如何構建一個表面積無限而體積有限的模型？

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樓上的分形圖形無疑是正確答案之一。我這裡列舉的是一個其他形式的。
Gabriel"s Horn是y=1/x在[1,+∞)上的圖象沿x軸旋轉一周所產生的的旋轉體。

使用高數中常見的旋轉體體積與面積公式，可以得到：

$lim_{a ightarrow infty }{V} =pi$ $lim_{a ightarrow infty }{A} =infty$

so~~~~~~面積無限，體積有限。
這個圖形經常被看做是一個悖論，從內部灌滿只需要有限的油漆，而在外表面刷一層無論多薄的油漆層都需要無限多的油漆才能完成。

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其實現在出現的兩種思路一種是有限區域，無限細節。分形是良好的例子。不過只是特例。 @mathiq galory 的答案說的很好，非絕對連續的連續函數就能勝任，不一定要分形（但是分形好描述啊~~~~不是學數學的誰知道絕對連續啊。。。）
另一種是無限區域利用面積和體積不同的收斂性~~~~~就像我這個答案啦~~~~~這種例子好舉而且也很多，不過加百利號角比較有名，就直接拿上來啊~~~~~~~~~~~~

小數維自相似結構可以實現
將一個立方體等分成27份小立方體，移去每一面中心的小立方體和最中心的小立方體。
將餘下的每一份小立方體重複以上操作，經過無限次可以得到一個介於2D與3D之間的物體，具有無限的表面積。

用不著這麼些高端的知識吧。二維正態分布函數與x-y平面所形成的形狀，體積有限但此形狀無界，這算么？當然，還可以更一般的……。[0，1]上的正的非絕對連續的連續函數，與0-1區間所圍的面積有限，而且此形狀有界，但周長無限。換成表面積和體積的話，直接推廣到二維。

試構想一個柱體。柱體的高設為單位長度1，柱體的底面由如下步驟得來：
先畫一個正三角形。在三角形的三邊各取出三等分點，以三等分點間的線段作為第三個正三角形的一條邊。如此重複下去：

這樣，柱體的底面即為一個面積有限、周長無限的封閉圖形。因此，該柱體的體積有限，表面積無限。

事實上，這樣的曲線稱為Koch Curve。Koch Curve是一個維度介於2維與3維之間的圖形，它的維度為 $log_{3}4$
這種連續而無處可微的曲線，面積為 $frac{2sqrt{3}s^2 }{5}$ ，其中s是第一個正三角形的邊長。

參考：
[1] 分形（Fractal Geometry）
[2] 豪斯多夫維數（Hausdorff-Besicovitch Dimension）
[3] 自相似（Self-similarity）
[4] 科赫曲線（Koch Curve）

從卅喵那裡偷來的圖。
原出處：隨手用Mathematica畫的幾個圖

補充一下。謝爾賓斯基還發明了謝爾賓斯基三角形及其三維形式。

取一個實心的三角形。（多數使用等邊三角形）

沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形。

去掉中間的那一個小三角形。

對其餘三個小三角形重複1。

——謝爾賓斯基三角形wiki

同理，

取一個實心的四面體。（多數使用正四面體）
沿四邊中點的連線，將它分成四個小四面體。
去掉中間的那一個小四面體。
對其餘三個小四面體重複1。

就是我們可愛的謝爾賓斯基四面體啦~~
分別是Wikipedia的1張Sierpinski triangle以及2張Sierpinski tetrahedron by Wahtah on Shapeways以及果殼的1張3D印表機：快速成型技術觀光！

在二維中也有類似的，Koch snowflake的面積是有限的，卻有無窮大的周長。

設想一個邊長為1的等邊三角形，取每邊中間的三分之一，接上去一個形狀完全相似的但邊長為其三分之一的三角形，結果是一個六角形。現在取六角形的每個邊做同樣的變換，即在中間三分之一接上更小的三角形，以此重複，直至無窮。

——科克曲線_百度百科
我在腦海中想像出這個分形也可以搞個立體的，搜索了下發現早就有人做出來了。
Fun with Koch fractals.的

Fun with Koch fractals.

另外，托里拆利小號的原型——反比例函數y＝1/x（x＞＝1）與x=1和y的正半軸圍成的圖形面積是有限的，長度卻是無限的。

從維度來說，體積的維度比面積高；或者面積的維度比周長高，因此找到一個高維度有限，低維度無限的東西，只需要往無窮大積分即可：

$int_{a}^{ infty } frac{1}{x} dx$ 發散

$int_{a}^{infty} frac{1}{x^2} dx$ 收斂

要找到一個體積無限但是面積有限的東西，似乎更難吧。當然只需要往0積分即可。

這個問題就是數學概念的區別，體積是三維概念，面積是二維概念，延伸一下，線條就是一維概念，這三者本來就是無窮大數量級區別，即：無數線條並在一起組成了一個面，無數個面疊在一起組成了一個體塊。
因此，想要得到一個體積有限而面積無窮大的模型，只要反推就OK啦！
舉個最簡單的栗子：

這就是體積有限而表面積無限。。。。同理，可推「面積有限而周長無限的圖形」。

把台灣島的版圖沿垂直方向拉伸5厘米獲得一個實體，由於台灣島面積有限而海岸線的長度無限，所以得到滿足條件的模型。

有無數個刺的海膽！

把1x1x(1/1^3),1x2x(1/2^3),1x3x(1/3^3),1x4x(1/4^3),...的長方體連起來.

一個收斂的函數旋轉就行

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好久沒上知乎了，沒來得及看回復。

首先，當初這寫下這個答案也是憑感覺寫下的，但仔細分析一下發現其實是錯的。
其實，f(x)=1/x^2就已經不滿足。因為函數收斂，繞x軸旋轉體積積分和表面積積分都收斂。

再回到原問題，我們只要構建一個y=f(x)，使得y發散，但是y平方收斂，就能達到要求。由於手機不好打公式，就省略了。過程為列出體積與表面積的積分式，再對錶面積積分中含y"的因子進行泰勒展開就可以。
具體函數比如第一個回答中的y=1/x

本人是大一的，有錯誤還請大家請指正。之前答案錯誤給大家造成誤導很抱歉。

簡單的圓柱體就可以啊，底面半徑r, 高為1/(r^2), r趨於0時，體積始終為pi，面積趨於無窮大

活性炭原理

無盡之刃

想像一下一個這種東西，一個正四面體，以每一個面的三條邊的中點為底又產生一個正四面體，在新產生的四面體按照上面的方式又產生一個新的四面體，依次循環遞歸，到最後產生一個分形結構，這個結構應該是體積有限，面積無限，這個就類似於怎麼測量英國海岸線的長度，當改變不同的尺度測量的時候的到的值不一樣，當精度無窮小時，海岸線無限長，但是面積一定，三維情況類比

分形幾何，任何分數維度的都符合吧？例如2.5維的。。

提供一個各降一維度的例子←_←
麥克斯韋速率分布概率密度f(v)，其滿足歸一化條件∫ f(v)*dv=1，v取值範圍為0~＋∞，為廣義積分收斂。一維的速率取值無窮，二維的面積(概率)大小有限(歸一)。

弱弱的問一句……一個二維的無限大的平面算不算 ……

"加百列的號角"

分形

你聽說過雪花嗎？雪花就是一種表面積無限而體積有限的模型