雙曲函數的來歷是什麼，與三角函數有什麼關係？

12-21

原諒一個正在啃高數的菜鳥高考結束黨，真的不是作業……

手頭上的是《高等數學》（清華大學出版社，2008 年出版），P14 提到了雙曲函數與反雙曲函數。不僅從 wiki 上曖昧地描述「與常見的三角函數類似的函數」，而且從符號上看，它一定與三角函數有某種不可告人的關係……

除了與三角函數的關係之外，其實題主更想知道它的歷史淵源。即當初是為了解決什麼問題而提出（發明）的？題主查過 wiki 和手頭不多的數學書，都沒有結果。謝謝！

謝 @王希邀，前面的人好像講的都差不多了，我就來講講故事吧.

雙曲函數最早是出現在懸鏈線的研究之中.

懸鏈線就是一個固定項鏈的兩段，在重力場中讓它自然垂下，項鏈的曲線方程.

這個就是當年雅克比·伯努利曾提出的著名懸鏈線問題，在這之前伽利略也注意到了懸鏈線這個東西，當時他猜是拋物線，後來惠更斯（這時候17歲）證明了伽利略猜錯了，但是他也算不來。問題提出後第二年第萊布尼茲跟惠更斯（他這個時候已經62歲了哦~）還有約翰·伯努利（雅克比他弟）各自得到了正確的答案.當年他們用的就是剛剛誕生沒多久的微積分，把這個問題轉化成了求解一個二階常微分方程，借這個方程就得到了懸鏈線.

寫到這裡，我就再扯扯這兩個伯努利的好玩的事情，我們之前說了約翰·伯努利解決了懸鏈線問題，後來雅克比就去證明了「懸掛於兩個固定點直接的同一條項鏈，在所有可能的形狀中，懸鏈線的重心是最低的，具有最小勢能」.在伯努利家族裡他兩兄弟間不止一次相互爭強好勝，不斷爭吵……（其實現在看著也覺得他們這樣好好玩）

這個懸鏈線的方程就是 $y=frac{e^{ax}+e^{-ax} }{2a}$ （不過當年 $e$ 還沒被發現）
方程的推導有興趣的可以看懸鏈線

插一段，我想到了當年法布爾在《昆蟲記》里還有過這樣一段呢 (?????)
「每當地心引力和擾性同時發生作用時，懸鏈線就在現實中出現了。當一條懸鏈彎曲成兩點不在同一垂直線上的曲線時，人們便把這曲線稱為懸鏈線。這就是一條軟繩子兩端抓住而垂下來的形狀；這就是一張被風吹鼓起來的船帆外形的那條線條，這就是母山羊耷拉下來的乳房裝滿後鼓起來的弧線。而這一切都需要e這個數。」
」……這個奇妙的數e又出現了，就寫在蜘蛛絲上。在一個濃霧瀰漫的清晨，讓我們檢視一下夜間剛剛織好的網吧。粘性的蜘蛛絲，負著水滴的重量，彎曲成一條條懸鏈線，水滴隨著曲線的彎曲排成精緻的念珠，整整齊齊，晶瑩剔透。當陽光穿過霧氣，整張帶著念珠的網映出彩虹般的亮光，就像一叢燦爛的寶石。e這個數是多麼地輝煌！"

哈哈，我們回來！

當 $a=1$ 時，就是我們的雙曲餘弦函數

為什麼叫它雙曲函數呢，當然是它們跟雙曲線有關係咯.最早注意到雙曲函數跟圓函數（就是三角函數）的類推關係的人是義大利數學家V.Riccati.
他引入了記號 $cosh x$ ， $sinh x$ ，發現了雙曲正弦函數與雙曲餘弦函數之和就是指數函數 $y=e^{x}$
後來他又進一步發現 $cosh^{2} x -sinh^{2} x =1$ .

