為什麼需要證明「1+1=2」？

12-22

對於一樓的回答我有些不能認同，1+1=2不需要證明？我原來也想過，誰會去證明這麼無聊的問題，可是學了高等數學就會發現自己太naive了。

數學是數學家構造出來的一個世界，那麼自然數的構造就是數學世界的開天闢地。

我思考1+1為什麼等於2實際上是在思考為什麼自然數列是連續的。為什麼99之後不是0?或者

甚至是這樣的：

皮亞諾公理

義大利數學家皮亞諾用公理把自然數安放在了數學世界裡面。

皮亞諾的這六條公理用非形式化的方法敘述如下：

Ⅰ 0是自然數；
Ⅱ 每一個確定的自然數a，都具有確定的後繼數a" ，a"也是自然數（數a的後繼數a"就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如，1"=2，2"=3等等。）

可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如考慮由 0, 1 構成的數字系統，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。因此，我們要對自然數結構再做一下限制：

Ⅲ 0不是任何自然數的後繼數；

但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統 0, 1, 2, 3，其中3的後繼是3。看來，我們設置的公理還不夠嚴密。我們還得再加一條。

Ⅳ如果自然數b是自然數a的後繼數，c=b，那麼自然數c是自然數a的後繼數，同一個自然數的後繼數都相等；
Ⅴ如果自然數b、c的後繼數都是自然數a，那麼b = c；

最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如 0.3），同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。

Ⅵ設S?N，且滿足2個條件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那麼n"∈S。則S是包含全體自然數的集合，即S=N。(這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性)

註：歸納公理可以用來證明0是唯一不是後繼數的自然數，因為令命題為「n=0或n為其它數的後繼數」，那麼滿足歸納公設的條件。

若將只考慮正整數，則公理中的0要換成1，自然數要換成正整數。

加法的定義我們定義，加法是滿足以下兩種規則的運算：Ⅰ ?m∈N，0 +m =m；Ⅱ ?m，n∈N，n" +m = （n +m）"。有了這兩條僅依賴於「後繼」關係的加法定義，任意兩個自然數相加的結果都能確定出來了。1+1=2

1 + 1

= 0』 + 1 （根據自然數的公理）

= （0 + 1)』（根據加法定義Ⅱ）

= 1』（根據加法定義Ⅰ）

= 2 （根據自然數的公理）

自然數和加法是數學世界的根基（當然還有集合論等，忍不住還是嚴謹一下），在這個基礎上數學世界越來越輝煌，如果1+1不等於2了，那也許整個數學界的理論就靠不住了，所以，這就是為什麼需要證明「1+1=2」

前幾天和同學討論1加1等於2的證明，差點把澡堂，宿舍給掀了。我的洗漱用具也都丟澡堂了，沒想到這道問題又遇上了。

我的觀點是去證明1加1等於2的，要不閑，要不就是找事。不服你可以@我。

如何證明

1加1等於2，這個公式的所有數字包括演算法，都是人類的創造，而且是一種主觀的創造。它只不過是經過漫長的傳播，磨合和認同，最後才成為一種普遍的認識。就像是樹對應的是樹一樣，它更像是一種密碼，一種廣為人知的密碼。如果有一天，大部分人類想把『1加1等於2』換成『1加1等於3』的本質，那麼現在的證明又該作為怎樣的存在，真是可笑。

用創造出來的去證明創造出來的，有可信度嗎？明天我就用1加1等於3代替常規思維又能怎樣。那些去證明的所謂數學家，到底學的是數學家還是哲學家。對於你們我只想說偽數學家……呵呵

數學

數學是研究現實世界中數量關係和空間形式的科學。簡單地說，是研究數和形的科學。

就是把現實的物體數字化，最後達到用數字可以描述的地步。要求不同，描述的方式也不同。像1加1所代表的數量關係，可以代表倆個人，倆棵樹等等。

如果硬要去為1加1等於2找一個證明，那不是數學，更像神學。我個認為去為1加1找證明的人，就是為了神話數學，神話自己。

真正的推動人類前進的技術，絕不是這種沒有用的證明。數學是一門基礎學科，為物理化學的研究提供條件。有本事就去為如何更好的解決高次方根做研究。別把數學當哲學研究。

呵呵噠，不服可以@我。

補更：

哥德巴赫猜想：任何一個大於 6的偶數都可以表示成兩個素數之和。

此式與哥德巴赫猜想無關的原因是，1已經不是素數或者是質數了。

還有證明某一個偶可表為1對質數，或某一些偶數都可表為1對質數，都是沒有用的！證明哥德巴赫猜想問題，是要證明所有的偶數都可表為1對質數之和！

中國數學家陳景潤於1966年證明：任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者可表示為兩個質數的乘積。」通常這個結果表示為 1+2。這是目前這個問題的最佳結果。

