如果圓管有缺口的話，其抗彎能力下降與缺口大小的關係如何？
一根長管，正圓形的圓管是不是最抗彎曲的截面形狀呢？如果截面有缺口的話抗彎曲能力會下降，這兩者之間的關係如何？缺口占圓周的百分之多少會是一個臨界值？這個臨界值以下，圓管的抗彎曲能力下降不大，而臨界值以上抗彎能力顯著下降？
這個問題很有意思。雖然嚴格來說，這是個材料力學問題，不是結構力學問題。
因為圓環是個中心對稱圖形，為了討論這個問題，你需要定義你想衡量的是哪個方向的抗彎能力。方便起見，我只考慮兩種情況，也就是受力方向分別垂直和平行於切口。
情況A的受力方向垂直於切口，情況B的受力方向平行於切口。為了簡化分析，我們假設這是薄壁構件，也就是說，我們假設圓管的壁厚比圓管的半徑要小很多。
實際上，這兩種情況的截面慣性矩是有解析解的，很多材料力學書上都有公式。如果是一個完整的圓環，慣性矩為。如果您不了解什麼叫慣性矩，那可以簡單理解成對截面的幾何形狀的抗彎曲能力的衡量。實際構件的抗彎能力取決於兩個方面，材料和形狀。如果材料相同，那麼就取決於幾何形狀，而慣性矩就是對幾何形狀的衡量。
如果剩餘的圓環的部分的圓心角為2×beta，那麼 A 和 B 兩種情況的慣性矩分別為
顯然，B的慣性矩大於A的慣性矩，或者說，單從純粹抗彎來看，B 比 A 更難掰彎。如果你把這兩種情況的解析解畫出來，橫坐標是截面剩餘的圓心角的角度，縱坐標是慣性矩與完整圓環的慣性矩的比值，兩者的相對慣性矩的對比是這樣的：
最右邊，角度為360度的時候，也就是完整圓環，兩者的慣性矩都是1；最左邊，角度為0，也就是全都切掉，慣性矩顯然也都變成0。隨著切口的變大，A 情況的抗彎能力直線下滑，當剩餘的角度為150度左右的時候，這時候這個截面幾乎變成了一個平板，幾乎喪失了抗彎能力。情況B在剩餘的角度為60度左右的時候，慣性矩下降到完整圓環的5%以下。
這僅僅是簡單的慣性矩的對比，實際的抗彎承載力還牽扯到其它方面。比如對於情況B，因為切口是豎直方向的，所以截面對通過圓心的豎向軸線不再對稱，這就牽扯到剪力中心的問題。如果豎向力不通過剪力中心，那麼整個截面不僅僅會受彎，同時還會受扭，這反過來又影響了最終的承載力。事實上，一般的受力方式很難讓外力通過剪力中心，所以情況B的實際承載力要大大減小。
實際的抗彎承載力，還取決於構件的幾何尺寸、支座條件、受力方式等等，所以最好的辦法是就事論事，根據問題的實際情況分別分析討論。
假設我們的圓管外直徑為10，厚度為0.4，長度為50，一端固結，另一端施加豎直外力，圓管的材料為鋼材，屈服強度60，彈性模量29000。保持這些參數不變，僅僅改變切口的大小和方向，我們就可以用外力和相應的自由端的變形之間的關係來衡量抗彎能力。
首先我們看完整圓環的情況。
這時候圓管的截面慣性矩是左右，作為懸臂樑的圓管的理論剛度為
，有限元的結果線性階段剛度大約為 90，因為我們的理論估算沒有考慮剪力和軸力的變形，所以實際上兩者比較接近。
我們再來看情況A，切掉三分之一，切口與外力垂直。
按照我們上面的慣性矩的圖標，當橫坐標為240度的時候，情況A的縱坐標為0.3，所以這種情況的理論剛度是97的三分之一，也就是32。有限元的結果為 25。
最後再看情況B，也就是同樣切掉三分之一，但是切口與外力平行。
按照我們對慣性矩的計算，這種情況的剛度應該是完整圓環的0.8倍左右。但事實上，由於這個截面不對稱，外力不通過剪力中心，從上面這張圖中我們可以看到非常明顯的扭轉。簡單說，這種情況不再是直上直下的受彎，而是受彎外加旋轉著的受扭，整個構件其實在受扭，就像你擰毛巾一樣。實際的剛度也大大減小，有限元的結果線剛度只有3左右。
把這三種情況的荷載位移畫在一起：
從承載力看，也就是三條水平線段的縱坐標，完整的圓環屈服荷載為45，情況A為20，情況B為10，三者的比例為1比0.44比0.22；從剛度看，也就是三條初始階段的斜線的斜率，完整的圓環為90，情況A為25，情況B為3，三者的比例為1比0.28比0.03。不管從哪一方面衡量，原始的完整圓環最好，情況B最差。
