石頭剪刀布，反悔繼而提升遊戲次數後獲勝的概率?

12-15

情景: 今天早飯時間和女友在一件小事情上產生分歧,於是覺得用石頭剪刀布來決定, 一次定勝負. 第一次的結果是我贏了;女友卻反悔要求遊戲改成3局2勝,我覺得沒問題,就又比了兩次, 她贏第二局,我贏第三局, 我2:1; 女友卻再次反悔要求遊戲改成5局3勝,我覺得沒問題, 最終我還是3:1贏了. 事後我在想, 隨著對方輸掉當前遊戲要求反悔的次數的遞增, 對方獲勝的概率會越來越小, 因為我前面的遊戲中積累了更多的勝場, 不過對方還是有機會翻盤的.
概率問題:
1, A,B兩人遊戲, 假設B方有最多20次反悔要求提升遊戲次數的機會, 求B方能最終獲勝的概率? (包括B第一局就贏,或是用完第20次機會才贏)
2, A,B兩人遊戲, 假設B方有最多n次反悔要求提升遊戲次數的機會, 求B方能最終獲勝的概率P(n)? (包括B方第一局就贏,或是用完第n次機會才贏)

用一系列左右括弧來記錄每局的輸贏，你贏用左括弧表示，女友贏用右括弧表示。
例如你描述的情景，記作「()((」——你先贏一局，女友扳平，你又贏兩局。

如果女友直接贏，那麼比賽記錄只能是「)」。
如果女友耍一次賴後贏，那麼比賽記錄只能是「())」。
如果女友耍兩次賴後贏，那麼比賽記錄只能是「()())」或「(()))」。
推廣一下，如果女友耍k次賴後贏，那麼比賽記錄是一個長度為2k+1的括弧串，最後一個括弧一定是右括弧，前面2k個括弧必須能配成可嵌套的k對（即任一個前綴中右括弧都不比左括弧多）。

k對括弧嵌套組成的括弧串的數目是Catalan number：
$C_k=frac{(2k)!}{k!(k+1)!}$
如果允許女友耍n次賴，則她贏的總概率是：
$P(n) = sum_{k=0}^n frac{C_k}{2^{2k+1}} = sum_{k=0}^n frac{(2k)!}{2^{2k+1}k!(k+1)!}$
評論中 @Richard Xu 把這個求和算出來了，結果是：
$P(n)=1-frac{Gamma(n+1.5)}{sqrt{pi}Gamma(n+2)}$ ，
其中 $Gamma$ 是Gamma function。

P(n)的圖象如下：

前幾個值如下：
P(0) = 0.5
P(1) = 0.625
P(2) = 0.6875
P(3) = 0.7266
P(4) = 0.7539
女友耍7次賴，勝率可以達到0.8（P(7) = 0.8036）；
女友耍31次賴，勝率可以達到0.9（P(31) = 0.9007）；
女友耍127次賴，勝率可以達到0.95（P(127) = 0.9502）。

@王贇 Maigo的回答已經很完整了，不過我們再來考慮這種情況：題主與女朋友相愛之深，使得題主有一定概率心靈感應到女朋友會出什麼，每次獲勝的概率為 $p>frac{1}{2}$
題主女朋友耍賴k次，也就是題主已經贏了k次後，題主輸的概率：
$Pleft( k ight) =C_{k} p^{k} left( 1-p ight) ^{k+1}$
catalan數在前面的回答已經解釋清楚了，後面乘的因子表示題主贏k次輸k+1次。
如果女朋友允許耍賴無限次，題主輸的總概率
$sum_{k=0}^{infty }{Pleft( k ight) } =sum_{k=0}^{infty }{frac{left( 2k ight) ! }{k!left( k+1 ight) !} p^{k} left( 1-p ight) ^{k+1} }$
這個級數我不會算，只好上wolfram了。。
infinite series

人工化簡一下，當p在0到1/2之間時是1，當p在1/2到1之間時是 $frac{1}{p} -1$ 。
也就是說題主有 $2-frac{1}{p}$ 的概率和女朋友生生世世纏綿在石頭剪刀布的遊戲中而永遠不輸。

你女友從三局兩勝到五局三勝一直在給你機會你怎麼就是不懂！

只有兩種可能的結局，你贏或者她贏，然後只要她一直要求加賽，你就不可能贏，所以她一定贏。。

如果不反悔，你已經贏了。

你還好意思贏你女友？