所以我想說不要在拿1＋1＝2說事了……。我是會記仇的，評論區里的沒文化，我記住你了。

1+1=2，這個證明不了，也不敢證明，證明完以後都成了「二」了，誰還敢證明。無法證明還有其他的原因，因為這是有人早已經下的定義:1+1等於什麼呢？讓它等於2吧，而且必須等於2，打死也不許等於3，於是，從人類識數開始，人們就都遵從這個定義。你要非得證明，1+1怎麼就等於2了，難道就不能證明它不等於2？不能等於3或者10000，或者等於1後面有無數個零之類的嗎？如果真證明了，那麼假如你有一塊錢，別人又給你一塊錢，祝賀你，哥們兒！你發了！要是這樣那你只能證明下定義的那哥們兒有點二，如果不是說明自己是個「二」。但其實仔細考慮一下這個問題，如果一個1表示一個人，另一個1表示一根筋，那還真就是2。

生活中也有這樣的事，明明是事實，警察非得讓你證明「你媽媽是你媽媽」，這也證明了明確的事實但在理論上未必就成立，所以反過來你還得證明1+1就等於2。還好，警察沒讓你證明「你妹就是你妹，」或者「你大爺就是你大爺」。還有，現在的中醫院什麼的並不少，如果不治病的話似乎沒什麼存在的價值，古代還有太醫，如果沒給皇上皇后嬪妃治好病，恐怕也沒有什麼好下場，或者早該銷聲匿跡了，那麼多的中藥在出售，你總不能說這都是假藥吧?還有大量的中醫療法，存在了幾千年，怎麼一下子就都成了騙人的了？實在想不通。中醫吃虧就吃虧在臨床療效統計上，你說中醫就是騙人，那我也沒辦法，這和1+1=2一樣無法證明。雖然我證明不了，但好像你也無法證明1+1一定不等於2，這就好像你懷疑歷史，說歷史書上寫得完全是錯的，可以，但請你拿出有力的證據來，在沒有說服大家之前，你是不是還沒有權力就下出你自己的結論?在有力的證據支撐下，歷史也不是不可以修正，「司母戊鼎」不是改成了「後母戊鼎」了嗎？可以質疑但不能妄下結論。人，還是應該知道自己幾斤幾兩，否則真證明出1+1=3，會貽笑大方的。

1+1=2不需要證明，也沒有證據可以證明它是錯的。

桌子上有一塊糖，你又放上去一塊，然後一數發現有三塊，那一定是有什麼地方出了問題，而不能證明1+1=2是錯的。

數學是人類解決問題的工具，其內容是由一系列基礎概念和公設構成的。數學工具的特點也是唯一要求就是體系內部不允許有矛盾出現。歷史上就有三次出現矛盾就是三次數學危機。只要沒有矛盾，其具體的內容是可以隨意更改的。你可以認為1+1=8.1+1=∞，只要以此建立起的體系沒有內部矛盾就可以認為其成立。

比如歐幾里得的第五公設：過直線外一點有且只有一條直線與原直線平行。這是大家都熟悉的。你可以修改它為過直線外一點有無數條直線與原直線平行，也不會有矛盾。還可以改為過直線外一點沒有直線能與原直線平行，這就是黎曼幾何了，愛因斯坦的廣義相對論就是以此為基礎的。

證明1+1=2根本就是一個錯誤的問題。因為數學中2本來就是以1+1來定義的。這個問題就像問如何證明年逾古稀的人都超過70歲了，這根本無需證明，因為「年逾古稀」就是以超過70歲來定義的。以此類推3-1，5-3等都是2的定義，說桌子上有2個蘋果和有5-3個蘋果是等效的。所以數學並不產生新的知識，它只是把原知識以不同的方式表達出來而已。

1+1=2雖然非常直觀(感覺上是直觀，其實並不直觀)，但是確實不是公理，而且把它當作公理缺乏外延性，就是說沒法擴展，比如，沒法由1+1=2證明1-1=0，等等。

1+1=2實際上需要有自然數的完備性作為前提，如果自然數不完備，比如說沒有下面的前提條件，任何自然數加1，還是自然數，而且是它的後繼自然數，2剛好是1的後繼自然數，還有0不是任何自然數的後繼數等等條件，那麼就很難說1+1是不是等於2，這在邏輯上並不難明白，所以其實自然數的完備性，才是最基礎的公理，這就是皮亞諾的自然數完備性公理。而1+1=2就變成這個自然數完備性公理的推論，那麼，自然數完備性公理是不是還有更加基本的公理體系，作為它的基礎，沒有了，因為人們確實沒法證明自然數為什麼完備，所以只能把它定為公理。

