有哪些可以初等表述的數學結論只能由高深的方法證明?

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比如說哥德巴赫猜想，還有伽羅瓦問題。但這些太有名了，還有哪些比較冷門的?
這裡初等和高深是相對的，只要結論表述和（已被發現的）最初等證明之間跨度非常大就可以。

證明六方堆積(水果店老闆堆橙子的堆法)是最密的

除了數論的一堆問題之外，一些用域論解決的問題應該也算數。

比如尺規作圖無法三等分任意角，五次及以上方程的解無法用根式表達，等等。

當然對很多知乎大神來說域論也不算多複雜的東西，但考慮到這些問題的描述差不多初中水平，而域論很多大學理科專業都不開設，我認為還是符合題主所說的條件的。

這個不能不提到費馬大定理啊。

故事要從古希臘的丟番圖說起。丟老師寫了本書，叫《算術》，裡面有一道題，是這樣的：

將一個已知的平方數分為兩個平方數。

用現在的數學語言來表示，就是求出方程 $x^2+y^2=z^2$ 的正整數解。

1400多年後，費馬讀到這本書的時候，腦細胞開始暴走了。

如果是平方的話，可以很容易構造出無窮多組解。如果是三次方、四次方、五次方，以至 $n$ 次方呢？好像一眼看上去找不到解呢。

1637年，費老師在書上留下了這樣的記錄：

將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。

換句話說，費老師認為，當 $n>2$ 時，方程 $x^n+y^n=z^n$ 沒有正整數解，而且他有一個美妙的證明（就不告訴你，就不告訴你，就不~~告訴你！）。

費老師喜歡做出很多猜想，其中後來大部分都被證明了，但也有一小部分猜錯了（比如費馬素數）。

費老師發現，形如 $2^{2^n}+1$ 的數（現在被稱為費馬數），當 $n$ 取 $0,1,2,3,4$ 的時候，都是素數。然後費老師就猜了：所有這樣的數都是素數。後來被歐拉打臉了，歐拉發現，當 $n=6$ 的時候不是素數。事實上，除了一開始的5個，還沒有發現新的費馬素數。可憐的費老師。。。

扯得有點遠了。言歸正傳。費老師喜歡做出很多猜想和證明，但是又不喜歡對外發表，以至於這個注釋在他去世後整理他手稿的時候才被發現。自此，數學家們就開始了前赴後繼的努力，視圖證明費馬猜想，或者找出一個反例。

最早的突破，還是來自那個打臉的歐拉。

1770年，歐老師證明了， $n=3$ 的時候猜想成立。

1823年，勒讓德證明， $n=5$ 的時候猜想成立。

1832年，狄利克雷想證明 $n=7$ 的時候猜想成立，可惜失敗了。不過他證明了 $n=14$ 是成立的。

1839年，拉梅證明， $n=7$ 的時候猜想成立。

然後就有了重大突破。

1850年，庫默爾證明， $2<n<100$ 的時候，除了37、59、67以外，猜想都是成立的。

接下來100多年間，都沒有神馬進展了。

計算機時代來臨後，數（程）學（序）家（猿）們開始暴力驗證了。

1955年，范迪維爾以電腦計算證明了 $2<n<4002$ 時猜想成立。

1976年，瓦格斯塔夫以電腦計算證明了 $2<n<125000$ 時猜想成立。

1985年，羅瑟以電腦計算證明了 $2<n<41000000$ 時猜想成立。

1987年，格朗維爾以電腦計算證明了 $2<n<10^{1800000}$ 時猜想成立。

1995年，懷爾斯最終用非暴力方式證明了 $n>2$ 的時候成立。至此費馬猜想最終變成了費馬定理。證明的過程，絕非我等凡夫俗子能夠理解，其中用到了谷山－志村猜想。

在1955年到1957年間，谷山豐和志村五郎在研究橢圓曲線的時候提出了一個猜想。（表問我猜想的內容是神馬，太高深了我看不懂。。。）

可是這個高深莫測的關於橢圓曲線的谷山－志村猜想，和費馬猜想又有神馬聯繫呢？

1986年，格哈德·弗賴提出了 $epsilon$ 猜想：

如果存在 $a,b,c$ 滿足 $a^n+b^n=c^n$ ，換句話說，假如費馬猜想是錯的，那麼橢圓曲線 $y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$ 就是谷山－志村猜想的一個反例。

