數學裡的√2，明明不能被開方，那√2是不是一個錯誤的，不存在的？

首先題主需要理解√2本身就是一個數，2可以被開方，只是不能開盡，也就是找不到兩個相同的、確切的數乘機為2。當然，我們都知道開方是乘法的逆運算嘛。

如果你了解數學史，就會知道這個√2真的是困擾了人類很長一段時間，和題主一樣，希臘人在很長一段時間裡壓根就不承認它是一個數。畢達哥拉斯的「萬物皆數」在當時佔據著思想界的主流，但√2無法用任何正整數的商來表示，它的存在本身就是對權威的極大挑戰，人們不恐慌才怪。

不過你會發現，√2這個數簡直就是天賜的一樣，為什麼這麼說呢？因為它是邊長為1的正方形的斜邊長度。其實古人早就測量了這個長度的大概值，但是卻不願意承認它是個數。

我想給大家提供另外一個角度，這個角度剝離了√2的代數數屬性，把實數集R的精細結構作為一個整體放到數學發展的歷史長河中來考慮，我的結論是：無理數的出現是純粹數學發展的必然要求，即使沒有「萬物皆數」的思想，它依然會讓數學家們感到不可思議。

在很長的一段時間裡，數學的發展一直是兩條腿走路，一條腿叫幾何圖形，包括點、線、面、體等各個維度上的幾何形狀；另一條腿叫算術結構，主要是指數字上的加法和乘法運算。一開始的時候，這兩條腿是揉在一起的，幾何圖形的長度、面積和體積的計算離不開算術方法，自然數各種數論性質的推導也需要藉助幾何形狀，畢達哥拉斯學派對三角形數和正方形數的研究就是很好的例子。這種「我中有你，你中有我」的研究狀態到達高峰的標誌是畢達哥拉斯定理的證明。

很快，幾何與算術有了分道揚鑣的跡象，公元前三世紀成書的《幾何原本》是歐幾里得的巔峰之作，也是整個古希臘數學的最高成就。在《原本》中，幾何命題的證明首次系統地被納入公理化體系，幾何性狀的研究和幾何圖形間相互關係的考量取代了實用性的計算成為幾何學的核心；數論性質的推導也有了純粹的代數方法，歐幾里得明確了算術基本定理，首次用反證法證明了素數有無窮多個，前一小節提到的√2不是有理數的證明也屬於他。隨後，「0」和負數以及代數符號的發明使得算術進入到了一個快速的發展時期，逐漸發展出一門獨立的數學分支——代數學。

幾何與代數的再次融合要歸功於法國哲學家和數學家笛卡爾（Descartes），他引入了坐標系的概念，開創了解析幾何的時代。藉助解析幾何的語言，人們能夠使用代數表達式去精細地研究幾何性狀，這時「函數」的概念若隱若現，幾何學的重心開始轉向分析。在一系列天文學和社會生產實際問題的刺激下，數學朝著微積分的發明一路狂奔。

現在，重點來了，整個十八世紀是微積分學空前的繁榮期，人們有賴微積分的方法解決了大量的實際問題，然而你可能不會想到，整個微積分學的基礎此時就繫於一根小小的數軸之上，人們對定義在這根數軸之上的函數加減乘除、求導求積，卻沒有任何一個人說清楚這根數軸的算術基礎到底是怎樣的！

什麼意思呢？就是說我們一直把實數集等同於一根數軸，但是實數集里的元素長什麼樣？如何運算？這些基本的事情從數軸上根本就看不出來。數學家戴德金曾有過一個非常有趣的評價：人們（對數軸的算術基礎缺乏認識，以致於）連√2*√3=√6這樣的基本事情都沒有嚴格證明過。

