整個宇宙都比不上一個葛立恆數嗎？葛立恆數有這麼大嗎？大到什麼程度？葛立恆數一共有多少個數字？

12-17

江湖上的武林高手加起來都打不過神仙嗎？？
神仙有這麼強嗎？？強到什麼程度？
神仙一巴掌能打碎多厚的石板？

無意冒犯, 不過這個問法真的很像 皇帝家的金鋤頭.

了解一個東西的程度有兩個方法,第一個就是題主開頭說的:

整個宇宙都比不上一個葛立恆數嗎？

這個叫 比較法.

比如這篇文章: 把腦洞開成黑洞的「葛立恆數」

寫的很好...然而沒有什麼卵用...

其實就是網文套路.

武林高手很強但是在鍊氣期的修士面前不堪一擊, 鍊氣分為九段, 高段位吊打低段位.但是有的天資稟議的越階以下克上,但是大境界是不行的.
鍊氣九段之後是築基, 築基咋滴咋滴強大,但是在金丹強者眼中啥也不是
金丹上面還有元嬰,怎麼怎麼怎麼樣,超級超級超級啥啥啥
然後金丹修鍊到極致就是化神了,你現在知道化神有多強了吧?
不過上面還有煉虛、合體、大乘、渡劫........

說到底還是皇帝家的金鋤頭...畢竟作者自己都沒踏破虛空怎麼知道神仙怎麼過活的...

葛立恆數一共有多少個數字？

這個問題問的很好, 這個就是 標度法 了.

尋找一種標度來衡量有多強.

反正...我沒見過寫得好的數據流小說...

畢竟沒學過數值策劃的普通人怎麼寫都是指數爆炸......

所以沒法舉例了...

比如 13&>11 誰大?

因為 13-11=2&>0,所以13&>11

比如 8175441209193759941575331805976502520868226435872106435092
和 942315587708352537766597289993 誰大

你數了下,前面的大,有57位,後面的只有29位.

但是很遺憾...對於葛立恆數來說多少位數毫無意義...

畢竟是修仙者...

位數法本質是 $10^x$ 增長速度很快,所以增長速度比這個慢的都可以用多少多少位來比較.

比如地震等級,比如聲音強度...100級地震和1000分貝就是宇宙大爆炸了...

葛立恆數來源於葛立恆記號,增長速度遠超指數,不能用多少位來形容...

沒有什麼能用來形容大數除了更大的數...

不過葛立恆數 $G(64)$ 再怎麼大不過是個化神期,上面還有個大乘期的 $mathrm{Tree}(3)$ .

在神仙眼裡什麼都不是...

神仙是誰...神仙一般長這樣:

forall R { {for any (coded) formula [ψ] and any variable assignment t (R( [ψ],t) ? ( ([ψ] = `x_i ∈ x_j" ∧ t(x_1) ∈ t(x_j)) ∨ ([ψ] = `x_i = x_j" ∧ t(x_1) = t(x_j)) ∨ ([ψ] = `(～θ)" ∧ ～R([θ],t)) ∨ ([ψ] = `(θ∧ξ)" ∧ R([θ],t) ∧ R([ξ],t)) ∨ ([ψ] = `?x_i (theta)" and, for some an xi-variant t" of t, R([θ],t")) )} → R([φ],s)}

把天書翻譯成人話就是:

f(s):=「符合『大於任何使用一階邏輯語言，並用不超過s個符號所能表示的數』的最小數」

什麼什麼語言中,用s個符號可以表示的數...可以證明這個比任何使用遞歸定義的數增長都快...

我忘記 $G(64)$ 和 $mathrm{Tree}(3)$ 在這把尺上標在哪了,好像一個是個位數,一個是三十幾.......

不過神仙也是有極限的啊...這個極限之上叫做超限基數....

超越所有神仙的第一個數.........不想解釋這是什麼....

不過不管怎麼樣,這一切的一切都有盡頭,這個盡頭叫絕對無窮: □-□.

講師推了推黑框眼鏡,如是說.............