注意到我們這裡假設情況B的外力是作用在自由端的表面，沒有通過剪力中心，所以情況B的扭轉非常嚴重，結構性能很差。如果我們能夠讓外力通過剪力中心，那麼情況B是要好於情況A的，最簡單的辦法我們可以拿兩個情況B這樣的截面，背對背焊在一起，讓它們變成一個對稱截面，這時候外力就可以通過截面的剪力中心，結構性能可以大大提高。當然這就屬於另外的問題了。
最簡單的驗證，我們可以給情況B的切口處加上側向支撐，這時候，切口處的側向位移被限制，截面整體扭轉的趨勢會降低，總的承載力會相應提高。
左邊的情況為沒有側向支撐，整個截面逆時針扭轉；右邊的情況有側向支撐，切口處沒有側向位移，只能直上直下的活動，所以截面沒有整體的扭轉傾向。右邊的承載力和剛度要大於左邊的情況。我們把右邊這種加了支撐的情況畫成荷載位移圖中的藍色虛線：
這時候的屈服荷載達到了34，和完整圓管的承載力的比值是0.76，接近於我們上面的理論慣性矩的0.8的比值。雖然約束了切口的側向位移，但是外力仍然沒有通過剪力中心，所以抗彎剛度依然小於理論慣性矩的推算結果。以上的例子是切掉三分之一圓環的情況，剩餘的部分圓心角為240度，感興趣的話可以去試試其它角度的情況。單從這個例子來看，僅僅切掉三分之一圓，剛度就下降了70%還多。
1.圓管不是受彎最好的，這和截面慣性矩有關。矩形 工字鋼要好。
2.圓管受彎有好處，就是他不會發生受彎 扭轉失穩，或者平面外彎曲失穩現象。（失穩這裡不解釋）
3.至於缺口問題，（這裡只說說開很小口的問題）。閉口圓環：受彎時應力垂直於截面，這時應力上下兩邊最大，理論上講無論是開口和閉口截面對中軸慣性矩一，正應力分布一樣（純受彎彈性情況）。如果不是純受彎，還有彎曲切應力（剪應力）。
Fig.1. 閉口剪應力：最大值τ=2F/A (F截面剪力，A環形截面面積=2πrt，r為半徑，t為壁厚）
Fig.2. 開口剪應力，截面應力公式：最大應力同樣為：τ=2F/A
（這裡不包括扭轉，扭轉是開口扭轉切應力遠大於閉口）但是有一點：上述兩種情況最大剪應力位置不一樣。閉口最大在中軸位置，開口的在最上面，而彎曲正應力最大也在上面，兩者合應力還是開口最大。
因此還是閉口最安全，承載力大。理論開口承載力小，並且會有截面外翹曲問題。
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以上自己瞎摸索，球批評指正。
你好，這個應該是材料力學的問題。
如果在某一個方向受彎，那麼在該方向截面慣性矩越大越好，所以如果只是某一方向受彎，圓管不一定是最強的。
如果受彎方向任意，由於圓管繞任意方向直徑慣性矩相同，所以性能比較均勻，就比較適用。
同樣截面積的空心圓管比實心圓管抗彎能力強，但空心圓管壁太薄可能會在受彎時發生屈曲失穩，這應該又屬干薄壁桿件力學的問題了。
有缺口的圓管屬於開口薄壁桿件，沒記錯的話受彎能力應該是比沒缺口的大幅下降，至於具體下降多少，還有題主是想知道推導公式，但不好意思我身邊沒有書，而且手機答題，沒法給出，我只能說推導有點麻煩，而且要用到微分方程，如果你只有高中數學物理水平看起來可能比較吃力
最上面那道題你選什麼？
由於材料力學裡面的應力集中效應，所以推算可行，但具體實驗幾乎無法確定。
真不一定是圓管最抗彎，就是截面積一樣的圓管，口徑不一樣抗彎能力也不一樣，嚴格的說還關係到穩定的問題。主要是慣性矩的計算。自己算一下應該可以比較出來。
比較簡單粗暴的方法是看《機械設計手冊》
我們那年考研的題目
相比於問題的答案，我更想學習的是豬小寶的分析過程中每一步所使用的軟體及表達方式。（比如開始那個示意圖肯定不是CAD畫的吧）
題主自己用有限元軟體分析一下不就完了么，這麼偷懶。
感覺應該是工字鋼吧
根據慣性矩的定義，dI=x^2 *dA。
單位面積距離中性軸越遠，慣性矩越大。
我們來比較一下，圓管，方管，工字鋼的慣性矩。
感覺如何?
我想到了那句話：
同學，自己做作業~
哈哈哈~
好多人在說慣性矩，其實關係不大。因為，你開孔以後，涉及的主要問題是應急集中，應急集中和電學中的尖端放電相似，在孔的邊緣會出現比較突出的應力區間。所以，你問的這個問題還是要用有限元軟體分析一下。nastran模擬這個問題不是很難。有時間我來補上應力圖。
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