千萬不要認為這是在吹毛求疵，實數軸上的分析學要想具有嚴格的數學基礎這是無法繞開的關口。在攻克它之前，諸如戴德金所指出的隨意性給微積分的建立和發展帶來了邏輯上巨大的困擾，因為算術基礎說不清楚，「收斂」這個概念就說不清楚；「收斂」說不清楚，「極限」就說不清楚；「極限」說不清楚，「連續性」就說不清楚。「連續性」都說不清楚，微積分就猶如行走在棉花糖上的小怪獸，指不定什麼時候就掉下去了。

當時的數學家們對待此類問題的唯一辦法大概就是依靠所謂的「幾何直觀」，於是微積分學裡充斥著「任意小」，「無限接近」，「光滑地變化」等等含糊不清的表述。你還不要笑話他們，如果你翻開現在的高中數學課本，你會發現裡面的表述和兩百多年前是一樣一樣的，處女座的寶寶苦啊……

難道數學家們就不想著補補bug嗎？

不好意思，他們還真沒怎麼想過。主要原因就在於微積分實在是太好用了，無論是數學，物理學，還是天文學，所有以前解決不了的問題似乎在用了微積分之後都能夠手起刀落，迎刃而解。因此，雖然邏輯上有顧忌，但終究沒有抵擋住現實中的巨大誘惑，數學家們忙著攫取更大的戰果，基本問題就被丟到一邊去了。法國人達朗貝爾（D』Alembert）是十八世紀少有的幾個能分得清收斂級數和發散級數的數學家，就連他也曾說過一句名言：向前進，你就會產生信心！

但有一件事情的發生，讓這種信心逐漸降到了冰點，那就是非歐幾何的發明。

對現代物理學比較感興趣的同學大概知道非歐幾何是廣義相對論的數學基礎，愛因斯坦在很多數學家朋友的幫助下才為自己的理論搭建了一個良好的幾何框架。我們先不討論非歐幾何的數學內容，你只需要知道它跟歐幾里得時代發展起來的幾何學有著本質上的不同，在非歐幾何里，三角形的內角和還不一定等於180度呢。

非歐幾何的發明使得數學的發展失去了以往常用的「幾何直觀」，你所看到的真實世界和你默認使用的數學概念之間可能相差了十萬八千里遠，「無窮大」就是一個最好的例子，大數學家歐拉（Euler）至死都還認為2/0是1/0的兩倍。

數學家們的後背涼颼颼的，再不去補算術基礎，他們所創造的一切成果都要失去合法的地位，這是一千多年逐漸成長起來的數學的精確主義所不能容忍的。於是，實數系，特別是無理數的定義與構造就變得刻不容緩。無理數的出現事實上就是純粹數學發展的必然要求。

那無理數的出現為何會令數學家們感到恐慌和不可思議呢？

這裡需要多一點的數學知識，我們從自然數集的算術結構說起。

自然數集里的「1，2，3，4……」等計數數是從具體實物中抽象出來的數字元號，理解起來沒有任何困難，我們幾乎是從幼兒時期開始就依賴這種實物與數字的聯想訓練數學思維和感覺。而自然數集上有兩種最基本的運算，也是從一開始就進入到我們的課程，一種是加法，另一種是乘法。加法和乘法的運算規律有著完全現實的意義，你無需考慮別的方式來給出定義，例如「1+1＝2」和「3+5=8」，你只需要伸出十個手指頭來擺弄一下就能明白「加法」的含義。乘法也一樣，「2x4=8「和」5x8=40「不過是體現了若干個加法的複合運算。

從結構的角度來說，有一件事情是你應該注意到的，計數數的集合對於加法和乘法這兩種運算都是封閉的。什麼意思呢？就是說不管你對計數數實施了多少次加法或者乘法，最終得到的結果依然在計數數這個集合之內。這種封閉性對於數學法則的歸納和刻畫往往非常重要。不僅如此，你還會發現計數數集合中有一個元素「1」，對於乘法運算有著特殊的意義，那就是「1」與所有計數數相乘都等於這個計數數本身，我們給它一個名稱，叫做計數數集合關於乘法運算的「單位元」。