一、

「整個宇宙都比不上」，可以這麼理解。

首先，可觀測宇宙（哈勃半徑範圍內的部分）含有不超過10^80個原子，它的熵則是10^120，意味著可觀測宇宙最多也只有e^10^120種狀態。進一步，我們絕無可能在可觀測宇宙的範圍內製造出一個存儲器，讓它能夠區分1，2，……，10^10^120-1，10^10^120這10^10^120個數。

其次，宇宙的真正大小仍是個未知數。有的研究稱宇宙的大小至少是10^10^10^122MPc（這裡把單位換成米或者普朗克長度也無所謂，影響太小了），那麼它的狀態數得有10^10^10^10^122左右。

然後，如果一個體系中有一個質量為M普朗克質量的黑洞，那麼它的龐加萊回歸時間是e^e^4πM普朗克時間。把前面那個宇宙大小代進來，就大概是10^10^10^10^10^122（單位？無所謂啦）。這個數已經是自然科學中所涉及到的最大數字了，然而對葛立恆數甚至G(1)而言都無比渺小。甚至——

$10^{10^{10^{10^{10^{122}}}}}<3uparrowuparrow8<3uparrowuparrowuparrow3$

接下來，我們需要想像下面的過程（儘管不是很「科學」）——把10^10^10^10^122種狀態進行「排列組合」。一種簡單而有效的思路就是取其冪集（constructive universe的構造也是這麼做的）。取一次冪集，就是2^10^10^10^10^122；取兩次冪集，就是2^2^10^10^10^10^122。如果每秒鐘都取前一秒所得系統的冪集，直到那個超長的龐加萊回歸時間，那麼最終會得到下面的數字——

$left.2^{2^{cdots^{2^{10 ext^10 ext^10 ext^10 ext^122}}}} ight}10^{10^{10^{10^{10^{122}}}}}<3uparrowuparrow(3uparrowuparrow8)<3uparrowuparrowuparrow4<3uparrowuparrowuparrowuparrow3=G(1)$

所謂「排列組合」也無濟於事，甚至比不上G(1)。

二、

所以，葛立恆數真有「這麼大」。那麼，它到底大到什麼程度呢?

我們首先從它的定義來理解：

$auparrow b=a^b$
$auparrow^c1=a$
$auparrow^{c+1}(b+1)=auparrow^c(auparrow^{c+1}b)$
$G(1)=3uparrowuparrowuparrowuparrow3$
$G(n+1)=3uparrow^{G(n)}3$
葛立恆數=G(64)

現在我試圖用指數表示前幾個形如 $3uparrow^n3$ 的數。

第1個數，3↑3 = 3^3

第2個數，3↑↑3 = 3^3^3

第3個數，3↑↑↑3 =

怎麼閱讀這個表達式呢？從最大的"3"開始讀起。它是3^3^3^…^3這樣一個指數塔。那麼有多少個"3"呢？看括弧右邊的數——有3^3^3個。

第4個數，也就是G(1)，3↑↑↑↑3 =

怎麼閱讀這個表達式呢？從最大的"3"開始讀起。它是3^3^3^…^3這樣一個指數塔，那麼有多少個"3"呢？看括弧右邊的數——有3^3^3^…^3個，又是一個指數塔！那麼有多少個"3"呢？看括弧右邊的數……這樣重複了「很多」遍以後，到達了最後一個指數塔，只有一個"3"。那麼這「很多」遍到底是多少遍呢？看橫著的括弧下邊的數——有3^3^3^…^3個，又是一個指數塔！那麼有多少個"3"呢？看括弧右邊的數——有3^3^3個。

第5個數，3↑↑↑↑↑3 =

第6個數，3↑↑↑↑↑↑3 =

照這樣繼續下去，每增加一個箭頭，指數塔-省略號表達式都會變得成倍複雜。

$G(2)=3uparrow^{G(1)}3=3uparrow^{3uparrowuparrowuparrowuparrow3}3$ ，也就是上邊這個序列的第3↑↑↑↑3個數。即便按照這種指數塔-省略號的寫法，G(2)的表達式也會有3↑↑↑↑3這種級別的龐大，因此大於 $left.2^{2^{cdots^{2^{10 ext^10 ext^10 ext^10 ext^122}}}} ight}10^{10^{10^{10^{10^{122}}}}}$ ，也遠遠超過任何科學意義上的「整個宇宙」所能容納的範圍。

