眾所周知e和圓周率pi是數學裡最重要的兩個數，同時也都是無理數和超越數，那麼它們是否存在某種聯繫？

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例如它們的和還是無理數和超越數嗎？

謝邀，不知道你說的「聯繫」是指什麼。不過，這兩個數的搞基關係數蠻大，比較重要的，比如

歐拉公式： $e^{ipi}+1=0$ ,

正態分布： $int_{mathbb{R}}frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-frac{t^2}{2}}dt=1$

傅立葉分析 $frac{1}{ 2pi }int_{mathbb{R}}e^{i(x-y) t }dt=delta_{x=y}$

不怎麼重要的，比如Stirling公式 $n!simsqrt{2pi n}left(frac {n}{e} ight)^n$ ，還有一堆奇奇怪怪的等式。我就不去列了，反正很多就是了。

至於回到你開頭的那個問題， $pi+e$ 是不是無理數還是一個未解決的問題，類似的還有 $pi-e$ , $pi e$ , $frac{pi}{e}$ 這幾個都不能被證明是無理數，有理數，代數數或者超越數。雖然難以置信，不過好像是這樣的：Transcendental number。對於這個問題的研究很早就停滯了。有興趣的同學可以去試試看。對了， $pi+e^{pi}$ 和 $pi e^{pi}$ 都被證明是超越數了。

哦，還有，可以證明 $pi+e$ 和 $pi e$ 至少有一個是無理數，而且思路出奇的簡單: Proof that at most one of $epi$ and $e+pi$ can be rational

最簡單的。

Euler恆等式： $e^{pi i}+1=0$

但是這個是複數層面的聯繫，欠缺直觀。

Stirling近似公式： $n! sim sqrt{2pi n}left(frac{n}{e} ight)^n$

但是並沒有通過π得到e，或者通過e得到π。

Gauss積分： $int_{-infty}^{+infty}e^{-x^2}dx=sqrt{pi}$

這個積分經過e的積分，得到了π的平方根，但是也是經過了求定積分這個運算。

我們也可以試著Taylor展開 $anh(x)=frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ ，那麼得到的圖象會奇怪地在 $x in left[-frac{pi}{2},frac{pi}{2} ight]$ 這個範圍收斂。

如果要同時滿足以下要求：

表達式不能包含i這個數；
需要通過π得到e或者通過e得到π；
不能經過求定積分的運算；
不能涉及泰勒公式的收斂半徑。

那麼雙曲三角函數的無窮乘積展開式可以聯繫上：

$sinh(x)=frac{e^x-e^{-x}}{2}=xprod_{n=1}^{infty}left(1+frac{x^2}{n^2pi^2} ight)$

證明：

$frac{sin(x)}{x}$ 的根集為 ${x|x^2=n^2pi^2,nin N+}$

而且 $lim_{x o 0}frac{sin(x)}{x}=1$ ，所以可以把 $frac{sin(x)}{x}$ 拆成無窮乘積：

$frac{sin(x)}{x}=left(1+frac{x}{pi} ight)left(1-frac{x}{pi} ight)left(1+frac{x}{2pi} ight)left(1-frac{x}{2pi} ight)cdots$

$=left(1-frac{x^2}{pi^2} ight)left(1-frac{x^2}{4pi^2} ight)left(1-frac{x^2}{9pi^2} ight)cdots=prod_{n=1}^{infty}left(1-frac{x^2}{n^2pi^2} ight)$

即：

$sin(x)=xprod_{n=1}^{infty}left(1-frac{x^2}{n^2pi^2} ight)$

兩邊把x替換為ix，再除以i，就可以得到：

$sinh(x)=frac{e^x-e^{-x}}{2}=xprod_{n=1}^{infty}left(1+frac{x^2}{n^2pi^2} ight)$

雖然證明中經過了複數運算，但是最後得到的結果卻是不含i的實數表達式。

而且結果是成立的。

同理，我們有：

$cosh(x)=frac{e^x+e^{-x}}{2}=prod_{n=1}^{infty}left(1+frac{4x^2}{(2n-1)^2pi^2} ight)$

定義 $exp(x)=sinh(x)+cosh(x)$

那麼：

$exp(x)=xprod_{n=1}^{infty}left(1+frac{x^2}{n^2pi^2} ight)+prod_{n=1}^{infty}left(1+frac{4x^2}{(2n-1)^2pi^2} ight)$

假如代入x=π，

$exp(pi)=piprod_{n=1}^{infty}left(1+frac{1}{n^2} ight)+prod_{n=1}^{infty}left(1+frac{4}{(2n-1)^2} ight)$

