數學系哪門課最難學？

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很抱歉這個問題比較主觀，但我想大樣本的主觀數據可以在一定程度上反應客觀事實。

問這個問題，需要先證明數學課程的難度是良序的

既然討論的是數學，那麼首先應該保證這個問題是「良定」的。

碩博士階段沒啥好討論的，雖然同是數學，但到了比較專業的程度，那就都是隔行如隔山了，在「難度」方面無可比性。

說說本科階段吧。

我們把討論範圍限定在專業核心課，選修課什麼的內容、深度隨意性大，沒法說。事實上，即算是數學系的專業核心課，國內的各校之間內容差別也很大。僅以泛函分析為例：據我所知，很多985院校的數學系，這門課也就講到Banach空間上的有界線性運算元；而我們當時是要講到緊運算元、譜分析、廣義函數論的。其它如拓撲學和微分幾何的差別就更大了。

我不知道該如何來定義「難學」。考試能不能pass或者能不能取得好成績也許是一方面。但是，考試涉及到具體教材的選取（也就是教學內容的深淺）、老師的出題風格（是不是劃定個範圍或者與往年有重複）、試題的難易程度（坑爹的題壓根沒法做）。

所以我覺得是否「難學」的比較合適的定義應該是在學完這門課能否做到以下這些：對這門課有整體的認知、頭腦里能建立清晰的知識輪廓和脈絡，清楚它的研究對象，了解主要的研究方法，能表達清楚其中的重要結論。

下面說說具體的那些本科階段專業核心課。

數分、高代、解幾就不說了，如果你覺得這三門難學，那隻能說數學對你來說難學。複變函數、概率論工具性較強，工科生都能搞定。常微分方程從一階到高階，基本限於線性，核心在於解的存在唯一性定理，定性理論與分支問題稍涉及，不算難學。實變和泛函一脈相承，重點在於測度與函數空間這兩個概念的理解，腦袋需要轉一個筋，應該說有一定難度。抽象代數、微分幾何、拓撲學，真可算是「思維的體操」了，可能會有人覺得很難，但它們勝在有趣，各自的理論體系也有很清晰的脈絡，層層推進，學起來也比較有成就感，難度固然有，但，還好吧。

呃，最後剩下的就是偏微分方程了……先說明下，PDE與數學物理方程不完全是一回事，與數學物理方法就更不一樣了。但即便是數學物理方程，如果把一本標準的本科教材完整學下來，也夠傷神。對於我來說，本科這門課學下來，題固然會做，考試也能應付，但腦袋裡沒法建立起一個關於PDE的知識體系。無論求解還是證明，都顯得龐雜、繁瑣；在廣義函數空間去理解方程的解也感到困難，只是接受，理解無能；除了拋物、橢圓、雙曲，其他的怎麼辦？也覺得說不很清楚。所有這些，直到讀研的時候才有了多一些的體會。

總之，其它的一些課，因為個體偏好，會有人覺得難或覺得容易；但是PDE，就我的了解，數學系學生認為其「難學」應該是最普遍的吧。

我覺得受幾個因素影響，第一是課程大綱安排的時間，第二是課程本身深度，第三是老師水平。

第一是課程大綱安排的時間，有些學校一個線性代數講一整學期，有些學校是半學期，那麼難度自然是半學期那個比較難，就算一學期那個深度深一些，但是半學期這個還是比較難接受的，矩陣這些東西對於高中沒學過沒接觸過的人來說還是很抽象的，咋去理解可對角化，怎麼理解矩陣可以作為線性空間的元素滿足各種運算規律，都是很難的。
比如我們這大學，俄羅斯奇葩大學，高等代數給你講一年，大二就之給半年上完抽象代數+糾錯碼理論+形式語言和自動機+格和布爾代數，每個章節都講的跟俄羅斯的經典教科書一樣多。這樣壓縮學時絕對是恐怖的存在。

第二是課程本身深度，有的學校離散數學抽象代數只講一些簡單的東西，比如群論講點群概念，子群，群同態同構，講幾個典型群，拉格朗日定理，正規子群商群，直和等就完了。我們這是那些都講的基礎上還加了泛代數，同餘關係，泛代數同態，群同態三大定理（一共6個），中國剩餘定理，西路定理，自由群和表示講了一點點。這就深度比之前的大多了。
完了人家一個學期要麼只講抽象代數，要麼就抽象代數淺一點，加點自動機，糾錯碼和格代數。
我們這樣難度自然就變態了

