陳數（Chern number）與卷繞數（Winding number）的區別與聯繫？

12-22

我覺得這個問題問得不是很清楚，題主應該再加一點具體的說明。。而且令人遺憾的是現有的回答幾乎可以說對我「沒有幫助」了。。

恰好之前見過這兩者同時出現的地方，所以我大概猜測題主是看到了類似的東西。

下面我打算簡單把我唯一知道的一點簡單說一說，權當拋磚引玉。我會盡量寫得 pedagogical，雖然這樣會暴露出我什麼都不懂的問題，但可能恰好是我考慮問題的初衷，或者動機。其實我希望看到更多人來具體說說物理上怎麼理解，因為我總是跟不上他們的思路。。

第零部分主要是一點點數學，但是對於後文沒有影響，算是對問題的直接回答；第一部分給出兩個基本的例子，看過一點點物理的應該都見過；第二部分我會盡量簡單而清楚地解釋在最簡單的例子裡面這兩個數是如何聯繫的，並且在比較一般的情形也成立；第三部分是我認為怎麼從數學上解釋這件事。其實我並不知道怎麼把問題變得很一般，所以我也不知道能不能純粹在數學上給一個說法。

（其實這更個回答像是給知道一點數學的物理同學再講一點點我喜歡的數學，以及我怎麼理解某些問題）

零、一點數學

簡單來說，給定一個拓撲空間 $M$ 上的復向量叢 $E$ ，假定向量叢的纖維是 $r$ 維的，即 $mathrm{rank}(E) = r$ ，那麼可以定義一些上同調類 $c_i(E) in H^{2i}(M ; mathbb Z)$ （ $i = 1 , ldots , r$ ），叫做 $E$ 的第 $i$ 陳類（Chern class）。（至於具體怎麼定義，其實有些複雜；不過如果 $M$ 是個流形則可以地用 Chern-Weil thory 來給出大家熟悉的表達式）

在後文中，我們只考慮 $r = 1$ 且 $M$ 是個二維緊定向流形的情況，換言之只有第一陳類 $c_1(E)$ ，並且可以用龐加萊對偶把它變成個整數——如果用 de Rham 上同調那就是直接積分： $int_M c_1(E)$ 是個整數，有些人也叫第一陳數。

同時也明確寫一下此時的 Chern-Weil 構造：假定在 $E$ 上給定了聯絡，若其曲率形式為 $Omega$ ，則 $c_1(E) = [frac{i}{2 pi} Omega]$ ，這個表達式應該很熟悉了，比如在 Berry phase 相關的地方。可以參考我以前的某個回答：用通俗易懂以及數學語言解釋什麼是貝里曲率（Berry curvature）？，但我必須說這個回答寫得不好。

至於所謂的 Winding number，更普遍的名稱應該是映射度（degree）。這個鏈接裡面給出了一些定義，我也就簡單說說了。給定兩個 $n$ 維緊定向流形 $M , N$ 和連續映射 $f : M o N$ ，那麼這個映射誘導了阿貝爾群同態 $H_n(f) : mathbb Z cong H_n(M) o H_n(N) cong mathbb Z$ 和 $H^n(f) : mathbb Z cong H^n(N) o H^n(M) cong mathbb Z$ ，而 $mathbb Z$ 的自同態是由一個整數決定的（即 $x mapsto n x$ 的映射），這個整數就被定義為 $deg(f)$ ；如果 $f$ 是可微的，那麼可以考察 $f$ 的任一正則值，用它原像處切映射的行列式正負求和來定義（具體我不說了）；也可以用 $N$ 上任一體積形式通過 $f$ 拉回到 $M$ 上積分來定義。

這三個定義，第一個和第三個的等價可以直接從 de Rham 上同調得到；第二個和第三個的等價也可以由微分形式積分的一些簡單命題得到，不太難證明。

一、兩個熟知的簡單例子

第一個例子是大家做 Berry phase 時一定見過的：考慮一個自旋- $1/2$ 的粒子，外加一個磁場，那麼這是最簡單的量子力學系統，兩個能級之差正比於磁場大小；現在讓磁場大小不變而改變方向，那麼會有 Berry phase 出現（參數流形是 $S^2$ ），試求 Berry curvature 和第一陳數。

