A,B,C三人 按順序從1-100中取一個數，後取的人知道前面的人去的數，每個人取得數不能相同？

A,B,C三人 按順序從1-100中取一個數，後取的人知道前面的人取的數，每個人取得數不能相同。然後從1-100中等概率地隨機選一個數，與這個數最接近的人獲勝，請問A該怎麼取，才能保證自己獲勝的概率最大？

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就是個比較簡單的博弈問題，首先考慮最後行動的C，整個區間被A和B分成了三段，C要做的就類似於佔地盤，如果選A和B中間則得到中間這一段的50%，否則可以完整得到頭或者尾的一段（貼著別人報即可），選最長的一段。

再考慮B，如果B簡單貼著A占更長的那側（比如A選60，B選59），則C肯定會貼著B報，把B弄成個夾心餅乾……所以B的策略是，要麼貼著A報較少的那一側，把更長的主動讓給C……

（原答案在這後面有些問題，刪了重寫了）

所以B的策略是：

1. 貼著A報較少的那一側，把更長的主動讓給C，大致可以取得較短一側的大小
2. 如果較短一側的大小超過總長度1/4，則報在與A對稱的位置，比A少一格，讓C去另一側貼著A報，大致可以取得較短一側的大小+A和B中間區域的一半
3. 報在較長一側遠離A的1/3的位置上，讓C報A和B中間，大致可以取得較長一側的1/2

任何情況下選2都比1要強，因此不需要考慮1了

則A如果報25以下的位置，則A取得較長一側的1/6 + 較短一側；如果報25以上的位置，則A取得50-較短一側大小，比前一種要少。

細化一下邊界條件：

A報25

B報76：

C報24或77則C佔24個位置

C報26-75則C佔25.5個位置

所以C報26-75，B佔37.25

B報75：

C報76佔25個位置，B佔25.5個位置

C報26-74則C佔25個位置，B佔38個位置

C在這些數中任選，B平均佔37.75個位置

所以B報75，A佔37.25個位置

A報26：

B報76：

C報25，佔25個位置，B佔49.5個位置

C報27-75，佔25個位置，B平均佔37個位置

C在這些數中任選，B平均佔37.25個位置

B報75：

C報25或76，佔25個位置

C報27-74，佔24.5個位置

所以C報25或76，B平均佔37.5個位置

所以B報75，A平均佔37.5個位置

結果是A報26，B報75，C報25或76

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太長不看： A選擇26和75時勝率最大， 勝率為37.5%

順便說一句，此時B一定會選擇對稱的75/26， 也能獲得37.5%勝率

至於A的勝率隨數字的變化圖，想來應該是個挺好看的對稱曲線，以後有空了把下面的代碼一改就能畫出來

-------------我是口口口口口吃的分分分分割線------------------------

有趣的問題。

不過原題存在較大歧義，為了讓題設更嚴謹，我作出如下改動：

1. 如果最後選到的點跟兩位玩家的距離相等且最小，那麼讓這兩位玩家各勝0.5局，第三位玩家告負。
2. 如果一位玩家存在多種不同決策均可讓自己獲勝概率最大，那麼他將等概率地隨機地從這幾種決策中選擇一個，即不偏好於「坑害」某個特定的玩家

這樣一來，題目中的「勝率」就可以理解為這三人所選的數字「控制」的線段的長度了。其中每個人「控制」的點被定義為「到自己的距離比到其他人的距離更近的點」。

這有點像在二維、離散的空間里 做一個voronoi diagram， 用相鄰兩點的中點重新分割線段，割到最長線段者勝。

那麼如果你是C，看到線段上已經有兩個固定下來的點，設為p,q且p&

1. 選擇在這兩點的外側：那麼C應當緊貼著那個點，從而把它在自己外側的「領地」掠奪殆盡。（p-1 或100-q）;

2. 選擇在這兩點的中間： 那麼C無論如何都只能拿到中間這段長度的一半。（q-p/2）;

根據具體的p和q選擇自己最大的領地就好。

如果你是B，你發現了C的策略是相當顯然且公開的，那麼你在選完自己的點之後立刻可以知道C會選哪裡，也就知道了自己最終得到的「領地」有多大。

那麼你只要枚舉所有可能的選擇找到一個「領地」最大的可能性即可。

那麼最後來看A，對於A來說，B的策略也是公開且顯然的，那麼A也會做與B同樣的事情：枚舉100個可能的位置，計算出之後能拿到的最大「領地」。

剩下來的事情就交給編程解決吧。不過既然要編程了，100這個數也不算很大，為了降低編程複雜度乾脆連C也用枚舉法解決了算了（逃）

最近在學JAVA所以順手就用JAVA寫了…

import java.util.HashMap;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Map;