乘法單位元在計數數集合中是唯一的，假如還有另外一個計數數m具有跟「1」同樣的性質，我們會立即得到m=mx1=1。這時候，一個有趣的問題就自然產生了：對任何一個計數數m，是否存在另一個計數數n使得mxn=1？換句話說，計數數集合中的元素關於乘法是否存在「可逆元」？可逆元的存在能夠使很多算術問題得到簡化，所以這個問題很重要，但你的反應估計跟我一樣：這怎麼可能？除了「1」以外，計數數集合中哪個元素都不會有乘法逆元！

你的判斷是對的，計數數集合本身已經無法承載乘法可逆元的存在性要求了，我們必須人為地擴大集合的範圍以便形式上的乘法可逆元存在。於是，分數出現了，任一個計數數m的乘法可逆元就是1/m，而n/m可以理解為n x 1/m。這些分數在計數數集合的基礎上形成了一個新的數集，可以稱為計數分數集，這個集合不僅對乘法封閉

而且每個元素都有乘法逆元。

再來看加法，很不走運，計數數集合中並不存在關於加法運算的單位元，因為任何兩個計數數相加都會得到一個更大的數，m+n是永遠不會等於m或者n的。既然加法單位元不存在，加法可逆元也就沒有了意義，計數數集合對於加法結構而言實在是貧窮得可憐。那我們能像乘法一樣，擴充計數數的集合使其也包含加法單位元和可逆元嗎？

你大概已經想到「0」和「負數」了，沒錯，「0」就是計數數的加法單位元而「負數」就是計數數的加法逆元，因為「0」加上任何計數數m等於m本身，而對任何一個計數數m，我們有m+(-m)=0。為了與乘法結構相匹配（都包含單位元），我們通常把「0」也納入到計數數的範圍之內，統稱為自然數，這就是自然數集合也包含「0」的原因。

當然，「0」和「負數」的出現比計數數要晚得多，雖然它們的發明者不一定會從算術結構上考慮問題，但「0」和「負數」的出現根本上也是一種必然。

現在讓我們來梳理一下從計數數集合衍生出來的新數種：自然數——計數數加上「0」；整數——自然數加上「負數」；有理數——整數加上乘法逆元。計數數上的加法和乘法可以順利地推廣到這些新數種之上，唯一不平凡的是如何定義加法逆元的乘法和乘法逆元的加法。

這時我們需要遵循兩條基本的原則：一是「0」與任何數相乘都等於「0」；二是計數數上加法和乘法所滿足的分配律

在新數種上也應該得到滿足。相信這兩條原則你應該不會有什麼意見，在它們的保證下，加法逆元的乘法和乘法逆元的加法沒有別的選擇，分別定義為和

至於為什麼會這樣？大家不妨開動腦筋嘗試一下自行推導，你將充分領略到數學邏輯的美妙和樂趣。

從算術結構的角度看，我們最終得到的有理數集合已經相當完整了，因為全體有理數對於有限次的加、減、乘、除四則運算都是封閉的，如果不是出於公度單位正方形對角線的需要，恐怕無理數壓根就沒有出生的必要了。

你也許會問：加入一種新的運算如何，比如開方？畢竟√2就是整數2開平方開出來的嘛。

對此我的回答是：想法很豐滿，現實很骨感，有理數經過有限次的加、減、乘、除加上開方運算並不能生成所有的無理數，甚至都不能生成所有的代數數（稍後會看到），所以從這個角度來解讀無理數的誕生並不恰當。那無理數究竟會如何產生，人們又為何要對此感到恐慌和不可思議呢？

