為什麼不同焦距的魚眼鏡頭可以達到同樣的視角？

參考問題 【同焦距的魚眼鏡頭和廣角鏡頭的視角是相同的么？】http://www.zhihu.com/question/20024981

10mm魚眼鏡頭的拍攝角度是180°；而10mm廣角鏡頭的角度是大約是109°
所以10mm魚眼的廣角拍攝能力要強大的多，能把你身體兩側的內容都拍攝進來。
魚眼鏡頭的原理是，是把前端鏡片組設計成凸面鏡（會凸出來很大一塊，以至於沒辦法安裝濾鏡，鏡頭蓋也和普通鏡頭不同），實現的180°的效果。

適馬10mm魚眼鏡頭的拍攝角度是180°；而索尼只用了16mm的焦距就取得了180°的視角。 這裡面有優劣之分嗎？ 為什麼？

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沒帶電腦，用iPad簡單答一下吧。一句話總結的話，因為普通鏡頭和魚眼鏡頭的投影關係不同。

假設某個點在視野中與光軸的夾角是 heta，這個點在底片上成的像距離底片中心為 y 那麼，對普通鏡頭來說，y = f * tan( heta)，這裡 f 是焦距。由於底片大小是一定的，也就是 y 的最大值是定死的，所以 heta 的最大值就和焦距 f 是對應的，f 越短， heta 的最大值就越大，也就是視野越廣。

第一次答案有誤，現在修正。
=== 修改 ===
對魚眼鏡頭來說，並不是按照正切的投影關係，而是故意設計成其他的投影關係，以便容納更廣的視野。那麼選用怎樣的投影關係呢？一般來說應該要符合這樣幾個條件：

1. 連續可導
2. 能容納大視野（甚至超過180），也就是說對應的 y 必須比正切投影關係的 y 要小
3. 形式簡單，便於分析計算
4. 最好有一定的物理意義

從這幾個條件出發，常見的幾種投影方式如下 [1]

1. y = 2 f * tan( heta / 2) 體視投影，Stereographic (conform)
2. y = f * heta 等距投影，方位等距投影，Linear scaled (equidistant)
3. y = 2 f * sin( heta / 2) 等立體角投影，方位等積投影，Equal area (equisolid angle)
4. y = f * sin( heta) 正交投影，Orthographic

其中，第二條等距投影的關係中，可以加入比例係數 k 來調節畸變的程度以適應不同的視野。這幾種投影關係中，2.等距投影 和 1.等立體角投影 使用較多，並且也有明確的物理意義（物理意義就不再贅述了，畢竟和這個問題關係有點遠了）。
我不知道提問的這兩個鏡頭具體的投影方式，不過民用鏡頭裡面使用 2.等距投影 的較多。假設都是採用這種投影方式，那麼即使不同的焦距 f，只要比例係數 k 能對應的話，同樣能做到視野180。並且從這個式子可以看出，如果投影方式都是 2.等距投影 的話，這兩者的變形程度是一樣的。（我原來的答案里說法有誤）
=== 完畢 ===
僅憑記憶還是不太靠譜 sigh，帶來一些誤導了，抱歉

當然，對魚眼鏡頭來說還有很多投影方式，各自有各自的出發點（並不是簡單湊一個數學公式）。考慮投影方式不同，那麼不同焦距而視野範圍相同就更不奇怪了。

至於為什麼普通鏡頭的投影關係前面沒有比例係數 k 也很好理解，如果有了這個 k 那麼照片和實物就無法保持"相似"了，就會有變形。

稍等我有空模擬幾個圖貼出來看看吧，對不同投影方式的成像特點就很直觀了

=== 更新 ===
下午閑著沒事琢磨著寫了個程序模擬了一下幾種不同的投影方式的效果。下面幾幅圖中，視野範圍依次變大。
首先是正常的鏡頭，這是一個視角接近120的超廣角鏡頭

然後是體視投影的魚眼鏡頭，焦距是上面那個普通鏡頭的1.5倍，但是視野範圍反而大一些。下面幾幅圖所用的焦距都和此圖一致。

然後是等距投影的效果

然後是等立體角投影

最後是正交投影，很明顯，正交投影只能拍攝小於等於180視角的畫面

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Fisheye_lens#Mapping_function
[2] 魚眼鏡頭光學 王永仲 著 科學出版社

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關於這件事，我一直想寫一個「白話」版的文章解釋一下，趕巧看到這個題目，就在這寫吧。

@章佳傑 把理論講的比較清楚，詳細了解可以查閱《魚眼鏡頭光學》的這本書，但是只說理論似乎還是不太容易了解這裡面的緣由。

如果你對基本的小孔成像有了解，你可以這麼形象地理解：

上圖是經典的小孔成像幾何模型，可以看到左邊的像平面是一個平面。這反映在數碼相機中，就是 CCD/CMOS 感光陣列是一個平面。當我們在討論普通鏡頭視場角和焦距的關係的時候，是以這個事實為基礎的。但是，存在徑向畸變的「異性」鏡頭（魚眼鏡頭是其中一種）的作用，就是在小孔成像模型中，把成像面變成一個曲面。想像一下，在上圖中的模型中，如果把左邊的像平面變成一個半球形，像碗一樣扣在小孔上，豈不是甭管什麼焦距，都能獲得 180 度的視場角？