由於計算很簡單，並且相信大家都算過，我就直接放結果了。用球坐標並設磁場大小為 $1$ ，哈密頓量 $H( heta , varphi) = egin{pmatrix}cos heta sin heta , e^{-i varphi} \ sin heta , e^{i varphi} -cos hetaend{pmatrix}$ ，兩個本徵值為 $pm 1$ ，對應本徵態為 $psi_+ = egin{pmatrix}cos frac{ heta}{2} \ sin frac{ heta}{2} e^{i varphi}end{pmatrix}$ 和 $psi_- = egin{pmatrix}-sin frac{ heta}{2} \ cos frac{ heta}{2} e^{i varphi}end{pmatrix}$ （或者差個相位都行），那麼對應的 Berry connection 為 $mathcal A^{(+)} = -sin^2 frac{ heta}{2} , mathrm d varphi$ 和 $mathcal A^{(-)} = -cos^2 frac{ heta}{2} , mathrm d varphi$ ，對應的 Berry curvature 為 $mathcal F^{(pm)} = mp frac12 sin heta , mathrm d heta wedge mathrm d varphi$ ，所以第一陳類 $c_1^{(pm)} = [frac{1}{2 pi} mathcal F^{(pm)}] = mp frac{1}{4 pi} sin heta , mathrm d heta wedge mathrm d varphi$ ，按照通常的定向第一陳數 $c_1^{(pm)} = mp 1$ ，注意到物理上和數學上對於聯絡和曲率有個 $i$ 的因子差。

當然了，兩個陳數的和肯定是零，因為總的向量叢是平凡的，所以有時候不恰當（但方便）地就說陳數是一。

第二個例子和這個很像，事實上下一節我會具體說明他們的聯繫。

考慮一個有兩個能帶的模型[1][2]：哈密頓量是 $H(k) = h^i(k) cdot sigma_i$ ， $k in mathrm{BZ} cong T^2$ ，這個 $mathrm{BZ}$ 就是某二維晶格的布里淵區， $h^i : mathrm{BZ} o mathbb R$ 是三個光滑實值函數。為了使系統是 gapped 的，再要求 $vert h vert := sqrt{(h^1)^2 + (h^2)^2 + (h^3)^2}$ 處處不為零。

現在求第一陳數。（當然了，同上可知有兩個第一陳數，但它們互為相反數，所以求一個就行了）

結果是 $c_1 = frac{1}{4 pi} int_{mathrm{BZ}} frac{vec h}{vert h vert^3} cdot left(frac{partial vec h}{partial k_x} imes frac{partial vec h}{partial k_y} ight) , mathrm d k_x wedge mathrm d k_y$ ，我不想展示具體計算，這是繁瑣而沒有實質難度的。這個結果可以參考[1]，但我沒看到哪裡有具體計算。下一節我會有一個簡單的間接計算。

令人驚訝的是，這個結果可以解釋為某個映射度。注意到 $vec h / vert h vert$ 其實是一個 $T^2 cong mathrm{BZ} o S^2 subset mathbb R^3$ 的映射，做一點計算可以發現這個映射的映射度恰好就是上面那個東西——把球面的標準體積形式拉回就看出來了。

我懷疑題主是從這裡提出這個問題的，不過即使不是也沒關係。下一節我會對此做一些簡單的解釋。

二、解釋

我們試圖把第二個例子跟第一個例子聯繫起來，然後用第一個例子中的結果直接把第二個例子的答案算出來，那麼立刻就看到聯繫了。

先把已有的東西寫出來：定義映射 $f : mathrm{BZ} o S^2$ 為 $f(k) = vec h(k) / vert h vert(k)$ ，在局部坐標（球坐標）下 $f = ( heta , varphi)$ ，那麼哈密頓量 $H(k) = vert h vert(k) egin{pmatrix}cos heta sin heta , e^{-i varphi} \ sin heta , e^{i varphi} -cos hetaend{pmatrix}$ 。

注意本徵態跟前面的因子 $vert h vert(k)$ 是沒有關係的，所以本徵態就和第一個例子中是「一樣」的。之所以打引號是因為並不完全一樣，更準確地說，這裡的兩個本徵態是 $phi_{pm} = psi_{pm} circ f$ ，解釋如下：球面上的兩個本徵態應當看作映射 $psi_{pm} : S^2 o mathbb C^2$ （因為是平凡叢的截面），現在的本徵態看作映射 $phi_{pm} : mathrm{BZ} o mathbb C^2$ ，那麼上述映射的複合恰好是正確的。（考慮這一點！）