數學家們大概是這個星球上最擅長開腦洞的人群，他們一不小心，把有理數集對有限次的加、減、乘、除四則運算都封閉里的「有限」改成了「無窮」。

√2在理論上是可以被開方的，但實際計算來看，則是無法完全開方的。

不過根據數學計算的情況來看，√2最終開方後會得到一個無限不循環小數，也就是說，√2開方後會得到：1.41421356……。

√2開方後的這個數字最後平方計算後會得到一個無限不循環小數。該小數平方後的值也將接近於2，最終不會等於2。

不過根據理論來看，如果小數點後面但有n位小數，n必須為大於等於0的整數，且n的取值越大，則所得小數平方後的值也就越接近2，同時n取值為（0，+∞）。

假設n的取值為+∞，那麼理論上所得小數平方後的最終應該會等於2，但如果根據計算上來看，那麼實際平方後的值應該為更接近於2的，且不等於而的實數。

目前來看，數學中存在這很多這樣的「數學黑洞」，而這些「數學黑洞」本身從理論角度來看，是沒問題的，但如果是從實際計算上來看，其實它本身就是一個死循環運算，只不過得出的結果一定是無限接近於某個數，但最終永遠不等於這個數的值，且這個值有的存在規律的，有的則是無規律的。（也就是無限循環與無限不循環）

問這個問題，表明你對數學的理解還停留在「算術」層面上。這種算術情節，往往熱衷於追求結果，這個結果就是「到底是幾」，這似乎成了數學的唯一目標。其實對數學的認識，最晚從三年級開始就應該改變，如「Π」，你不用看著它不爽，非要看到3.14……才安心，一些初等代數的概念要建立，數學的一類概念就是用字母表示，不要看著一個代數式就頭疼。數學不是單單加減乘除等於多少。我們認識世界為什麼成為可能，全在於食物之間有聯繫，我們就是要找到其中規律。數學作為工具，其中的一項很重要的工作就是建立模型，為事物之間的變化架起橋樑，執著地要求等於幾，會限制你對數學的學習，一部分人因為這個原因，剛學習初等代數時，無所適從，更多的人，就因為這個原因，到完成自己所有的學習，都沒理解函數。

首先明確一下，2是可以被開平方的。

談到人類對數的認知過程，首先是自然數，而後是小數、分數。古希臘畢達哥拉斯學派認為『』萬數皆有理『』 即任一個數都可以表示為兩個自然數的比值，當時沒有無理數的概念。

直到公元前500年左右，古希臘畢達哥拉斯學派的一個弟子希帕索斯（Hippasus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可除盡的。這種不可公度性與畢達哥拉斯學派「萬物皆有理」(有理數)的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這會動搖他們在學術界的統治地位。希帕索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最後遭到沉舟處死的懲罰。

這就是數學史上的第一次危機，人們發現了無理數，將數擴展到實數領域。

一位有才華的數學家就這樣被專制制度的學閥們毀滅了，但使人們看清了希帕索斯的思想價值。這次事件後，畢達哥拉斯學派的成員們確實發現：不但等腰直角三角形的直角邊無法去量准斜邊，而且圓的直徑也無法去量盡圓周，那個數字是3.14159265358……也是永遠也無法精確。慢慢地，人們明白了直覺並不是絕對可靠的，有的東西必須靠科學。在數字「0」和自然數等有理數之外，還有一些無限不循環的小數，這確實是一種新發現的數——他們將其取名為「無理數」。

學習數學，要不斷更新自己的思維方式，從純粹的計算中解脫出來。算術包含『算』和『術』兩個方面，『算』是計算，『術』是解決問題的方法。數學絕不僅僅是計算，更多的是發現問題和解決問題的方法。

隨著人類認識的深入，原有的理論不能解決新問題，就需要建立新的概念、新的規則。我們必將超越前人，後人也必將超越我們。人類的認識永遠不會停留在一個水平上……

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說一個故事吧，根號2的發現源於畢達哥拉斯和他的學生西伯斯。在發現無理數之前，畢達哥拉斯學派的觀點是：「宇宙的一切事物的度量都可用整數或整數的比來表示，除此之外，就再沒有什麼了」。

