非歐幾何中，過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓，這怎麼解釋？

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http://baike.baidu.com/link?url=5EUFRObkr4K3Ww83R3-PLkDmUxQGafPArnkbAzVcJEcCZZC6sjRgPEVfrrRpFGLNXJ8y5rh08TBX1bUIKPOOQa
這是百度百科裡的內容，可為什麼不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓呢？

謝邀。
我們慢慢來看。首先題主的問題，「非歐幾何里過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓」這句話，其實有兩種理解方式。下面我們記p為「雙曲幾何的公理」，q為「存在不在同一直線上的三點，過這三點不能做一個圓」，那麼兩種理解方式分別為：

p蘊含q
如果要證明這一點，就要從雙曲幾何的公理出發，找到某不共線的三個點，然後證明不能做一個圓，但這件事情比較麻煩了，我們先不從這個角度理解這句話。在這個回答中，我們來看的是下一個理解方式——
p和q沒有矛盾
所謂沒有矛盾也就是要找一個模型同時滿足p和q，下面將用Poincare圓盤模型解釋這一點。

註：如果從模型的角度來看，理解1相當於是說，「對於任意p的模型q成立」，而2是說「存在p的模型q成立」，區別很明顯吧。

關於Poincare圓盤模型，wiki寫的很一般，我就自己寫了。主要就是列一些結果，如果有問題可以提出，然後我們再寫詳細一點。
Poincare圓盤模型是基於二維歐式空間或者說是復一維空間的開的單位圓盤 $mathbb D$ 構造的，但是度量和通常的度量不一樣，這上面給的是一個共形度量 $ds=frac{2|dz|}{1-|z|^2}$ . 因為是共形度量，所以夾角和歐式空間一樣，但是距離是不一樣的。
要看距離的話，一個很便捷的方式是從上面的等距自同構來看。Poincare圓盤模型上的等距自同構是 $e^{i heta}frac{z-a}{1-ar az}$ （保定向，其中 $ainmathbb D$ ）及其共軛（反定向，可以證明如果 $a e 0$ ，那麼這個其實就是反演http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E6%BC%94）。這一步的證明可以直接計算，或者通過Schwarz不等式。
通過一步簡單的放縮可以證明，經過原點的直徑一定是測地線，也就是Poincare模型下的直線，並且兩點間距離積分一下就可以算出來。通過等距變換，這些直線會被映成垂直於 $partialmathbb D$ 的圓弧，從而這些也是直線，並且距離也可以算出來，如下圖

也就是說，Poincare模型下的直線就是直徑和如上圖所示的圓弧，以下如果沒有特殊說明的話，直線就指的是這種線。

下面說圓，也就是測地圓，即到一個點的距離為定值的曲線。首先看以原點為圓心的真正的圓，根據度量關於方向的對稱性（只跟 $|z|$ 有關，跟輻角無關），因此這種圓就是測地圓。而通過等距自同構，圓還會被映成圓，因此
Poincare模型下的圓就是 $mathbb D$ 內通常意義下的圓，以下如果沒有特殊說明的話，圓就指的是這種圓。
註：圓的圓心未必是通常意義下的圓心

現在我們終於可以討論題主的問題了，其實把事情說清楚之後題主的問題就很容易了。比如說考慮下面這三個點

A,B,C肯定是不共線的，但是過這三點無法做出通常意義下的圓，自然不共圓。

其實就算A,B,C不是在通常意義下的直線上也是可以的，比如下圖

這裡A,B,C也是不共線的，但是過這三點做出的通常意義下的圓跑到外面去了，那麼自然這三點也是不共圓的。

怎麼去看這件事情呢？多說兩句。在通常的平面幾何下我們是怎麼做過ABC的圓的？很簡單，分別做AB,AC的垂直平分線，交點就是圓心。ABC不共線保證了這兩條垂直平分線是有交點的。

但是在雙曲幾何下，如果按照上面的方法是會出問題的。首先給定兩個點，我們要做垂直平分線，也就是到這兩點距離相等的點的軌跡。在雙曲幾何下，我不知道這個軌跡是不是一定是直線，但是對於Poincare模型，這條線一定是直線。我們下面來看這件事情。
首先，對於某些特殊的點，垂直平分線一定是直線，比如

A和B是關於中間的直徑在通常意義下對稱的，容易證明，中間的直線恰好就是A和B的垂直平分線。作用上等距自同構之後，直徑會變成通常意義下垂直於 $partialmathbb D$ 的圓弧，是一條直線，而A和B從關於直徑對稱變成了關於這個通常的圓弧的反演對稱，也就是A和B的像互為反演點。此時，A和B的像的垂直平分線恰好就是這條直線。也就是說，我們在Poincare模型下也可以像平面幾何一樣定義關於直線的對稱，如果直線是歐式直線，那麼對稱就是通常的對稱，如果直線是歐式圓弧，那麼對稱就是反演對稱。對於關於某條直線對稱的點，這兩點的垂直平分線恰好就是這條直線。

一般地，對於任意兩點A,B，我們一定可以可以造一條直線使得A,B關於這條直線對稱，造的方法可以解方程算，也可以這樣：考慮任意一個把A映成B的反定向的等距自同構，這個自同構的不動點集就是那條直線。

因此，給定三點A,B,C，我們可以分別做AB和AC的垂直平分線，這都是直線，但是問題來了，哪怕ABC是不共線的，這兩條直線也未必相交。這也就是雙曲幾何和平面幾何的一個巨大的區別：兩條直線的位置關係除了平行、相交之外，還有不相交！在平面幾何中，兩條直線如果不相交，那必須是平行的，平行相對於相交而言是一個零測的東西，但是在雙曲幾何里不是這樣的，如果把平行定義為相交的極限位置，那麼除去平行和相交，還有相當大的一部分是不相交的！比如下圖

在平面幾何中，紅色的方向表示平行，除去平行之外，黃色的都是相交的。

而在Poincare模型下，紅色依然代表平行，做出來的是兩條虛線，黃色代表相交，除此之外綠色的方向做出來的是不相交的。回到題主的問題，為什麼過三個不共線的點會沒有一個圓呢？很簡單，哪怕ABC是不共線的，這兩條垂直平分線也未必相交，從而圓心找不到，自然也不共圓了。事實上，我們可以下這樣一個顯然的結論：不共線的三點共圓當且僅當那兩條垂直平分線是相交的。

圓不是你想像的那樣...它是到一個點距離相等的點集，而距離又不是你想像的那樣...

是否存在球面上的平行線？
我認為是存在的。因為球面上的大圓小圓都是球面上的直線，所以，球面上的緯線與緯線是平行線；所以，在球面上，若兩直線平行，且被第三條直線所截，則同位角相等；所以，在球面上，三點決定一條直線；所以，平面幾何中的平行線只是球面幾何中的平行線的特例！在球面上第五公設也是成立的。俺說的對不對？

球面上的平行http://tieba.baidu.com/p/1245812043

因為羅氏幾何不是平面幾何，可以是曲面之類的

彈簧