由此可知，某個大家公認的事實，究竟是公理，還是定理、推論或者命題。要看這個事實(儘管人所公知)，是不是最基本的，是不是需要有前提，比如為什麼1+1=2，就需要有自然數的完備性作為條件，不夠基本，不能自然成立，所謂「不證自明」(公理的通俗解釋)，就是不需要任何前提條件，或者至少人們看不出需要有什麼前提條件，才能成立。

另一個成為公理的條件，是必須具有很好的外延性，就是說可以由它經過一系列推導，推出一系列更高層次的定理、命題和推論，從而可以構成一個體系。這兩個條件1+1=2都不滿足，因此，1+1=2就不能成為作為數學基礎的基本公理，而是自然數完備性公理的一個推論。

數學上的1+1問題和1+1=2都是什麼？又是怎麼證明的？

這兩個完全不是一回事，千萬別搞混了！網上以訛傳訛，居然有人說1+1=2根本證明不了，最牛的陳景潤也只證明了1+2=3，太離譜了！

先來說說1+1問題，這不是個算式，是對數學難題「哥德巴赫猜想」的簡稱。

猜想是哥德巴赫在1742年6月7日給歐拉的信中提出來的，被歐拉總結為「任何一個大於2的偶數都是兩個素數之和」。這個描述起來很簡單，學過素數（也叫質數）概念的人都知道的猜想至今未被證明，到是有個「哥德爾不完備定理」（自然數公理體系中，存在不可被證明的真命題）勸告人們死了心吧！

雖然只是一個關於自然數的猜想，但想證明卻要用到非常多的數學知識。不誇張的說，大學本科畢業對這個題目仍然屬於根本沒思路的狀態。不但一般人么思路，數學家也是到了二十世紀才開始找到思路。其中涉及1+1名稱由來的思路就是「先考慮把偶數表為兩數之和，而每一個數又是若干素數之積。」這也是成果最多的思路。

1920年，挪威的布朗證明了「9 + 9」。

1924年，德國的拉特馬赫證明了「7 + 7」。

1932年，英國的埃斯特曼證明了「6 + 6」。

1937年，義大利的蕾西先後證明了「5 + 7」, 「4 + 9」, 「3 + 15」和「2 + 366」。

1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「5 + 5」。

1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「4 + 4」。

1956年，中國的王元證明了「3 + 4」。稍後證明了「3 + 3」和「2 + 3」。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了「1 + 5」，中國的王元證明了「1 + 4」。

1965年，蘇聯的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，及義大利的朋比利證明了「1 + 3 」。

1966年，中國的陳景潤證明了「1 + 2 」。

陳景潤先生的成果被稱為陳式定理：「任何一個充分大的偶數都可以表示成一個素數和一個不超過兩個素數乘積之和。」

除此之外還有「例外偶數集合」這個證明思路，就是我證明了不符合哥德巴赫猜想的偶數一個沒有，不也行么。這個也沒完全證明，只證明了在數字無窮大的狀況下，這種偶數數量少到它和數軸上自然數數量的比例趨近於零。有點繞，可以簡單地認為證明不符合「哥德巴赫猜想」的偶數賊少，但沒證明一個沒有。華羅庚先生在1937年作出了這樣的證明。

還有「小變數的三素數定理」和「幾乎哥德巴赫問題」（這是個神奇的想法，數學成就也很大）兩個思路。不多說了，因為我也說不明白。反正結果是到今天都還沒有證明「哥德巴赫猜想」，也就是沒有證明這個「1+1」問題。

下面來說說1+1=2，這個不是簡稱，就是個小學一年級的算式，但，但，但也是個需要證明的問題……。

數學分支很多，每一個分支都有基本公理（公設）和定義作為基礎，剩下的一些定理公式都有這些公理和定義推導出來。「1+1=2」，既不是自然數公理，也不是定義，因此需要證明。所謂自然數就是自然而然的數字，我們人類原始狀態就會掰著手指頭數數，為啥還要公理定義呢，這就是牽扯到數學的邏輯嚴謹，也要區分與其它數的分別。想嚴格定義一個東西是非常難得事情，自然數公理直到1899年才由數學家皮亞諾提出。

自然數公理又稱為皮亞諾公設，有五條，符合了這五條才是自然數。

文字表述如下（數學表達雖然更精確，但看起來有點難於理解），括弧里大概的解釋：

①0是自然數（這一條和第四條規定了自然數的起點）；

②每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a" ，a" 也是自然數（一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數，規定了自然數延伸和無限性）；

