數學系學生的你，有哪些課程覺得自己沒學明白？

12-15

其實最窩心的事情是，你好像都學明白了，但是學習前沿課題或者進行研究的的時候你卻發現你並不熟練，因為你還是不明白。
【更新】
可能需要解釋幾句，這不是負能量，只是指出實際情況而已。
舉個例子。
標準隱函數定理學過數學分析的都會覺得很熟悉。看上去它在描述的事情很簡單，不過就是可逆的一階微分導致局部微分同胚。可是這個定理的變形直到八、九十年代還能夠帶來許多多少有點意想不到的結果，例如緊Riemann流形的等距嵌入問題，之前藉助的工具是Nash-Moser隱函數定理（繁難），現在發現此問題有使用普通隱函數定理的「初等」解答（當然也稱得上繁難）。按說這不過是變形而已，那為什麼我們根本想不到還可以這麼做？因為我們自以為理解了，其實沒有。我們可能背熟了證明，幾個推論的證明和推論的推論也背得爛熟，可是碰上了問題的時候根本就不會想到可以使用這些工具。這就是沒有真正理解的體現。問題不是習題，將問題本身表述清楚就是需要費腦子的，而看透背後的實質則需要更深的功力。假如說這是我們自己發展起來的工具，我們理解起來就會容易一些，因為它不是完全按著邏輯推出的。邏輯順序和實際發展順序一般都是反過來的。
當然，我想對於我這種初學者，背熟證明是理解的第零步。第一步是能夠完整地複述並且獨立地補全所有細節。

啊？有學明白的嗎？至少我個人感覺沒有學明白的。

晚間修改。
首先對評論區一群人表示非常憤怒！沒學明白跟清華背景有什麼關係！尤其是一些認識的人就更不要裝了。
請相信我，我真的不是來騙贊的，只是吐個槽而已……
數學分析，很多很深刻的定理只是知道是什麼，然後在一些比較顯然的場合湊合著用罷了，證明什麼的並不清楚。Fourier分析沒有系統學過（雖然這個跟老師有點關係）
線性代數，前面向量空間什麼的還好，後面Jordan form也還行，對根子空間就無感了……再往後酉相似什麼的也不能說學明白了……
ODE，作為本科階段得分最高的課程之一，現在基本都還給老師了，尤其是什麼Sturm比較定理之類的。
實分析……唉不說了都是淚
複分析，關於幾何的東西，比如Schwartz對稱開拓原理，理解的都不是太好。
點集拓撲，對商空間不是很有體會，覆疊空間又是什麼鬼？
泛函分析，也是暈乎乎學了一堆定理目前還沒看到背景用途什麼的（學完PDE應該會好很多）
微分幾何與微分流形，讓我想想……我學了什麼？除了倒騰一堆腳標就沒啥了。
抽象代數，群論環論還湊合，Galois理論、模論，交換代數什麼的就不熟了。
代數數論？可以視為沒學過。
代數拓撲，咦同調群怎麼算來著？

呃……
還是不要出來丟人了吧。
P.S.像 @zero 或者 @Karoo Yang 這樣的大神也許更有資格代表敝校。

代數學1,2,3,4

我決定仿一下 @張雨萌的答案。
——————————————————
各種計算數學的課，包括數值代數、數值分析、漸進分析啥的。

本科基礎數學+概率論方向，毫無計算背景。由於申請時點錯技能點來到了應用數學系，所以只好上好幾門計算數學的課。課程本身講了很多科學計算的東西，但作業和考試風格偏向線性代數/ODE，或者乾脆沒考試。於是被我用本科的底子混過去了，一不小心還混了三個3.9+，但背後的數值理論至今沒有搞明白。

矇混過關的結果就是，博一學的東西在考過qualify之後全忘了。以後萬一被抓來當這幾門課的TA，還要現補。
——————————————————
說句題外話，我學的最明白的課是應用隨機過程，就是那個「隨機過程隨機過」。當年著名的某大虐老師說：我們這個課只看期中期末成績，兩次加起來過了60我就算你過。然後考完期中我就已經完成了及格大業。

其實我數分高代都沒學明白呢～-_-#

理論統計B（我們系PhD必修課）

本科基礎數學+概率論方向，毫無統計背景。由於申請時點錯技能點來到了統計系，所以只好上兩門統計課。課程本身講了很多高維統計的內容，但作業和考試風格偏向證明引理或者構造簡單推論/例子。於是被我當做簡單的概率+不等式技巧題，一不小心還混了一個A+，但背後的統計理論至今沒有搞明白。

矇混過關的結果就是，這學期被系裡小米抓壯丁TA了這門課，為了office hour重新預習中T_T

思修史綱馬哲毛概
光學熱學
普物實驗、普物實驗、普物實驗（糟心的事情要說三遍）
--------------------------------------------------------------------------
至於專業課，學明白實在是太高的評價，以我淺薄的學識完全不敢說學明白了哪門課程。頂多對某些課程的某些章節有鄙淺的理解，偶爾還有會「原來如此」的感覺。但這仍然離學明白差的很遠。

學Hopkins-Miller theorem的時候，我會覺得我交換代數學得太差所以很難理解裡面的代數幾何的6思想。

學Equivariant homotopy的時候，覺得自己沒學過表示論和群的上同調簡直是太浪費時間。

因為沒學過數論（真的）到現在不敢碰TMF。

實變和泛函學得都挺差的，還好現在用不到。

代數幾何……每次翻開Hartshorne看了幾節就看不下去了……

拿著考試卷，看著做對的地方，會自言自語到底是怎麼發生的。

代數拓撲

給你們展示一個學渣學習實變函數的視角。
場景一：
（剛開始學，最簡單的集合運算）
老師:實（shi）變（bian）函數要學十遍。
我:(⊙o⊙)哦。
講課內容:

