是什麼界定了高等數學？

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為什麼從初中到高中我們所學的數學一直是數學，而一到了大學，就變成了高等數學？換句話說，是什麼界定了普通數學與高等數學呢

應該來說，學數學的人要跨越4次思維的鴻溝，當然大多數人只需要跨越2個甚至1個就夠了。

第一個，就是從算術到代數的跨越，我們小學時候學的很多算術，對待的是直接數字的加減乘除運算。要到用字母運算了，這就成為很多害怕數學的人的分水嶺。那些中考高考數學很差的人，都是代數基礎不紮實，字母運算都覺得困難，其實他們就是這一關沒過好。

第二個，就是您問的，初等數學與高等數學的鴻溝。關鍵點在於極限的理解。不能很好的理解極限的意義，就不知道微分積分為何故，整個高等數學下來都是極限的精神在發揮作用。如果這關沒過。學習高等數學簡直就像噩夢。

第三個，就是抽象精神，數學專業的朋友必須跨越的鴻溝。像是群，環，域，拓撲空間，流形這些比較抽象的結構，能去理解，而且能在具體和抽象的對象之間來去自如。才能跨越這個鴻溝。幾乎，這是能否做數學研究的分水嶺。

第四個，比較難描述，因為極少人能達到，已經對現代數學的基本內容，方法，工具滾瓜爛熟了，能跨越數學內一個領域與其他領域的的聯繫，例如把運算元代數放到幾何中，把同調論的方法用於伽羅華群，把李理論用於物理當中……這些都是先輩的奇妙想法，當然要對數學幾個分支的內容了如指掌才能做到。

是極限的思想。

高等數學的兩大部件：微分與積分，都是利用極限逼近的思想來定義的。

無窮。
無窮小+無窮多(求和)
此處默認高等數學以微積分為界限。

高等這個譯法是蘇聯傳下來的國外就叫微積分

同樣的還有高等代數只有國內這麼叫國外都叫線性代數

所以就是個翻譯問題現在大部分學校把文科學的叫高等數學工科稱為微積分

數學分析很久以前有另一個名字：無窮小分析

界定高等數學之所以比「低等數學」高等的是極限的概念。

之前在我那個年代讀的高等數學各種教材中，普遍都還有一絲政治挂帥的風氣。但凡講到極限概念時，必會引用恩格斯在《反杜林論》中對「變數」的評價：「……運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了……」

除此之外，還有一個關於牛頓和貝克萊的八卦也廣為流傳，即貝克萊悖論。貝克萊稱，在進行極限運算時， $Delta x$ 被視為一般的非零數而進行操作，比如可以出現「分子分母同時除以 $Delta x$ 」的情況，但在極限運算的最後一步，卻讓它等於0。

以上這兩個栗子、包括前面其他所有提到極限的答案、甚至說極限的本質，實際上都是在說明如下一件事：
到底我們該怎麼從數學上嚴格看待（理解、定義） $x o x_0$ ，或者說 $Delta x o 0$ 。

當然，從文字語言角度來說，我們可以說：這代表一個數無限逼近0、這個數充分地接近於0、這個數和0要多近就有多近……，但從數學上，到底什麼叫「逼近」，什麼叫「無限逼近」，什麼叫「要多近就有多近」？如果不能很好地刻畫出這一概念的話，就會像牛頓使用微積分時產生的貝克萊悖論那樣，能計算微積分，但不能說明為什麼能這樣算。

後來柯西大神引入了 $varepsilon - delta$ 系統，整個世界就安靜了。這個系統是如此地反直覺，以至於任何剛接觸到它時的同學都會頭痛不已。但也只有這套系統第一次講清楚了什麼是極限，什麼是「無限逼近」，什麼是「無窮小量」。比如無窮小量本質上已經不是一個「數」了，而是一個過程，這就是為什麼恩格斯會說「運動進入了數學」，因為以前的以數為研究對象的時候，數都是固定不變的。

極限

由對技巧性的要求，變為對知識的要求的一次轉變。

極限的思想

瀉藥

不知道

請問高等數學包含啥？大學學的嗎？
不好意思我我高中就學過了微積分線代微分方程證明等

還是分析代數拓撲

不覺得高等數學是個嚴格的概念沒有所謂的高等低等之分只是越來越嚴謹但是總沒有所謂的高等

因為總計有人在前面虐你

如果硬要區分估計就是高考考不考？我不知道

因為我們開始把實數看成個完備集，開始討論完備性，開始討論實數集和對單位元反覆四則運算得到的有理數集間真正的差別。

完備性，直觀上理解，就是沒有洞。我們可以在實軸上愉快的走而不用擔心腳下踩到一個不是實數的數。用分析一些的話說，就是Cauchy列必收斂。

於是我們就能裝備上一種除了四則運算之外的新運算：取極限。極限和完備性天生就是一對～取極限這個運算和四則運算完全不同，它對一個序列進行。序列天生就自帶序號，可以看做一個過程。

看到了完備性，於是弄出了個針對序列的運算：取極限。於是變成高數。

我以為，界定初高等數學在於是否有意識的讓人把離散和連續的觀念統一起來。可以簡單的說極限的概念，但是我個人覺得並不是那麼的精確。數學其實是工具，是要解釋自然現象或者解決問題的。在現實生活中，初等數學的算數和簡單的代數思想能解決小的生活問題（買菜之類的），高等數學解決的是工業層面的問題。而高等數學帶給我最大的感受就是世界可以是連續也可以是離散的（觀念問題）很多問題都是離散得到連續（統計），連續用離散解決（計算機）。不知道這個觀點是不是恰當的。個人來說我最喜歡的高等數學內容是級數。這裡我把高等數學簡單的字面理解為微積分。

不及格率

數學的公理化吧，這其中包括數的定義，皮亞諾公理，實數的一套定理，以及極限過程的定義等等
在進入了公理化之後，我們才開始真正討論高等數學。初等數學我感覺其根基還是在常識上。

這個感覺很不好說。
首先這個界限是存在的，因為我在從高中到大學的過程中確實感受到了數學整個觀念上的衝擊。
但應該不是極限，單論極限的話，線性代數抽象代數圖論怎麼解釋呢？
我覺得可以用這個概念：空間。
高等數學相比於初等數學「高等」，應該是高在引入了空間的概念。
所謂空間，就是一族元素和一族建立在元素上的運算。
那麼微積分，是在實數空間Rn上研究；
線性代數，是在數域上的有窮維線性空間上研究；
更特別地，微分方程和泛函分析還涉及到函數空間，這裡元素是函數，運算包括度量，範數和內積。
這些空間已經不再是三維歐式空間這麼簡單易想像的事情了（你能想像簡單的無窮維的L2空間中的單位球嗎？），這大概是對於我而言觀念上最大的衝擊了。

其實只是叫了這個名字而已，那些叫the introduction of XXX, the element of ###還有那些含有basic，brief單詞的書，照樣第一段也可能都看不懂啊。大概那些東西在那些數學家眼裡確實非常basic吧。
相關--數學系畢業學生

實數完備性定理？
從這裡引出極限嘛…

大學

高等數學和初等數學差距在於思想方法的不同，要知道我們最近幾百年來的科技巨大飛躍都是在於微積分的出現，所以在學習高等數學的過程中，要把自己的思想轉入到微積分的方式中去。