如果把sinh的表達式取對數再求導，會得到：

$coth(x)=frac{1}{x}+sum_{n=1}^{infty}frac{2x}{x^2+n^2pi^2}$

同樣代入x=π有：

$sum_{n=1}^{+infty}frac{1}{n^2+1}=sum_{n=-infty}^{-1}frac{1}{n^2+1}=frac{1}{2}(picoth(pi)-1)$

同時有

$sum_{n=0}^{+infty}frac{1}{n^2+1}=frac{1}{2}(picoth(pi)+1)$

綜合可得：

$sum_{-infty}^{+infty}frac{1}{n^2+1}=picoth(pi)$

假設求導後我們不令x=π，為kπ，有

$coth(kpi)=frac{1}{kpi}+sum_{n=1}^{infty}frac{2kpi}{k^2pi^2+n^2pi^2}$

$coth(kpi)=frac{1}{kpi}+frac{2k}{pi}sum_{n=1}^{infty}frac{1}{k^2+n^2}$

$coth(kpi)-frac{1}{kpi}=frac{2k}{pi}sum_{n=1}^{infty}frac{1}{k^2+n^2}$

$kpicoth(kpi)-1=2k^2sum_{n=1}^{infty}frac{1}{k^2+n^2}$

$frac{kpicoth(kpi)-1}{2k^2}=sum_{n=1}^{infty}frac{1}{k^2+n^2}$

這樣我們可以推出所有 $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2+a^2}$ 甚至 $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{a(n-h)^2+k}(ak>0)$ 與 $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{an^2+bn+c}(b^2-4ac<0)$ 的求和公式。

同時，雙曲餘切除了有這個無窮級數的表達式，還有無窮乘積的表達式，只要兩個無窮乘積的表達式相除就可以了。

謝贊。如果實在太長，我要不要轉移到一篇文章裡面呢？

因為三角函數跟指數函數實際上是一個函數呀

更新：
講一下自己的看法，本人只是愛好數學，非數學專業，也沒學過什麼高深的數學知識，如有謬誤懇請專業人士斧正。
我猜測答主認為π和е是最重要的兩個數，是認為這兩個數代表了數學史上一次最偉大的進程，即有限數學向無限數學的飛躍，是從古典數學邁向現代數學的橋樑。
《中庸》：中也者，天下之大本也；和也者，天下之達道也。個人認為，其中0，1兩個數字，就代表這個體系的大本，而π，е兩個數字，就代表著這個體系的達道。
而歐拉公式的完美，就在於把這幾個數字用一個最簡潔的式子（還有一個虛數單位i）聯繫了起來。
題主沒有意識到0，1的重要性只不過是因為0，1在這個體系里就像生活中吃飯睡覺那樣稀鬆平常，只需要對題主講出來這兩個數的重要性就可以了，何必挑這個刺硬抬這個杠？
數學的枯燥在於現代數學教育的簡捷與省略，隨便拿過一本差不多的數學教程，上面幾乎都是密密麻麻的公式和習題，很少有為什麼需要這個公式？為什麼要出這個題？能否進一步的擴展這些公式與習題？使得數學變成了一門算來算去的學問，我們現在所缺少的，就是題主這樣的問題，以及高票答主這樣詳實的匯總與解答。
高票答主列舉的幾個例子，相信基本大家都是學過的，但像我除了將歐拉公式與這兩個超越數聯繫在一起，其他的基本就直接給忽略掉了。我相信很多人和我有一樣的感覺。

(?? . ??)(?? . ??)(?? . ??)(?? . ??)分割線(?? . ??)(?? . ??)(?? . ??)(?? . ??)

看到有人就喜歡抬杠。
有人說吃飯拉屎是人類最重要的事情，然後就有人說，為什麼不是喝水和呼吸是人類最重要的事情？

樓上有提到歐拉公式和正態分布公式，我也來提一個公式，是由印度天才數學家拉馬努金髮現的。不僅將e和π聯繫到了一起，還把黃金分割數聯繫進去了。

有一個數學公式是這樣的：Euler"s formula

$e^{ipi}+1=0$

學的時候就有人在群里說這是足以讓數學家感到高潮的公式了，它把 e pi 1 i 和 0 都放在了一起。

能不用哲學來回答數學問題么？覺得就是牽強的不行，中國古人真的那時候知道這些數學？

神奇的歐拉公式把它們以及虛數單位聯繫在一起。它們的和差積商是否為超越數，從直覺看，應該是，但是很難證明。

參考公式
e^(iπ)+1＝0

有超級多公式要同時用到二者。
比如涉及e的函數的傅立葉級數，就有可能有派。

看到這個問題，我深深地感受到知乎受眾現在是有多低齡化了。