我:咦，一個交或者並的符號我懂，兩個連起來是什麼意思⊙﹏⊙
老師:%@%#*!*@"#"@"#r*w*(")
（過了很久）
我:好像懂了！好噠！
（下課鈴響）
老師:今天作業

我:怎！么！就！變！成！三！個！了！我！特！么！完！全！理！解！不！來！
這不就是傳說中以授人以魚，考人以魛魢魨魷?魴鮋鮊魺鮃鮁鯰鮍鮓鮒鮐鱸鮑鱟鮺鮜鱠鰂鮳鮦鯗鮫鮚鱭鮮鱘鮪鮞鮭鯀鯒鮶鯽鯇鰹鯊鱺鰱鯉鯁鰣鰷鯴鯕鰺鯝鯰鯧鯪鯖鯢鯤鯫鯡鯔。。。

場景二:
（一段學習之後）
老師：來，你講講實變函數的lebesgue積分和你們大一數分學的黎曼積分有什麼區別。
同學A:我覺得，嗯，lebe...積分難一些。
。（大家努力憋著不笑）
。（大家努力憋著不笑）
。（大家努力憋著不笑）
。（大家努力憋著不笑）
。（大家努力憋著不笑）
老師：我真恨不得從窗戶跳下去...

場景三：
（最後一節課）
老師：黑板上這幾道題，你們做一下。
大家：。。。。（除了學霸，大家紛紛低頭）
老師：不會做？！這都不會？你們給我強！行！做出來！！

場景四：
老師：我強調一下啊，不能過早交卷，要不然會影響別人。
學生A:不能過，早交卷！
學生B:不能過，早交卷！
學生C:不能過，早交卷！
。
。
。

越往後，越覺得沒有一科學明白的……

代數拓撲。一份逆天的講義，一個逆天的老師，一個爆炸的我

真心沒學懂，始終處於一種模稜兩可的狀態中

我有一個很NB的師兄說過一句話。實分析和泛函分析這兩門課，不上個5遍基本上不敢說自己入門了。（這裡對應Rudin的兩本書）

可惜我只上過兩遍。。。

太多了……其實最主要的是你以為當時明白了，等用的時候卻發現根本不是那麼回事，教材講的東西太淺了，再加上自己不經常用，等到用的時候發現自己根本不記得學過了什麼。

一般數學系的複變函數，ODE，PDE都放在大二下到大三上，等研究生做論文的時候，3年過去了，如果你們像我一樣，研究生第一年主要是在寫碼和踩Linux的各種坑（誰用誰知道），那恭喜：同學們，當初複變函數講了啥你們還記得嗎？

我覺得中國的教材有一個不好，講東西不講應用（可能講了這本書就太厚了……），老師上課也不講應用，比如學完數值解不知道這些差分格式有什麼用，為什麼要這麼用,數學實驗也不應該脫離實際——比如用Matlab實現一個FEM我覺得這是很糟糕的設計，比較好的設計是用Matlab實現FEM解決一個實際問題。可是自己當時都光顧著考英語和補覺去了（大霧），看官們引以為戒。

舉幾個例子吧，反正我也是學渣也不怕獻醜：

1.PDE數值解
就記住了幾個差分格式（還特么忘得差不多了），馮諾依曼分析都沒學，Lax-Wendroff格式教材也是一筆帶過，但是沒有教材會告訴你為什麼要單拎出來講這個格式，後來偶然翻了一本講拋物方程的書

In the above example the fully discrete scheme still could be viewed within the MOL framework, only a more refined analysis was needed to obtain the true error behaviour. There are also schemes which cannot be regarded as an ODE method applied to a certain space discretization. A well-known example is the Lax- Wendroff scheme for advection equations

2.ODE
最簡單的例子，為什麼可以用線性方程的解的穩定性來判斷非線性方程的解的穩定性？我也不記得了，動力系統講過——然而我也不記得動力系統講了啥，只記得Smale是個大帥哥（大霧）。

3.複變函數
前幾天看了一個回答f(x)=e^(–1/x2)在x=0Taylor展開不逼近的問題(具體見圖片).？ - Richard Xu 的回答
這玩意兒放本科肯定是記得的，轉念一想學複變函數竟然是三四年前的事情了，時間真是太可怕了。

4.線性代數
這東西能玩出花來……學線性代數的時候應該也順帶學習一下張量分析，本科畢業的時候能通讀Lax那本線性代數基本就妥了。

5.概率和統計
機器學習酷炫不？技法、理論基礎我們本科都學過的啊！現在看個PRML還要想當初這塊講了啥來著……

都看到這了，彩蛋：

昨天嘗試給Ubuntu 16.04裝GNOME3，看到一個教程，結尾：

Now you can play a game of 『spot what』s broken』. Share your findings/experience in the space below

全部……吧。

感覺一直以來在進修的只有【舉一反三學】和【類比推理學】。當然，要配合基礎課程【公式快速記憶方法】以及【典型題全步驟背誦】。另外，建議選修【應用心理學——論出題人的出題心理】，可事半功倍。

分析白痴飄過。不過更慘的是概率論，基本上當實變函數理解的。統計只知道看見什麼條件找書上的哪個分布/檢驗。
其實自己做東西或者念材料需要用的時候，能參考著書、筆記撿起來用上，才是目的。侃大山還是低一個層次的要求。

其實學點東西不是本事，真的學懂才是本事，有的東西你覺得自己學懂了，但真正用的時候卻總是使不上勁說明功夫還不到家，有的理解還不夠深刻

應該問有哪門課是學明白的。。。。

數學太博大精深，越學越難，早早撤了，鼓搗一下統計、機器學習啥的，炒炒期貨，輕鬆賺錢。。。