現在要算 Berry connection， $omega^{(pm)} := i langle phi_{pm} , mathrm d phi_{pm} angle = i langle phi_{pm} , mathrm d psi_{pm} circ mathrm d f angle$ 。

如果不能意識到這是什麼意思的話，在局部坐標下做一個計算： $omega_i^{(pm)} = langle phi_{pm} , mathrm d psi_{pm}(mathrm d f(partial_{k^i})) = langle phi_{pm} , mathrm d psi_{pm}(frac{partial heta}{partial k^i} frac{partial}{partial heta} + frac{partial varphi}{partial k^i} frac{partial}{partial varphi}) angle = frac{partial heta}{partial k^i} mathcal A_{ heta}^{pm} + frac{partial varphi}{partial k^i} mathcal A_{varphi}^{(pm)}$

這裡的 $mathcal A^{(pm)}$ 是第一個例子中出現的 Berry connection。換言之，有 $omega^{(pm)} = f^* mathcal A^{(pm)}$ 。

做一次外微分，那麼此時的 Berry curvature $Omega^{(pm)} = f^* mathcal F^{(pm)}$ 。

所以積分一下，現在的第一陳數就應當是原先的第一陳數乘以 $deg(f)$ ，但之前的陳數是一，所以這裡的陳數當然就必須等於映射度了，即所謂的 winding number。

可以注意一下，這所有的事情都跟 $mathrm{BZ}$ 到底是什麼沒太大關係——只要是一個二維緊定向流形就好了。

三、進一步的解釋

其實只要意識到發生了什麼之後，一切都變得很顯然甚至有些平凡了。

注意到陳類的一個性質：設 $f : M o N$ 是二維緊定向流形之間的光滑映射，而 $E$ 是 $N$ 上的一個復向量叢，那麼拉回叢 $f^*E$ 是 $M$ 上的一個復向量叢，且 $c_1(f^* E) = f^* c_1(E)$ 成立。

積分一下，也就是用陳數來說，那就是 $c_1(f^*E) = deg(f) cdot c_1(E)$ ，這就是前面討論的情況。至於為什麼前面出現的向量叢恰好是拉回叢，我這裡就不說了，有興趣可以去考慮。

（寫完之後由於覺得太平凡了我甚至覺得有點無聊，並且我的回答可能跟題主問的完全不是一回事。。其實我還是想看看做物理的人們是怎麼理解這些事情的，感覺完全不知道大家的思路是什麼啊）

（下面的參考文獻其實沒有什麼用，只是擺出來好看而已。。）

參考文獻

[1] David Carpentier. Topology of bands in solids: From insulators to dirac matter. In Dirac Matter, pages 95–129. Springer, 2017.

[2] Qian Niu. Berry phase effects on electronic properties. In APS Meeting Abstracts, 2007.

最近正好看一個拓撲的note，裡面舉了幾個例子說明Winding number、Chern number如何標記拓撲不變數。當然，這兩個number的概念應該比較寬泛，我在此只通過兩個模型來看這兩個量的區別與聯繫。

一、winding number

一維SSH模型

$H=vsum_{m=1}^N|m,A><m,B|+wsum_{m=1}^{N-1}|m,B><m+1,A|$

調節兩個躍遷參數v,w，系統出現拓撲平庸、非平庸的兩個相。非平庸的相會在開邊界的條件下出現零能邊緣態。除此之外，系統的chiral symmetry還保證了邊緣態要麼只佔據格點A，要麼只佔據格點B。只要保證symmetry不被破壞，還可以得到一個結論：如果我們把目光盯著一維鏈的某一個端點，那麼這一端佔據在A格點的零能邊緣態數目，與佔據在B格點的零能邊緣態數目的差值 $N_a-N_b$ 是不會變的。這種性質是非常robust的，因為這個不變數是對稱性保證的，也就是只要外界擾動不大，這個差值就是不會變，我們因此叫它拓撲不變數。

下一步我們考慮周期邊界的情況，對SSH的哈密頓量進行傅里葉變化 $H(k)=vec{d}(k)cdotvec{sigma}$ 的形式（其中 $d_x=v+wcosk,d_y=wsink$ ），chiral symmetry要求 $d_z=0$ 。若我們把 ${d}_x(k),{d}_y(k)$ 看做k的函數作圖，由於布里淵區的周期性，它會是一條在xy平面的閉合曲線。這條曲線繞過原點的次數就是winding number，在 $d_z=0$ 的情況下，為了保證gap不閉合，這條曲線永遠不能通過原點，winding number也不會改變，所以它也是拓撲不變的。而這個winding number就等於上面所說的單側分別處於A格點、B格點邊緣態的數目差。所以說，系統的邊界信息完全隱含在體相性質中，這就是edge-bulk對應原理。