我們知道圓函數（三角函數）就是通過單位圓 $x^{2}+y^{2} =1$ 進行定義的： $cos phi =x,sin phi =y$
所以呢，雙曲函數就以類似的方法對雙曲線 $x^{2}-y^{2} =1$ 上的點進行定義： $cosh phi =x,sinh phi =y$

既然問到了和三角函數有什麼關係，那就再說所這個 $phi$ 吧

在圓裡面，這個 $phi$ 是上圖中線段OP與 $x$ 軸正向所成的夾角，但是在雙曲函數里，這個 $phi$ 並不能解釋為一個夾角。這裡給出這個 $phi$ 的一個幾何含義，你會發現圓函數和雙曲函數還是有關聯的。

注意到，在圓函數中，參數 $phi$ 也可以角寬度數 $phi$ ，半徑為1的圓扇形面積 $S=frac{1}{2} phi r^{2} =frac{1}{2} phi$ 的兩倍

其實在雙曲函數裡面，這個 $phi$ 也有類似的含義，只是我們可以用一個雙曲扇形來替代這個圓扇形

如上圖， $S_{OPR}= S_{OPS}-S_{PRS}=frac{xsqrt{x^{2}-1 } }{2} -int_{1}^{x} sqrt{t^{2}-1 }dt$
這個積分，我們進行一個換元 $t=cosh u$ ，然後就能算到了 $S_{OPR}= frac{phi }{2}$ ，這個參數 $phi$ 就是雙曲扇形面積的兩倍，這與圓函數的形式就是相似的.（這個是文森佐·黎卡提最先注意到的），後來就給這個 $phi$ 取名叫雙曲角.對於圓函數和雙曲函數來說，他們之間有很多的相似的地方，像奇偶性，加法公式，微分公式和積分公式.
但是三角函數具備周期性，而雙曲函數沒有這種性質.

我們發現圓函數和雙曲函數有這麼多的平行類推關係，但是他們的重要性和在數學中的地位應該相似，但是其實不是這樣。
主要是因為圓是一個封閉曲線，周而復始，所以圓函數也是一個周期函數。所以很適合研究周期現象。後來還發展出傅里葉分析.
而雙曲函數就沒有這麼漂亮的性質，但是，從懸鏈線，繁衍幾何和雙曲幾何（非歐幾何），都還是應用到了雙曲函數.

然後，在復變里三角函數和複數指數函數相關聯，我們還可以發現雙曲正弦或雙曲餘弦，在結構上和正弦和餘弦的表達形式差不多.也就是最高票答案給出的
$sin x=frac{e^{ix}-e^{-ix} }{2i} ,sinh x=frac{e^{x}-e^{-x} }{2}$
這樣一看，雙曲函數在復變里就有周期（2πi）了呢，多漂亮~

嗯，答案里的圖片均是另一個答案也提到的e的故事 (豆瓣)這本書里直接截下來的，這本書還是可以看看的.以及雙曲函數不僅是在懸鏈線中出現的，在拉普拉斯方程里也有，這個我估計說不好，有興趣的可以看看.

明明是想寫成好玩的故事的，沒想到最後寫成這樣子，怪不得今天導師說我寫的論文像是在寫作業，哎，我去寫！作！業！了("▔□▔)/

天，發現我回答的題目裡面最長的一個答案了，我要給自己撒花*,°*:.☆(￣▽￣)/$:*.°*

謝邀 @匡世珉。由於 @安堇然的答案十分翔實全面，因此本答案在內容上不免與其有所重合，見諒。

本答案為逗比版，請大家去可能是最好的講解雙曲函數的文章 - 那些年那些有趣的數學 - 知乎專欄看認真版，謝謝！
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小方一回家就把書包扔到地上，數學君笑嘻嘻地湊了過來：「今天又學什麼了？」
「雙曲函數。」小方說，「看著和三角函數長得特別像，關係亂七八糟的搞不清。還有，這玩意是誰研究出來的啊？有用嗎？」
「哈哈！」數學君笑了，「當然有用了，而且和三角函數的關係非常密切。」

