方程的微分形式和積分形式的區別和聯繫？

12-18

方程的微分形式比積分形式精確？積分形式屬於宏觀統計上的概念？

謝邀，我不懂物理，這個問題僅僅從數學的角度來回答。基本關係是微分形式必然可以推出積分形式，但是反過來不一定。反過來成立的條件是這個「解」足夠光滑。舉一個栗子：如果下面的積分方程對任意一個區域成立， $int_{partial V}frac{partial u}{partial u} dS=int_V f(x)dx$ ，要推出微分形式是需要條件的。

一個充分的條件是 $Delta u$ 是連續的，那麼 $Delta u(x)=lim_{r o 0}frac{1}{|B_r|}int_{B_r}Delta u(y)dy$ 存在而且連續 (這裡， $B_r$ 是 $x$ 為中心的半徑為 $r$ 的球，而 $|B_r|$ 是它的體積)。這個條件可以保障下面的計算成立：另一方面，我們有 $int_{B_r}Delta u(y)dy=int_{partial B_r}frac{partial u}{partial u}dS$ ,然後我們可以得到 $int_{B_r}Delta u(y)dy=int_{B_r}f(y)dy$ . 如果 $f(x)$ 是連續的，那麼可以保證 $lim_{r o 0}frac{1}{|B_r|}int_{B_r} f(y)dx=f(x)$ 。這些都滿足才能推出 $Delta u(x)=f(x)$ 。可是這個條件： $Delta u$ 是連續的是非常非常強的，物理過程一定可以滿足嗎？在我看來積分更加本質，但是積分形式數學上很難處理。只有微分形式比較好處理。