很快 $epsilon$ 猜想就被肯尼斯·阿蘭·黎貝證明了。

經過多年努力，1995年，安德魯·懷爾斯和理查·泰勒證明了，在一個特定的範圍內，谷山－志村猜想是成立的。而格哈德·弗賴的橢圓函數 $y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$ 正好就落在這個特殊範圍內。

也就是說，在這個特殊範圍內，谷山－志村猜想不存在反例。

這就意味著，費馬猜想也不可能存在反例。

這就好像，如果你不鎖門窗，那說明你家肯定沒有值錢的東西。我發現你鎖了一扇窗。哼哼，你家肯定有錢！

通過這種迂（wei）回（suo）的方式，費老師的猜想終獲證明，升級為費馬大定理。

因為證明用到的理論太過高深，很多人就懷疑了，費老師當年是否真的找到了一個美妙的證明？這個恐怕只有他本人知道了。

再後來，那個高深的谷山－志村猜想也在1999年被證明，升級為谷山－志村定理，為這個長達近400年的數學長跑划上了一個句號。

參考資料：

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%A4%A7%E5%AE%9A%E7%90%86

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%EF%BC%8D%E5%BF%97%E6%9D%91%E5%AE%9A%E7%90%86

我覺得等周問題（http://math.fudan.edu.cn/gdsx/XXYD/%E7%AD%89%E5%91%A8%E9%97%AE%E9%A2%98.pdf）
算是一個吧

奇偶歸一猜想（英語：Collatz conjecture），又稱為3n＋1猜想、冰雹猜想、角谷猜想、哈塞猜想、烏拉姆猜想或敘拉古猜想，是指對於每一個正整數，如果它是奇數，則對它乘3再加1，如果它是偶數，則對它除以2，如此循環，最終都能夠得到1。

取一個正整數：如n = 6，根據上述數式，得出序列6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。(步驟中最高的數是16，共有8個步驟)如n = 11，根據上述數式，得出序列11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。(步驟中最高的數是52，共有14個步驟)如n = 27，根據上述數式，得出序列{ 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 }（步驟中最高的數是9232，共有111個步驟）
奇偶歸一猜想稱，任何正整數，經過上述計算步驟後，最終都會得到1。

在1930年代，德國漢堡大學的學生考拉茲，曾經研究過這個猜想。在1960年，日本人角谷靜夫也研究過這個猜想。但這猜想到目前，仍沒有任何進展。

保羅·艾狄胥就曾稱，數學上尚未為此類問題提供答案。他並稱會替找出答案的人獎賞500元。

目前已經有分散式計算在進行驗證。到2009年1月18日，已驗證正整數到 5 × 2^60
= 5,764,607,523,034,234,880，也仍未有找到例外的情況。但是這並不能夠證明對於任何大小的數，這猜想都能成立。

有的數學家認為，該猜想任何程度的解決都是現代數學的一大進步，將開闢全新的領域。目前也有部分數學家和數學愛好者，在進行關於「負數的3x＋1」、「5x＋1」、「7x＋1」等種種考拉茲猜想的變化形命題的研究。

jordan曲線定理，一條閉簡單連續閉曲線把平面分連通的兩部分

ABC猜想。

圖論四色定理

數論：
費馬大定理
迪利克雷定理
孿生素數猜想
角谷猜測
ABC猜想
好像還有個什麼定理說x^a - y^b = 1隻有(x,y,a,b) = (3,2,2,3)一組非平凡正整數解，感覺也是符合題主要求的。
...
圖論：
四色定理
Ulam猜想（圖同構）
Kuratowski定理（平面圖）
...
雖然哈密頓迴路的定義很簡單，但尋找一般圖存在哈密頓迴路的充要條件也是一件困難的事情。

代數基本定理也可以算一個吧，「代數方程的根的個數」這個問題的敘述高中數學水平就可以無障礙理解（懂得複數的概念就夠了），是一個純粹的初等數學問題。證明就比較麻煩了，就我所知，是沒有初等數學的證明方法的，至少要用複變函數的方法。

費馬大定理

孿生素數問題

基本上數學裡越初等的表述越需要高深的理論