「有多密切？」

「比你能想到的還要密切。」數學君賣了個關子，這才娓娓道來：

「雙曲函數最早的研究是懸鏈線。關於懸鏈線的問題是達芬奇提出來的。時隔170餘年，雅各布·伯努利才在論文里提出了確定懸鏈線方程的問題。可憐的他為了證明這是一條拋物線花費了一年的經歷卻毫無進展（錯得怎麼會有進展……），而他弟弟卻「犧牲了一晚上的休息時間」做了出來。

實際上微積分在當時已經提出來了，以雅各布的數學基礎，如果他設出函數再通過微分方程的方法去求解，得到正確答案問題不大。因為同時期的萊布尼茨、惠更斯和他弟都得到了正確答案，而這些人的數學水平是難分伯仲的。所以做科研不能先入為主啊！」（由於 @安堇然知友的答案對這一段歷史的敘述很詳，我就不贅述了）

「知道了。」小方說，「那這玩意就是研究一個懸鏈線，怎麼會應用如此廣泛，而且這貨到底和三角函數有啥關係？」「你別急啊……我馬上就講了」數學君嘆道。

「懸鏈線搞定之後，雙曲函數被應用在了越來越多的領域。18世紀的時候，約翰·海因里希·蘭伯特開始研究這個函數；19世紀中後期，奧古斯都·德·摩根將圓三角學擴展到了雙曲線，威廉·金頓·克利福德則使用雙曲角來參數化單位雙曲線。」

這段話包含的數學名詞比較多，小方過了一會才問：「圓三角學是啥？」

數學君又開始侃侃而談了：「你知道的三角函數又叫做『圓函數』，你應該知道為啥吧？」說著掏出了一張圖片放在小方面前：

「三角函數都是通過單位圓來定義的，圖中不同顏色的線就是三角函數線，它們的長度就是三角函數值。」

「這個我當然知道，高中就學過了。」小方不耐煩地說，「你快說說雙曲函數吧。」「雙曲函數是類似的，你要不先自己想想？」「我不想想了，你快說快說快說唄！」「唉，好吧。」數學君無奈地繼續講解。

「雙曲函數則是通過單位雙曲線，即 $x^{2}-y^{2}=1$ 來定義的。

圖中的彩色線段就是雙曲函數線，其長度就是對應的雙曲函數值。」

「哦哦，這麼一說這倆貨還有一定聯繫啊。」小方沉吟了一下，突然又提了一個問題：「那圓和雙曲線有什麼關係嗎？它們兩個的關係是不是和圓與雙曲線的關係有關？」

「聰明！」數學君贊了一句，「圓與雙曲線當然是有聯繫的，這個聯繫也決定了雙曲函數和三角函數密不可分的關係。」

「那麼聯繫是什麼呢？」

「別急，知道Jacques Hadamard不？」

「這是誰啊？」

「蘇聯非常著名的一個數學家。他說過一句非常著名的話：『實域上兩個真理之間的最短路程是通過復域』」。

「嗯，莫非……」

「對的，通過複數，這兩者可以得到難以想像的統一。」數學君喝了口水，開始講述這最核心的部分：

「我們先考慮圓與三角函數以及雙曲線與雙曲函數這兩對內部的關係。單位圓的參數方程是什麼？」「 $x=cos heta,y=sin heta$ 」「那單位雙曲線呢？」「什麼三角函數……正割還是啥來著……」「正割也行，但是你不覺得 $x=cht,y=sht$ 更方便嗎？」「對啊！哎呦不錯這個漂亮！」「這才只是個開始哦~哈哈」

「你學過歐拉公式，應該知道在複變函數里，三角函數可以寫成指數形式。具體的說就是：
$cosz=frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},sinz=frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ ,
而雙曲餘弦和雙曲正弦函數分別是
$chz=frac{e^{z}+e^{-z}}{2},shz=frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$
所以呢我們就有……」

「我知道，這個我們今天講了。」小方搶道，「 $cosz=ch(iz),sinz=-ish(iz)$ 」

「對的，但是這裡邊蘊含著什麼道理呢？我們從級數角度來講講吧。」數學君不敢賣關子了：

$cosh x = sum_{n=0}^inftyfrac{x^{2n}}{(2n)!} sinh x = sum_{n=0}^inftyfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \ cos x = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} sin x = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