第三是老師水平，國內二本不少老師就是上課念書，大家下面玩，期末考試劃重點給樣卷做了第考試基本過。這樣的老師肯定教不出好學生。
好大學則老師非常厲害，自己對這個學科已經數學的不行了，所以講課遊刃有餘。也能把握難點重點，上課就非常有意思。大家可以看看他們的視頻課一看就知道，比如邱維聲，陳紀修和石明生老師的課。
我們的老師從大一開始每學期都有1-2門課是俄羅斯科學院院士上課，比如數學分析那老頭，上他們課就覺得很有意思，而且雖然難，但是總能聽懂。

這三點綜合影響了這門課程的難度，好老師教肯定比差老師教的難，內容也深入，可是老師能把握難點，突出重點，給大家留的習題恰到好處，那麼就覺得很輕鬆了。這裡是一個死循環。

最好回答問題:最難的一定是泛函分析啊。」泛函分析心犯寒」這句話絕對不是隨便說說而已。

如@garfieldking所說，研究生是隔行如隔山，可比性不強。只說一下我對本科課程的看法（不含「隨機過程」等我沒有發言權的應用方向專業課）：

數學分析：抽象程度，計算量。數分是大一新生談虎色變的一門課，但實際上是一隻紙老虎。它的「難」更多的體現在高中到大學的思維轉換上，只要別產生抵觸情緒，絕大多數學生都能挺過去。

高等代數：抽象程度，計算量。高代是大一新生接觸的第一門抽象課程，但計算量較小，實在不能理解靠死記硬背也能對付過去，所以不像數分那樣「臭名昭著」。

解析幾何：抽象程度，計算量。這是大一最輕鬆的一門課，就是高中平面解析幾何的立體版。

常微分方程：抽象程度，計算量。在殘暴的偏微分方程面前，常微分方程就像一個溫柔的小妹妹。

數論：抽象程度，計算量。由於現代數論跟前沿代數、幾何結合很緊密，本科基本沒法講，能講的都是一些比較簡單的初等內容，所以還算輕鬆。

實變函數：抽象程度，計算量。俗話說「實變函數學十遍」，這應該是低年級本科生最頭疼的一門課。

複變函數：抽象程度，計算量。我記得本科時實變函數老師說，實變的難度是復變的2.5倍。所以，這也是比較溫柔的一門課。

概率論：抽象程度，計算量。在解幾之後，給同學們找自信的任務就交給概率了。

近世代數（抽象代數）：抽象程度，計算量。這門課的具體難度跟講到哪一部分和在哪個年級開課有關。例如給本科高年級學生講群環域都問題不大，但如果給大一學生講群、或者給大三學生講模，那就會暈倒一片了。

泛函分析：抽象程度，計算量。本科的泛函一般被視作實變函數的後繼課程，但抽象程度比實變要溫柔一些。

數理統計：抽象程度，計算量。是本科高年級課程里相對輕鬆的一門課，只是思維方式跟分析、代數、幾何等主流課程不太一樣。

一般拓撲：抽象程度，計算量。是比較抽象的一門課，難度跟近世代數相當。

代數拓撲：抽象程度，計算量。跟一般拓撲相比，雖然都是研究拓撲，但思維方式相差較大，抽象程度也更深。

偏微分方程（數學物理方程）：抽象程度，計算量。我本科時偏微分是一門每年掛科50%的殺手課，原因很簡單，計算量太大。當時期末考試老師「仁慈」地出了一道書上課後習題，但這道題的解題過程要寫滿兩整頁A4作業紙。

微分幾何（局部）：抽象程度，計算量。是解析幾何的後繼課程，計算量有點大，但理解起來不難。

微分幾何（整體）：抽象程度，計算量。在很多學校里這門課叫「微分流形」。由於很少有學校會把代數幾何作為必修課，所以這應該是本科最難的一門課。這也是現代數學的主流熱點——幾何方向的入門課程。

代數幾何：抽象程度，計算量。我本科時這門課被坑爹地作為了大四上的必修課，學期過半之後還堅持聽課的同學只剩個位數。

個人覺得，如果是純粹學數學，非數學專業的接觸的數學都不難，感到難是因為前提基礎不夠，而自己太希望快速學好了，但是數學學習是最忌諱浮躁的，安安靜靜的看數學資料，解題其樂無窮的，遇到不會的題目興奮都來不及，哪有難和痛苦之理啊。。。

基本認同@申力立的說法，將他的數據做成了一個圖表。

其實更多看你擅長的方面和同學是否願意研究討論和教你的老師是不是對你胃口。當然投入的時間也很重要。

很多評論說實變很難。大二下的時候選了實變函數榮譽課程，用每周接近30小時的功夫強突了實變（上課5h，討論班3h，看筆記整理筆記5h，作業每節課布置的加一起10h以上，再刷爆北大實變函數論，大致每周5h，總之每周睜開眼睛就是實變）然後和年級前五的同學幾乎天天研討，老師也非常贊。之後發現其實也還好，期末也順利解決戰鬥。也曾經抱怨過，看到成績也就值了。