public class SelectPoint {
public static final double EPSILON = 0.0001;

public static double[] length(int a, int b, int c) {
double result[] = new double[3];
int p, q, r; //排個序先
p = Math.min(a, Math.min(b, c));
r = Math.max(a, Math.max(b, c));
q = a + b + c - p - r;

double mid1 = (double) (p + q) / 2;
double mid2 = (double) (q + r) / 2;
double length1 = mid1 - 0.5;
double length2 = mid2 - mid1;
double length3 = 100.5 - mid2;
result[0] = a == p ? length1 : a == q ? length2 : length3;
result[1] = b == p ? length1 : b == q ? length2 : length3;
result[2] = c == p ? length1 : c == q ? length2 : length3;
return result;

}

public static List& C_select(int a, int b) {
List& result = new LinkedList&<&>(); //使用List來儲存大於一個可能的最優選項

double max = 0;
for (int i = 1; i &<= 100; i++) { if (i == a || i == b) continue; double[] lengths = length(a, b, i); if (Math.abs(lengths[2] - max) &< EPSILON) { result.add(i); } else if (lengths[2] &> max) {
result = new LinkedList&<&>();
result.add(i);
max = lengths[2];
}
}
return result;
}

public static Map&&> B_select(int a) { //返回Ｂ的選擇與相對應的Ｃ的選擇
double max = 0;
Map&&> result = new HashMap&<&>();
for (int i = 1; i &<= 100; i++) { if (i == a) continue; List& possibleC = C_select(a, i);
int N = possibleC.size();
double sum = 0;
for (Integer c : possibleC) {
double[] lengths = length(a, i, c);
sum += lengths[1];
}
double mean = sum / N;
if (Math.abs(mean - max) &< EPSILON) { result.put(i, possibleC); } else if (mean &> max) {
result = new HashMap&<&>();
result.put(i, possibleC);
max = mean;
}
}
return result;

}

public static List& A_select() {
List& result = new LinkedList&<&>();
double max = 0;
for (int i = 1; i &<= 100; i++) { Map&&> possibleBAndC = B_select(i);
//此處小心，每一對(a,b,c)並不是等概率的
int N = possibleBAndC.size();
double sum = 0;
for (Integer b : possibleBAndC.keySet()) {
List& possibleC = possibleBAndC.get(b);
int M = possibleC.size();
double sumM = 0;
for (Integer c : possibleC) {
double[] lengths = length(i, b, c);
sumM += lengths[0];
}
sum += sumM / M;
}
double mean = sum / N;
if (Math.abs(mean - max) &< EPSILON) { result.add(i); } else if (mean &> max) {
result = new LinkedList&<&>();
result.add(i);
max = mean;
}

}
return result;
}

public static void main(String args[]) {
List& possibleA = A_select();
for (Integer i : possibleA) {
System.out.println(i);
}

}
}


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這個問題中的「模糊」挺有意思，像是玩RPG會產生很多結局。

如果B和C是合作關係，那麼A的勝率不可能超過1%。因為B和C可以"緊貼"著A選，A選k的話，B和C分別選k-1和k+1就行了（如果存在的話），除非搖出的數正好是k，其他情況A都不可能獲勝。

如果B和C各自想最大化勝率，考慮A選好後把1-100一分為二的場景，B肯定會選擇長的那邊入手。

• 如果長邊不超過短邊的兩倍，B只要選長邊的中點，就可以讓同樣想最大化勝率的C去「緊貼」A以(幾乎)獨佔短邊。最終A能拿到的最大勝率正比於長邊的1/4, 不超過1/6.
• 如果長邊不超過短邊的三倍，B只要選離A選2/3長邊距離處的點，就可以讓C去「緊貼」A以獨佔短邊。因為若C選擇待A和B中間的話，最多搶到正比於AB間一半長度的勝率，也就是長邊的1/3，對照前提，這並不如短邊。若C在B選點的另外一側緊貼，同樣也不會超過短邊。這種情況下A的最大勝率不超過AB間距離的1/2, 輔以一些不等式傳遞，可知是1/4。
• 如果長邊超過短邊的三倍，B的最佳選擇仍是選距離A為2/3長邊處的點，這種情況下不管C怎麼選，B至少能拿到正比於1/3長邊的勝率。類似的，不管C怎麼選，他都只能拿到長邊的1/3，這時：
• 如果C看B比較不爽，他可以緊貼B選點（左右皆可），最後A的勝率正比於短邊+長邊的1/3, 最多是1/2。
• 如果C看A比較不爽，他可以緊貼A選點，最後A的勝率正比於短邊，最多是1/4
• 如果C把AB各得罪一半，他就取AB中間，最後A的勝率正比於短邊+長邊的1/6, 最多是3/8