比如下面這張焦距/視場角換算表中最左邊的那個半圓。

現實中的魚眼鏡頭基本就是這麼個意思，只不過通過複雜的數學運算，設計師們能設計出等效於各種曲面的魚眼鏡頭，球面、拋物面，以及只能用多項式去逼近的，沒有明確解析式的複雜曲面。甚至能設計出視場角大於 180 度的鏡頭（*注意，這裡只是個形象的比喻，後面我會解釋）。

當我們獲得了「像曲面」這個概念，基本上就可以對各種廣角鏡頭的工作方式產生「畫面感」了。但是，畢竟現實中的 CCD/CMOS 一般還是平面的，或者內部的結構我們都不管，最終你照出來的照片，總歸是平面的。所以接下來的問題就是怎麼把想像出來的「像曲面」上的像素，映射到平面的照片上？

最直接的影射方式，就是把一巴掌把曲面給「拍扁」了，這樣映射出來的圖像是類似這樣的：

這是最常見的魚眼鏡頭圖像，這種圖像不損失視場，也不需要特殊處理，相機輸出的圖像就是這樣子的，可以認為是「原始圖像」。

現在我解釋一下星號處的比喻：在我們做映射計算的時候，有必要關心「像曲面」是什麼曲面嗎？沒有必要，因為甭管是什麼形狀，只要凸的，我都能等效成把半球拍扁的過程中像素間的投影函數。所以把「像曲面」理解成「像球面」就行了。

以@章佳傑 提到的等距投影為例：
其中 f 是焦距，h 是像高，就是一個點到像中心的距離，是視角。

把這個公式翻譯一下，就是：像高等於以焦距為半徑，視角為圓心角的一段圓弧的弧長。你可以理解成「像球面」上取一段弧長。

順便可以推知，當視場角大於 180 度，取值可能大於，正交投影就不能用了，因為在上不是單調遞增的，看看正交投影幾何模型就很明白了：

當大於的時候，茶壺「背面」的部分被擋住了。

Ok，如果我的腦神經迴路和大多數人差不多的話，到這裡我已經用非常形象易懂的語言把魚眼鏡頭的基本理解講完了（國內講這個的文章實在是太含糊了，外人根本無法理解）。

下面扯個閑篇兒，現在 VR 比較火，youtube 和國內的視頻網站都推出了 360 度全景視頻播放的功能。那種視頻如果不是後期拼接的話，那就是用魚眼鏡頭拍攝的。但是如果你把那些視頻下載下來，會發現不是圓的，而是這樣的：

這個叫做「等距圓柱投影」（equirectangular），也叫正方形投影，可以從上面那個圓餅圖中變換出來。這種投影方式在 VR 視頻源中是主流方法。上面的圖是兩個魚眼鏡頭的圖像變換後拼成了一幅圖。

所謂等距圓柱投影，就是豎直方向上採用等距投影，水平方向採用圓柱投影。你可以理解成用一個圓柱形的圓筒把像球面給包了起來。

這種投影方式最常見的領域就是世界地圖：

想像一下，用一張世界地圖把一個地球儀捲起來，你就能理解這種投影方式是怎麼做的了。地球儀就是那個「像球面」，地圖就是投影后的照片。

很容易想到，這種投影方式出來的圖像，高和寬都是，所以叫正方形投影，而360 度視頻是兩個拼成一個，所以高寬比是 1:2，這也是為什麼這種視頻標準高寬比是 1:2 的原因。

最後插一句：「像曲面」這個概念，未必純粹是虛構的，Sony 就推出過曲面 CMOS 這種黑科技，長這樣：

這就是 Sony 的"曲面 CMOS 感光元件"，他們的科技樹點的有點恐怖了啊...

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上面的回答都是純粹關於魚眼鏡頭的。

我來補充下，關於sigma10mm魚眼和索尼16mm魚眼的區別。

雖然兩者都是180°魚眼鏡頭，但是sigma那個是DC頭啊，是截幅的。

索尼是全畫幅的啊兄弟！

所以算上轉換倍率，其實倆鏡頭是一樣一樣的。

順便，一般按照經驗來說，魚眼鏡頭的焦距只是用來表明是何種魚眼方式，例如8mm魚眼就是球形魚眼（180°*180°），12mm魚眼是桶形魚眼（180°*120°），16mm是對角線魚眼（對角線180°）。最簡單的就是找個佳能的8-15mm，從8mm擰到15mm就可以明確的感受到不同焦距的區別了。

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10mm的魚眼是在照片的縱向上滿足180度，也就是在全副上呈現一個圓形，而16mm則是在照片的對角線上呈現180度視角。橫向/縱向並不能滿足180度。

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