並沒有什麼難的事情，認真做就好了。

如何定義一門課的難度？學不同數學課時候數學基礎都不一樣。
如果是考慮「邊際貢獻」的話，個人以為第一次學數學分析的難度最大。
一些課程固然困難，但我覺得以相應的數學基礎學習該門課的難度都不及數學分析。
為什麼說是有相應的數學基礎呢？比如沒學交換代數直接上代數幾何的難度當然比數學分析還要難。

專業英語

實變函數學十遍，泛函分析心犯寒，
隨機過程隨機過，彙編語言不會編。

代數幾何。不同的教授可以講出完全不一樣的內容，讓人覺得這些人真的在講一個數學分支嗎？代數幾何多難？大家可以感受下 http://blog.renren.com/share/394126666/13609454487

感覺代數拓撲同調論流形（整體微分幾何）難度依次減小。。

首先得看這門課課上要求學習多少東西。有一些比較抽象或者計算量很大的科目，如果老師降低了要求，那這個課的難度自然會大大降低。如果不考慮這一點，僅僅從學科內容角度來說。個人感覺總體上代數難於幾何難於分析。
如果不算少不經事翻了翻代數幾何的課本，代數類的課程中，我在本科學過難度最大的是表示論，抽象代數2（講群的作用，模，伽羅華理論，可解群冪零群等等），真是需要好好理解，稍微理解跟不上，就學不明白了。幾何類學的比較少，只學過解析幾何，古典微分幾何以及黎曼幾何，旁聽過幾周幾何分析的課程，畢業論文做的是黎曼幾何的東西，黎曼幾何算是一門很有分量的課，大四下都在和gtm171戰鬥，總的來說計算難一點，理解難度不像代數那麼大，初步學習，計算比較難上手，但是算得多了以後，還是比較熟練。分析類的課程裡面，我對公認的PDE最難持保留意見，泛函分析其實東西很多，以及後續版本泛函分析2.0----運算元代數（感覺這個更像分析，而不是代數），需要很多基礎課程的知識，這個就抽象的多，最起碼是我第一門在考試之前特別沒譜的課。其他門類的課程，我學的太少，基本只是學一兩門接觸一下，或者自己看書，就不發言了。
ps：這種問題，搬出來代數幾何這個boss就是耍流氓，別的課都沒法玩了好么。

目前數學系大二，感覺實變
兩年後來改~

我是在師範大學讀的數學專業，其中數學教育是比較簡單的，也是對今後的教育生活有很大影響的。最難的課程在很多其他學科里各有各的看法，但是在數學系，往往意見相對統一：實變函數，泛函分析和拓撲學，抽象代數（近世代數）很多同學也認為比較難。這幾門應該說是數學系在學完數學分析、高等代數的基礎上（基礎課程）的提升，算是高階課程。適不適合讀數學，看你數學分析掌握的如何就略知一二了，如果數學分析的基礎沒有打好，後面的學習無異於痴人說夢。
同意肖文進的看法，數學英語很重要。因為數學上很多名詞的英譯是很詭異的，比如說power是冪的意思。我們的數學英語是留洋的院長親自開的，那門課上的很有意思，在課上分析一些簡單的數學論文，提升數學英語的能力。

我學的少，目前覺得是測度論吧。
學了測度論後發現我用數學構建的世界觀崩塌了。但是據說測度論只是實變函數的一小部分，我就覺得我弱爆了
上個圖

本科認為是抽象代數和實變函數比較難吧，不同的兩種抽象的課程

我覺得問題應該改為數學哪門課最簡單。

若是本科，那就實變函數與泛函分析吧。但是，實變函數讓我感受到了一種美......我倒是覺得數理統計挺煩人的。另外，有學過最優控制，應該是唯一沒怎麼學懂的，略知皮毛。

僅根據個人感覺來講。
感覺分析類的課程如果上課跟著老師走還是可以聽得明白的，雖然比較艱深，但是好歹反直覺的東西不多。本課最難得應該算實變和泛函了，但我覺得學起來還是挺有意思的，可能是因為老師講的比較好。
我覺得最噁心最難學的抽象代數和微分幾何。抽代比較顛覆對於代數的認識，聽起來雲里霧裡的；微分幾何是因為計算和證明太蛋疼，而且讓我失去了對幾何的興趣。代數裡面沒有數，幾何裡面沒有圖，一對奇葩。
微分流形也很煩，原因和微分幾何差不多。