怎麼看待實數系的連續性。從0到1之間任取一個實數，取到的值剛好是0.5的概率是0？

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從概率計算的角度來說確實是0，從實際生活的角度來說確實存在可能剛好取到0.5。從實分析的角度怎麼看待實數系的連續性和稠密性？

首先，概率論上，你混淆了不可能事件和零概率事件，見@屈竟通的答案。
然後，0.5的概率為0，與實數的連續性無關。有理數不連續，但是0.5的概率仍為零。

0到1之間的有理數集合，這個集合是密的(dense)。
但這個集合是不連續的，或者更確切地說是不連通的(disconnected)。
從這個集合中取到0.5的概率仍然為零。

問題本身出了問題，並不是角度的問題，並不是「從概率計算的角度來說確實是0，從實際生活的角度來說確實存在可能剛好取到0.5」，這樣是在暗示從概率論「角度」不可能取到0.5。然而這個說法是錯誤的，因為在概率論範疇內，取到0.5並不是不可能事件。這個問題的根本問題就是混淆了零概率事件和不可能事件。問題的第二句則是跟前一句沒有關係的問題。

LZ如果稍微懂點測度就不會提出這麼民科的問題。
事實上你的所有操作導致了0測集。(有理數是可數的)
所以如果我們有特徵函數，便可求得概率為0。

因為標準分析不允許非0常量無窮小。

所以標準分析的測度論里單點集的勒貝格測度為0.

所以相應的概率論里概率0不必不可能。

其實，我們應該直觀地將概率視為面積，那麼概率為0的時候便是一條線，或者一個點。

但是概率為0與不可能事件是不相同的，看下面這個例子：
一個單位正方形裡面的某一個點，面積為0，但是它確實存在在這個正方形裡面。

如果我們把這個單位正方形理解為所有可能發生的事件的集合。隨意選一個點，它的面積為0，但是它又屬於這個正方形——所有可能發生的事件的集合。因此概率為0與不可能事件的關係就相當於是面積為0與不存在在正方形中的關係是一樣的。

所以概率為0的事件仍有可能發生。

一個連續概率分佈函數的概率的定義僅對一個區間有意義，比如 x in set of（a, b）；單獨某點的概率稱為 點概率，定義為零，P(X = t) = 0。這個定義任何一本概率論教科書裡都應該有。下面一段摘自維基百科。

Formally, if X is a continuous random variable, then it has a probability density function ?(x), and therefore its probability of falling into a given interval, say [a, b] is given by the integral
In particular, the probability for X to take any single value a (that is a ≤ X ≤ a) is zero, because an integral with coinciding upper and lower limits is always equal to zero.
The definition states that a continuous probability distribution must possess a density, or equivalently, its cumulative distribution function be absolutely continuous. This requirement is stronger than simple continuity of the cdf, and there is a special class of distributions, singular distributions, which are neither continuous nor discrete nor their mixture. An example is given by the Cantor distribution. Such singular distributions however are never encountered in practice.
Note on terminology: some authors use the term"continuous distribution" to denote the distribution with continuous cdf. Thus, their definition includes both the (absolutely) continuous and singular distributions.
By one convention, a probability distribution is called continuous if its cumulative distribution function is continuous and, therefore, the probability measure of singletons for all .
http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution

在概率公理化體系中，概率是一種測度。而所謂的單點集也就是零測集，所以概率為零了。

問題的實質在於：是否有「零概率事件不可能發生」。樓主舉得這個例子就說明了這個斷言是錯的。類似的還有「在正整數中任取一個數，取到素數的概率為零」

其實概率論中有一個術語來描述這個問題，可以說成：從0到1之間任取一個實數，取到的值 幾乎必然 不會是0.5。