡普爾科老城北端的懸崖上，一支由6名小夥子組成的跳水隊從近40米高的懸崖上跳入大海的驚險表演。別看僅僅多出了10米，但安全係數已經降到很低了。一般人不要說跳水了，從這個高度往下看，嚇都嚇死了！
懸崖跳水比賽時允許運動員採用頭和腳入水方式，所以垂直入水是必須的（其實專家建議有個角度是最好的）。如果身體水平/橫著撞擊水面，在那個速度慣性衝擊下，估計會被拍死的。

樓上的很多回答非常不錯，有理有據，令人信服。
但如果談個案，人從多高掉入水中會死，我的結論是，說不定。

@鄭好的答案中提出計算加速度的方法，我覺得很有道理，在此想補充更多的細節。
第一，考慮空氣阻力，人從空中往下掉的話最高速度很難超過50m/s，大約也就150~200米之後速度就恆定了。當然這一點對跳橋什麼的，50米~100米高度影響很小，落水速度仍然與在真空中下落一樣，誤差可以忽略。並且比較重的胖子會掉的更快，所以大家要注意身材噢！
第二，考慮水具體和人體作用的方式，以不同的姿勢落水，受力區域完全不同，受力區域不同壓強也就不同，因此受到的傷害是不一樣的，也正是為什麼人能夠忍受的極限加速度是多少？中背面受力可以達到46g多而正面卻只有35g。而這些結果都是身體與比較硬的表面比如座椅、安全帶等等接觸式測出的，尤其是向後減速的實驗，那麼重的加速度掛在幾根安全帶上，簡直喪心病狂！
而水的阻力相對要均勻，因為水的壓力施與至少迎著水那面所有皮膚上，受力面積比安全帶大的多。想像Ta含著一口水划過你全身的感覺，那溫柔的包裹感……對於單身人士更喪心病狂了有沒有！總之壓強更小，對人體傷害更小就對了。

第三，考慮到實驗里也只是測出「重傷」而不是「立死」的加速度值，人體實際可以承受的數值應當更大，當然具體能承受的加速度與個人的身體狀況也有很大關係。2007年加拿大庫比卡撞車，加速度達到75g，人也沒死。印地賽車事故最高有過頭部加速度140g，人依舊存活的記錄。更有很多二戰時飛行員從萬米高空無降落傘掉下，落在水裡、雪地、草地、樹冠上等等然後存活的傳言。
來點實際的。美國《流言終結者》做過實驗，先把兩頭60kg的豬（都是屠宰場里正常電死的死豬）從50米空中分別扔到水泥地和水裡，水泥地上的當然基本碎了，水裡那頭最後只有5處（左右，記不清了）骨折，但不致死；丫不過癮，又把另一頭豬從200米空中扔下，達到可能的最高速度，結果十幾處骨折，有一處肋骨骨折插進了肝臟，也只是可能致死。

針對部分網友可能有的疑問：用完了還能吃；沒放血，肉腥；目測適合清燉、油煎，紅燒太瘦。

言歸正傳，對於我等普通人，恐怕即使10米被人突然推下（不是有準備的跳下並試圖以腳觸水），也可能「pia」的砸在水面上昏過去，然後就沒有然後了。就算有準備，按重力加速度算，40米左右掉下，pia，估計也暈了，然後也沒有然後了。但飛機上的乘客不一樣，飛機迫落時不是自由落體，速度慢的多，同時是行李艙先入水，可以緩衝掉大量阻力，然後還有座椅的緩衝，因此當場就死的概率並不高。當然如果飛機不是迫降而是頭衝下栽下去，那樣速度會比自由落地更快，加上極有可能發生的爆炸，以及被解體的飛機殘骸砸中要害的風險，只能說凶多吉少。逝者安息，生者平安！
回到最初的問題，我的答案是：無論從多高的地方掉在水裡，在碰到水面的一瞬間，都不一定會死。但高空掉落，衝擊導致的重傷和隨之而來的窒息將會使死亡率接近100%，總之千萬不要嘗試。

看過一個動圖，一個年輕人從10米懸崖跳下去，結果臉直接正面接觸到水，結果腦袋裂了……go die

美國高中生從60多米高的金門大橋上跳海後生還

看入水時的角度和姿勢。
如果身體張開並且與水面平行，一兩米的高度就可以摔得很疼。

高台跳水比賽是男子27米女子20米如果超過30米，不管什麼姿勢都可能有生命危險

20多米姿勢不對就可以致死

曾經嘗試過幾次跳水，最高的一次是個峽谷 20m左右 60feet，當然數字是結合之前YouTube上跳水的人和當地導遊的描述；第一次跳這個高度，鼓足勇氣跳下去的瞬間，雙臂張開斜上舉，雙腿也沒有並緊，結果嘛，因為帶著救生衣，所以浮上來的過程中完全體會到了菊花和蛋蛋的感覺，至少一股清進去又出來了；身上受傷的地方除了上述之外，左臂三頭附近挫傷淤血，上嘴唇有些撕裂，不過幾天之後就好了；本地有其它的土著光腳跳下去什麼事兒都沒有的，至今不敢再第二次跳

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