綜合這些情況，A的最佳策略是選擇距兩端1/4總長處的點，並儘力挑撥B和C的關係，最後在[1/4,1/2]勝率區間中拿到和C爺友好度同分布的一個值。

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最大含義是什麼？是自己可能的最大概率值還是與BC比最大？
假設A選x(先設x＜50)，
設B選擇(101-y)，B選擇後；限定C只
C可取AB間的一半，只要這個數大於x-1，C就不會選x-1；即x≥y≥(100-y-x)/2＞x-1。
則x=y=(100-y-x)/2=25。
A應該拿25(或76)，B拿76(或25)；
而C取AB間任何數，獲勝概率都是25%，其他最大只有24%。
則A-B獲勝概率合計75%，各自25%-50%浮動。
如果C足夠理性，應該選最中間的50或51，讓其他兩人儘可能平分成37%和38%。
但是對C來說，獲勝概率遠小於1/3不說，且只有AB的2/3。任何選擇都不能改變自己獲勝的概率。那麼完全可以噁心AB之一，選26或(75)，讓AB中一人也只有25%。
顯然這種方法A並不能保證三人中自己獲勝最大，但有最大可能是50%(C非完全理性)，或38%(C完全理性)。
如果是要保證A在三人中最大，
正確的做法是讓C取到概率不會相差太多，C就會平均分配AB的概率，且不會出現B＞A的情況。比如C32%，AB各自34%；C30%，AB各35%。
A可以選4，則B最佳選68，有32%的幾率獲勝的C必然會平均分配AB的獲勝概率34%和34%
A可以選10，則B最佳選61，有30%的幾率獲勝的C可能會平均分配AB的獲勝概率35%和35%。

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令 取到的數分別為

取到最大值的概率分別為

根據題意有

限制 ，因為對於 的情況與 是完全對稱的

顯然 ，因為如果 ，C可以取 於是C的概率最大

於是如果 取 ,

如果取 ,

如果 取 ,

如果取 ，

解得整數解

解方程方法可以把1&<=x&<=50, 99-y&<=(y-x)/2, (y-1-x)/2&<=100-y, x-2 &<=(y-x)/2, (y-x-1)/2&<=x-1複製到

Wolfram|Alpha: Making the world』s knowledge computable

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獲勝的概率最大。
首先要使自己的收益最大，同時使對方的收益較低。
後者在這種三人博弈中比較重要。
首先我們看兩個人的情況。

首先我們設A的取值&<=50，B在51-100，因為1-50和51-100這兩種選擇是完全鏡像的，所以對最終結果沒有影響。
不難看出，A的獲勝區間在1-（x+y）/2（向下取整），而B在（x+y）/2-100（向上取整）
所以不難得出這種情況下雙方的選擇會是A：50，B：51（或對稱）
再看三人。

如果AB仍選擇A：50，B：51，那麼C在選擇時只需選擇49或52即可，這樣C佔有49個數字，A（或B）1個，剩下的B（或A）50個，這是此時C的最優選擇。
那麼A在面臨這樣的處境時，則會退出一步，選擇49，此時如果C選擇48，如果平手視作0.5個數字，則獲勝概率會變成A：1.5，B：50.5，C：48。而C選51則會變成A：49.5，B：0.5，C：50。因此C會選擇51。
那麼B為了避免這樣的處境，就會選擇和A鏡像的數字，且不斷向兩邊擴大，即A+B=101，直到C不再選擇在他們兩端的數字。
由上圖右下角不等式可以得到當C在AB之間選擇時需滿足A&<25.75，所以此時A：25，B：76。
而此時C在兩者之間選擇時，獲勝概率不會變，都是（B-A）/2=25.5，但為了降低AB任意一方的勝率以保證自己的勝利，C會選擇50或51。
則三方選擇為A：25，B：76，C：50/51。
而三方勝率為A：37/37.5，B：37.5/37，C：25.5。

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換個思路，假如其他條件不變，100人來選呢?第一個隨便選都一樣。那麼50個人參加選呢，第一個怎麼選?再縮小參加人數呢?

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25或者76

能保證在BC絕對理智的情況下，至少有0.25至多0.50的勝率（具體多少由C分配）。

這個其實就是圍棋的二維版本，金角銀邊。AB兩個把25和76一占，C就只能在AB中間選一個數，老老實實接受自己0.25勝率的事實，唯一能做的，就是靠近AB中其中一個人來噁心他了。

我是假設ABC不能互相通過交流影響他人選擇，否則C就靠最後一招噁心人威脅，就可以讓結局完全不一樣。

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