我們可以發現，兩者只是將 $(-1)^{n}$ 進行了改變，雙曲函數就是把三角函數改為非交錯級數了。

「正是由於其無比類似的級數展開，才造就了兩者十分相似的恆等變換關係。」數學君說著，亮出了幾張滿是公式的稿紙：

（全是維基里搞來的，實在懶得打TeX代碼了）

「和三角函數公式太像了！」小方驚呼。

「是啊，而且僅有的區別也非常有用。時間不多了，我們再說一個最關鍵的地方吧。」這次數學君沒等小方回應就接著講了下去：

「你一定知道三角函數的周期是 $2pi$ ，可是雙曲函數卻沒有周期。是嗎？其實不是這樣的。還是作為複數來看，雙曲函數的周期是 $2pi i$ .而且你也發現了 $cos z=ch(iz)$ ,所以我有一個大膽的猜測……」「快說，什麼猜測！」

在複變函數里，這兩個函數的本質是一樣的。

空氣凝固了，兩個人都好久沒說出話。

小方愣了一會說道：「這個猜測……算了你還是講講這玩意有啥用吧。」

「好的。」數學君也不敢討論這個問題了。緩了一下，他寫出了一個不定積分：

$intsqrt{1+x^{2}}dx$

「在高等數學裡，雙曲換元在很多題目中都非常方便。熟悉雙曲函數的性質便可以做得得心應手。而相比三角代換，會使用雙曲代換的人卻少之又少。唉……」

「沒事。」小方安慰數學君道，「我會了就夠了，他們不會就讓他們不會去吧。」

「嗯嗯，也對。」數學君又開始總結了：

「從懸鏈線開始引入雙曲函數，再到之後的雙曲幾何和原函數的擴展，以及之後複變函數里雙曲函數與三角函數的高度統一，都說明了雙曲函數在數學領域有非同一般的意義。
「而工程應用中，雙曲函數同樣有很多用途，包括而不限於建築和信號處理、電磁場與微波。更多的我也不曉得。但總而言之，這是一個非常重要的函數。」

說完這句話，數學君沒有聽到期待的掌聲。低頭一看，小方已經呼呼大睡了。數學君無奈地搖搖頭，也進入了夢鄉。

完
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（下面我接著講點複變函數里專業的東西。

正弦與餘弦映射均由複變函數里的基本映射複合而成。如 $omega=cos z$ 是由旋轉 $frac{pi}{2}$ 的映射、指數函數映射以及如可夫斯基映射複合而成：

$1)omega_{1}=iz;quad2)omega_{2}=e^{omega_{1}}quad;3)omega=frac{1}{2}(omega_{2}+frac{1}{omega_{2}}).$

由公式

$sin z=frac{e^{i(z-frac{pi}{2})}+e^{-i(z-frac{pi}{2})}}{2}$

同樣可知 $omega=sin z$ 的複合過程。

由上述知，寬度為 $pi$ 的鉛直帶狀區域是 $z->sin z,z->cos z$ 的單葉區域。

我們來看看餘弦函數在帶狀域 $[-pi<Re(z)<0]$ 的映射情況：

$omega = u+vi=cos z=cos (x+iy)=cosxchy-isinxshy$

求直線 $x=x_{0}$ 的像，有

$u=cos x_{0}chy,v=-sin x_{0}shy$

由此得

$frac{u^{2}}{cos ^{2}x_{0}}-frac{v^2}{sin^{2}x_{0}}=1$

這是一個直線到雙曲線的映射，當 $x_{0}$ 為正數和負數時分別為其一個分支。而直線 $x=0$ 被映射為正實軸從1到 $+infty$ 的割痕，直線 $x=-pi$ 被映射為沿實軸 $-1$ 到 $-infty$ 的割痕。帶狀域的像為整個 $omega$ 平面，除去實軸上從-1穿過無窮遠到1的線段。）