二、chern number

在SSH模型的基礎上，加入 $u(|m,A><m,A|-|m,B><m,B|)$ 化學勢項，並且讓系統含時周期演化： $v(t)=1+cos(Omega t),u(t)=sin(Omega t)，w(t)=1$ 。開邊界情況，我們可以畫出系統在每一時刻t的能級，則會發現會有兩條能帶穿過gap連接導帶與價帶（能帶出現一個叉），因為模型bulk始終有gap，所以這兩條穿過gap的能帶由SSH鏈的邊緣貢獻。根據這個來自邊緣的態在時間演化過程中的行為，我們把它分個類：能量若從價帶提升到導帶，我們稱charge pump（+），若相反則標記（-）。若把t看做另一個維度上的k，則系統分立能級的含時移動就是一個能帶。通過簡單的分析（能帶連續、單值性等），我們可以斷言，那些來自某一端貢獻的邊緣態，charge pump情況帶的數目，與相反情況帶的數目的差值 $N_+-N_-$ 是不會變的。與winding number類似，只要bulk能帶不閉合，這個量就不會改變，因此它同樣是拓撲不變的。

接下來，為了尋找這個量與bulk性質的聯繫，我們發現之所以邊緣態會pump電子，是因為bulk的價帶電子在含時演化中會在bulk中流動，若遇到邊界，會把電子擠到導帶上去，這也是邊緣態能量會從價帶pump到導帶上的原因。通過分析我們判斷，在鏈的某一側被擠上去電子的數量 $N_+-N_-$ 其實就是系統在半滿情況（每個波矢k佔一個電子）一個演化周期內通過鏈的任一截面的電流的積分。若我們把維度t看做另一個方向上的k，這個電流的積分就是chern number。

最後要說的是，這個含時演化的模型其實與一個二維格點模型並無二致。只不過，這時邊緣態的意義不再是一維鏈的邊緣態含時演化的能量變化，而真的是用另一個量子數k標記的態。至此，我們又再現了第一節的結論，一個系統邊界的性質完全隱藏在系統體相的性質中，只不過在這個二維繫統中，對應的是另一個整數chern number而已。

簡單來說，chern number 是bulk的性質，winding number是edge state 的性質。

Chern number 有些情況下可以看作一個映射的winding number

比如考慮complex bundle over Riemann Surface，它的Chern number就是兩個局部平凡化的粘貼映射在邊界上誘導的winding number。

其他場合，winding number的概念會被一些其他的概念替換。

The winding number=the loop integral of the local gauge transformation over the Berry phases (gauge invariant quantity).

The first Chern number=the integral of the Berry curvature (gauge independent) over the first Brillouin zone.

The first Chern number is identical to the winding number and TKNN integer related to the gauge field (U(1) fiber bundle).

$C=iint_S F_zds=iint_S ( abla imes A)_zds=int_C A_2dl-int_C A_1dl=N_{winding}$

A is the Berry connection like EM vector potential. Stokes" theorem is applied.

我完全不懂物理, 不知道算不算強答.
實際上考慮流形 M 的Euler類 $e(M) = e(TM)$ , $e(M)$ 在流形上的積分, 也就是Euler示性數, 等於 $TM$ 的截面與零截面的代數相交數. 考慮 $TM$ 的截面也就是 $M$ 上的向量場 $X$ , 假定向量場的奇點（零點）離散, 那麼可以證明Euler示性數等於向量場 $X$ 奇點處環繞數（winding number）之和（好吧這一般也叫向量場的指標）. 向量場奇點處的環繞數, 是指考慮在奇點充分小的球形鄰域上考慮單位化的向量場, 由此給出的 $S^{n-1}$ 到 $S^{n-1}$ 映射的映射度（degree）.
對於實 $2n$ 維（近）複流形 $M$ , Euler類就是最高陳類 $c_n(M)$ , 於是第 $n$ 陳數等於 $M$ 上向量場奇點處環繞數之和. 如果 $M$ 是Riemann面, 那就是第一陳數等於 $M$ 上向量場奇點處環繞數之和.