但是，西伯斯發現了根號二的存在，也就是邊長為1的正方形對角線。導致了西伯斯和他老師畢達哥拉斯的衝突、最終西伯斯死於海上。

但西伯斯的發現發表後，轟動了學術界，最終奠定了無理數的開端。

看到這裡自然就有答案了，根號二的出現並不是，理論的需要，而是基於社會實踐的，在生活中你會發現有根號二的長度物體存在，並不是空中樓閣，毫無意義的。

首先，√2是有著確切的值定義的，畫一個邊長為1等腰直角三角形，它的斜邊長為√2。以原點為圓心，以該斜邊為半徑畫圓，與正軸相交的點就是它在數軸上的位置。

其次，√ 在數學上是一個運算符，√2確切來說應該是一個算式，所以跟普通的數字是有區別的。比較為大家熟悉的分數，例如1╱3，其實也是一個算式，我們都知道1╱3＝1÷3＝0.3333……之所以不寫成最終數字的模式，一是簡潔，二是精確，畢竟0.333……後面即使跟了一百萬位數字，與1╱3也存在細小的差距。

數學的迷人之處在於可以用算式勾勒出各種不可思議而又合情合理的事物，在高等數學裡還有很多運算符的結果都無法用普通數字來表述，但任何了解它的人，哪怕只是粗淺涉獵，都會為之驚嘆不已。

少年，歡迎進入高等數學的殿堂。

√2，來源於等腰直角三角形的斜邊。

即斜邊的平方等於兩條直角邊的平方的和，C2=a2+a2

C=a√2

假設等腰直角三角形直角邊邊長為1，a=1，則斜邊c為√2。約等於1.414

2可以被開方。有人還為此付出了生命。因為√2是一個無限不循環的小數，後來被稱為無理數。與當時教派學說（所有數都可以用通過軸標出來，如今看來只是能用兩個整數相除表示出來的數，即有理數）不符。發現這個無理數的人被教派流放殺害。

√2也因此被證明確實存在。

無理數（不能用兩個整數相除來表示）很多，如圓周率（不能表示為 22/7，或 355/113）等。

且不說提問的前提（『』√2，明明不能開方『』）就是錯誤的，我想其關鍵就是對√2是2的算術平方根不理解所以無法接受。對此，我只能說你的認識水平還停留在有理數甚至有限小數範圍之內。至於sin10o、lg2、1+2i等就更加無法理解和接受了。事實上，隨著人們生產實踐和科學研究的不斷深入，數的範圍也在不斷擴展。√2就是數的範圍從有理數擴展到實數範圍的產物。

這問題提的就有毛病，可能是想說2不能被開方，但2是可以開方的，結果是個無理數，並不是個錯誤，是實際存在的，邊長為1的正方形，對角線就是√2，你可能要說數軸上找不準√2的準確位置，也不準確測能量√2的長度，但我想告訴你，既使是1也是不能準確定位，準確測量的，所有的數都這樣，不管是有理數還是無理數。

早期的人們認為充滿數軸的是有理數（畢達哥拉斯學派），也就是隨便一條線段的長都能用唯一的有理數表示，如果以現在的說法，就是他們認知範圍內的數是「連續的」，沒有空隙的。後來有人提出面積為2的正方形邊長(√2)無法用有理數表示，這就顛覆了以前人們對數的認識——數軸上有一些空隙是沒有數的，無理數的誕生就是補充這些數與數之間的間隙。

雖然現在的實數體系已經很完善了，我感覺提出√2到底存不存在也無可厚非。如果我們生活的空間本身就是不連續的呢？時間和空間能被無限小的分割嗎？思考是可以的，但事實是人們早就把連續應用到各個方面，進一步去發展去開拓。數學體系建立在公理及它們推出的一些定理上的，但是並不是不能被推翻。