G(3)用上述指數塔-省略號的寫法，表達式有G(2)這種級別的龐大；記號的大小再用指數塔-省略號的寫法表示，還有G(1)=3↑↑↑↑3這種級別的龐大；記號的大小再用指數塔-省略號的寫法表示，才能壓縮到一個「可以接受」的複雜程度。

……

葛立恆數的指數塔-省略號表達式有G(63)這種級別的龐大，葛立恆數的指數塔-省略號表達式的大小的指數塔-省略號表達式還有G(62)這種級別的龐大。將葛立恆數，進行「其大小用指數塔-省略號表達式表示出來」的操作64遍，才能壓縮到一個「可以接受」的複雜程度。

——這就是葛立恆數的大小的一個「比較直觀」的說明。

三、

葛立恆數有多少位數？葛立恆數有 $lceillg G(64) ceil$ 位數。

這樣的回答似乎會令人感到不滿意，尤其是當讀者想要從一個數的位數來感知它的大小的時候。所以我們對它進行一些縮小——

葛立恆數的位數大於 $3uparrow^{G(63)-1}3$ 。作為對比，葛立恆數等於 $3uparrow^{G(63)}3$ 。這個下界還可以提高一些——

葛立恆數的位數大於 $3uparrow^{G(63)-1}(3uparrow^{G(63)-1}3-1)$ 。作為對比，葛立恆數等於 $3uparrow^{G(63)-1}(3uparrow^{G(63)-1}3)$ 。這個下界還可以提高一些——

葛立恆數的位數大於 $3uparrow^{G(63)-2}(3uparrow^{G(63)-1}(3uparrow^{G(63)-1}3-1)-1)$ 。作為對比，葛立恆數等於 $3uparrow^{G(63)-2}(3uparrow^{G(63)-1}(3uparrow^{G(63)-1}3-1))$ 。這個下界還可以提高一些——

葛立恆數的位數大於 $3uparrow^{G(63)-3}(3uparrow^{G(63)-2}(3uparrow^{G(63)-1}(3uparrow^{G(63)-1}3-1)-1)-1)$ 。作為對比，葛立恆數等於 $3uparrow^{G(63)-3}(3uparrow^{G(63)-2}(3uparrow^{G(63)-1}(3uparrow^{G(63)-1}3-1)-1))$ 。

……

這樣的下界可以提升到——

葛立恆數的位數大於 $3uparrow^2(3uparrow^3(3uparrow^4cdots(3uparrow^{G(63)-2}(3uparrow^{G(63)-1}(3uparrow^{G(63)-1}3-1)-1)-1)cdots-1)-2)$ 。作為對比，葛立恆數等於 $3uparrow^2(3uparrow^3(3uparrow^4cdots(3uparrow^{G(63)-2}(3uparrow^{G(63)-1}(3uparrow^{G(63)-1}3-1)-1)-1)cdots-1))$ 。

與上面兩個表達式相比較，更精確的描述是——

葛立恆數大約有 $3uparrow^2(3uparrow^3(3uparrow^4cdots(3uparrow^{G(63)-2}(3uparrow^{G(63)-1}(3uparrow^{G(63)-1}3-1)-1)-1)cdots-1)-1) imes0.477121$ 位數。

你去算π的精準值，宇宙末日都算不完歪。

這個數寫出來感覺都能做成分形的圖了

有種感覺題主這個問題就是來騙科普文的。。但是關於這個東西的科普文多得是好吧。。然而並不知道這種東西有什麼用。

宇宙的大小 = PI * (137億光年/ 普朗克長度10^-35m )^3 &<2^609

也就是宇宙裡面只有 2^609次方個普朗克粒子, 複雜度也就這樣了.

要想理解葛立恆數，必須深刻理解高德納箭頭的運算方式

只要深刻理解了，那麼葛立恆數第一層G(1)= 3↑↑↑↑3 通過推導就已經讓普通人倒吸一口涼氣了，其實 G（1）就已經輕易打爆了我們所認知的已觀測宇宙。

那麼只要理解 G（2）=3 G（1）個↑ 3（箭頭的數量哦 !），而葛立恆數為64層，G（64）

就全都明白了

至於為什麼以3為基數，為什麼是64層，請去查數學證明論文。

葛立恆數（Graham Number）其實也不是最大的有意義的自然數，但它確實算是最出名的一個了。此數在上世紀八十年代曾作為「科學研究中出現的最大的數」紀錄保持者被收入《吉尼斯世界紀錄大全》，並因此而混出了比其他大數都高的知名度。相當一段時間內網路上的人都知道拿葛立恆數來裝B。