③如果b、c都是自然數a的後繼數，那麼b = c（這一條規定了每一個自然數的後繼數是唯一的）；

④0不是任何自然數的後繼數（這一條保證了自然數的延伸方向性，不會轉圈，也就是不會出現半夜十二點就是第二天零點的狀況）；

⑤任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數0是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n" 也真，那麼，命題對所有自然數都真。（這一條就是數學歸納法，它間接地規定了自然數延伸的間距步長，這一條就不多解釋了，篇幅就太長了）

總結起來就是符合和這五條，自然數的數軸就是下面這個樣子了，一個等步長方向確定無限延伸的數軸。

數軸下邊的那些0"，0""的是基本定義，為了方便表述，就用數軸上邊的這些符號，也就是1、2、3、4…等等代替。

為什麼要這麼麻煩呢，就是嚴謹。其實不光數學，身邊的習以為常的東西嚴格定義都是挺麻煩的一件事，比如說啥是人類，會蓋房子，能思考，有語言能力，直立行走么？好像是人類獨有，但再想想烏鴉也都會。

有了自然數，再看看自然數加法是個啥東東。自然數加法定義如下：

有了公設和定義我們終於可以證明1+1=2啦！這個算式用語言表述就是兩個0的後繼數相加等於0的後繼數的後繼數。證明如下（注意1是0的後繼數的符號，2是1的後繼數符號）：

0"+0" = （0"+0）" = （0+0）"" =0""

Or 1+1 = 1+0" = （1+0）" = 1" = 2

根據1+1=2的證明，我們可以證明0m+0n=0m+n（m和n代表0的第多少位後繼數，而不是多少次方），也就是我們的常用自然數加法是成立的。

由於人類認識了 1+1=2，從此在這個世界上開創一個新的人類認識文明。可惜的是人類從此以後在也無法懂得，再也無法走出1+1=2這樣的理念束縛。

今天有幸可以懂得讓人類文明來證明1+1=2這樣的問題，來改善人類起始文明至今的各種影響，那真乃是有幸之中的萬幸。

為什麼人類文明需要證明1+1=2這樣的問題呢？一個問題的起始本沒有讓人類感覺那麼敏銳。更何況只是一個1與1的關係，確實這樣一個不起眼的問題慢慢地深入人類文明中，千萬年不懈的發展導致今天人類意念中信以為真理。1+1=2一個不解讀的人類認識文明，讓人類起始一個新的起點，也讓人類走向一個看不見宇宙中萬物真諦的世界裡。

一個1+1=2的認識，並沒有讓人感覺到有多麼神秘的東西。可是一旦人類相信不疑時，世界上的一切都發生質的變化了，一個以1+1=2的世界誕生了。世界上本無任何1+1=2的存在，因為世界上一切都是有自己的意志，有自己的趨向包括宇宙中任何粒子組合的物質及物種。然而，人類文明中卻把所有事物包括人類一切發展變化皆以1+1=2來衡定。不可思議的是這樣的一種認識卻影響了，人類生存在這個世界上千萬年，即使到如今人類還是生存在不假思索的大大咧咧的認識中。

一個人類是否在這個世界上有所發展，那完全是靠一個真諦的發現。一個1+1=2迷惑了人類文明千萬年，也玩弄了人類智慧千萬年，這足夠證明了要認知1+1=2的迷失，來如何開創一個宇宙真諦對人類的各種認識所具有的重要性。

這裡說的需證明的1+1是帶引號的，是對哥德巴赫猜想的「1+1」的簡稱，哥德巴赫猜想：任何一個大於6的偶數都能拆成兩個素數之和，簡稱1+1。陳景潤證明了，大偶數是一個素數和另外兩個素數之積的和，簡稱1+1，距離證明1+1的哥德巴赫猜想還剩一步之遙。

證明數。已知兩個數，3，4。求證:3=4。證明:設A十B=C那麼4A一3A十4B一3B=4C一3C整理得。4A十4B一4C=3A十3B一3C提取。4(A十B一C)=3(A十B一C)所以4=3，完畢。

還從來沒有在任何一個權威著作或學術論文中提到過1+1=2需要證明的！

這個根本就不需要證明。只需要定義。定義和證明是兩回事。正如同10的0次方，10^0=1一樣，它是規定的或者說叫定義的。

關於什麼叫自然數，它的嚴格定義是在很晚的時候才出來。距離現在也才100多年，叫序數理論。以下引用自百度百科。

序數理論是義大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義：自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作1。②N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的後繼者。③1不是任何元素的後繼者。④不同元素有不同的後繼者。⑤(歸納公理)N的任一子集M，如果1∈M，並且只要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麼M=N。