物理學史上有哪些著名的，用量綱分析/數量級分析/線度分析解決的問題？

12-20

湯川提筆找介子，費米撒紙算核爆

話說那是在1935年，湯川正在解決核力的問題。人們知道原子核是由質子和中子構成的，但是質子都是帶正電荷，所以原子核內部的質子之間應該是有強烈的電磁斥力的，但是原子核能穩定存在，為了假設這個現象，人們假設一種非常強的，能把質子和中子束縛在一起的力，叫做「強力」，這種力的作用距離只有原子核的半徑那麼大，大約 $10^{-15}m$ 。另外，又知道光子是傳遞電磁力的媒介粒子，湯川秀樹把強力與電磁力比較，認為強力也應該有一種媒介粒子進行傳遞。光子無質量，所以可以傳播到無窮遠；強力粒子應該有質量，這樣才能把作用距離限制住。那麼該怎麼估計這個粒子的質量呢？

考慮標量場的Klein-Gordon方程：

$frac{1}{c^{2}}frac{partial^{2}}{partial t^{2}}psi= abla^{2}psi-frac{m^{2}c^{2}}{hbar^{2}}psi$ ，

為了方便不考慮時間的變化，則：

$( abla^{2}-frac{m^{2}c^{2}}{hbar^{2}})psi=0$ ，

這裡的 $m$ 就是媒介粒子的質量。點電荷的靜電勢方程：

$abla^{2} psi=0$ ，

對比兩個式子，湯川把前一個式子解釋成強力，或者叫做核力的勢方程。這個方程的解可以寫作：

$psi(r)=frac{alpha}{r}e^{-frac{r}{R}}$ ，

其中 $R=frac{hbar}{mc}$ , $alpha$ 為一個係數，此處不重要。這樣一個結果其實很有意思，可以看到，因為勢能函數存在一個指數項，因此勢能隨著距離迅速降低，如果 $R$ 大，則降低的緩慢，如果R非常小，則勢能函數降低的非常迅速。勢能的主要作用範圍其實是和 $R$ 產不多數量級的，此處即 $Rapprox 10^{-15}$ ，再根據 $R=frac{hbar}{mc}$ ，可以得到：

$mapprox 100Mevsim200Mev$ 。這就是湯川秀樹得到的核力介子的質量，後來在1947的宇宙線中觀測到了這種粒子，其質量為 $140Mev$ ，完全符合預測結果！

另，如果考慮質量為0的情況，那麼 $R ightarrow infty$ ，也就是說傳播距離為無窮遠，勢能函數變為：
$psi(r)=frac{alpha}{r}$ ，這不正好就是靜電勢嘛！而且光子的質量確實零！Everything make sense！

再說費米。沒過原子彈實驗是費米不被允許進入實驗地區，可是這種事情怎麼會難道費米大神恩？費米待在距離爆炸中心約10英里處。爆炸40秒後，爆炸的氣浪到達費米所在地，他將事先準備好的碎紙片從離地六英尺高的地方灑落，紙片被氣浪捲走，他根據紙片飛行的距離（兩米半）估算了核爆炸的「當量數」約為一萬噸TNT炸藥。後來證明這個結果和儀器測量值十分接近。

這個裡面的計算細節在此就不表了。說到費米，最令人感覺神奇的就是他的估算能力，上述估算核彈當量是比較著名的一個，還有一個是「芝加哥有多少個鋼琴師調音師」，再有一個就是費米悖論，這些都是典型的估算問題的例子。

（PS 關於費米的這個例子我不是很清楚，歡迎大神補充）

這正是

世人皆言物理難，宇宙粒子惹人煩。

時間長短不固定，薛氏貓咪生死談。

湯川有心找介子，費米無憂算核彈。

化繁為簡現真理，理學佳話百年傳。

Reference

杜東生，楊茂志。粒子物理導論。
關於費米用紙片估算原子彈的疑問 | 萬物至理小組 | 果殼網科技有意思

上一個回答ヾ(?°?°?)?? 下一個回答

最有名的當屬那位憑藉著幾張照片就判斷出原子彈爆炸當量的神人，參看趙凱華的《定性與半定量物理學》。

我自己印象最深的是這個問題：

除此之外其實還有一個問題：

自然界中存在著引力相互作用的束縛態（太陽系）、強相互作用的束縛態（原子核）、電磁相互作用的束縛態（原子），但迄今為止我們卻從未發現過弱相互作用的束縛態，為什麼？

請仿照電子偶素體系估算一下，當弱相互作用的力程和玻爾半徑大致相等時，粒子質量的數量級。

理論物理中我不清楚，但是我知道在工程中，例子很多。例如複雜的流體力學和傳熱學。

對流傳熱係數
雷諾數
普朗特准數
努賽爾准數
格拉曉夫數

工程上很多啊，無論是熱傳導中的overall heat transfer coefficient (總傳熱係數) 還是overall mass transfer coefficient (總傳質係數) 都是通過量綱分析加上經驗公式的回歸分析算出來的。工程上還有專門的一個理論叫做Buckingham Pi therom。總的來說，量綱分析在工程學裡可以說是基本，很多時候列微分方程列的對不對，推導的對不對，都可以靠它來檢驗。