葛立恆數由美國數學家羅納德·劉易斯·葛立恆（Ronald Lewis Graham）提出，它大到用一般的方法根本無法表示，必須用到特別定義出來的一系列符號。假設把全宇宙的所有物質全部轉化成墨水灌進鋼筆里，這些墨水也無法讓你把葛立恆數完整地寫下來。可觀測宇宙的整個空間和時間尺度對於葛立恆數來說都實在是小得可憐了。

葛立恆數到底是怎麼定義出來的？它實際上是一個數學問題的解的上限。至於這個問題是什麼我們在這就不引述了，非專業人士真的很難理解......我們只說這個葛立恆數究竟有多大：

首先，定義G（1）=3↑↑↑↑3，然後G（n+1）= $3↑^{G（n）}3$ 。比如G（2）= $3^{3↑↑↑↑3}3$ ，中間就有3↑↑↑↑3個箭頭。這種稱之為高德納上箭頭表示法，具體定義可參看 @HypCos 的解答。

那麼葛立恆數是多少呢？它是G（64）......

事實上，葛立恆問題從上世紀70年代被提出來，快半個世紀過去了，我們也不知道它的確切的解究竟是多少。我們只知道葛立恆數是它的上界，也就是說這個解最大不會超過葛立恆數。但由於葛立恆數過於龐大，所以這個上界也幾乎沒什麼用。

推薦一篇文章把腦洞開成黑洞的「葛立恆數」

好重的戾氣。題主可能作為一個對無窮沒有概念的大（中、小？）學生，能提出這樣的問題真是太正常不過了。何必仗著多了解了一些數學概念，對他這樣冷嘲熱諷呢。

graham么，這個數大到你只能從低位開始算它的每一位

不懂數學，但看了看各位答主的答案，明白了一丟丟。那麼一個是無法用數量來標定的宇宙一個是沒卵用的超級大的數，你非拿出來讓大家比較一下，居心何在？

大數可以構造出來。Graham"s number是一個構造出來的數。

其他，比如TREE (3)就比Graham"s number大，二者差距就像拿整個宇宙與一個高爾夫球比較大小一樣。

而：

TREE(TREE(...(3)))比TREE (3)更大。

所以，大數非常容易從結構上搭建起來。

（1926,＋∞）這個才是最大的數

List of googologisms

葛立恆數僅僅處在Linear omega level這個級別的較低處，下面那些比葛立恆數不知高到哪裡去了

反正你是不知道我也不知道

俺表示不認同....公眾號：tenspacetraveler十維空間旅行者

建議百度《大數入門》

這裡宇宙的定義是什麼？如果指所有，你想的什麼都在宇宙里吧

葛立恆數很小啊,因為葛立恆數是基本數,因為它指的是n頂點立方體的n

而現實中,我說這裡有兩堆(加入一堆10個)雞蛋,這個"2"看起來很小,但是它不是基本數,它下面還有20個雞蛋這種描述,然而20也不是基本數,20下面還有60個,因為每個雞蛋都由一個蛋殼,一個蛋黃加一個蛋清表示.

60是基本數嗎,也不是,因為60下面還有蛋白質數,分子數,原子數等等,最後到了夸克數你可以想像多大嗎,然而很不幸,夸克在技術上不可分割,但是數學理論上是可以分的,隨著測量標準越來越小,開始的2堆就越來越大,直到無限大.

所以,大多數用來形容現實中數量(肯定大於零)的數字,本質上是大於基本數的

結論:葛立恆數太小了(誰讓你是基本數呢

這種問題你們不舉報？

外行怒答一發。

能精確描述事物的只能是事物本身，所以作為一個數，只能描述事物的某一方面的信息，我們甚至無法精確描述日常事物中的任何一件東西，因此說拿一個人類可以描述和理解的數式去和整個宇宙來比較的話，信息量未必少的可憐了吧。

一個符號又不是實體，符號被賦予意義想表達多大都可以。
唯一令人感到害怕的是，採取某種數學柏拉圖主義的看法，現實宇宙（就人類所能觀察所知）或非現實宇宙中真的存在這種抽象概念，其背後指向一個實體。