brdf為什麼要定義為一個單位是sr-1的量？

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BRDF已經接觸很久了，有一個大概的理解。但是每次看到它的定義公式，我就不能理解了。BRDF本身的目的是描述表面的多方向反射特性。通常直觀的解釋也是說，它表示了特定反射方向上的反射光強度與入射光的強度的比值。這樣說來好解理。可是一上公式就奇怪了。為什麼是 $frac{L(omega _{o})}{L(omega_{i})cos( heta_{i})domega_{i}}$ ? 分母上的cos項還可以理解，那個 $domega_{i}$ 為什麼要加上呢？直觀的想就是算一下輻射率(L, radiance)的比值不就行了嗎？為什麼要把入射光乘一個角元而變成輻照度(E, irradiance)呢？真是百思不得其解。求高人指點。謝謝

補充一下：對於這個brdf是什麼，還不難理解。這裡的重點是為什麼要這樣定義呢？

補充：又想了一晚上，brdf在應用時就是一個參數，可是這個參數里還有一個微分項 $domega_{i}$ 。這無論如何都是一個奇怪的事。想像一下，真實的brdf數據應該是一個參數表，那微分項只能具體化一個差分項 $Delta omega_{i}$ 。這樣問題就來了，這個 $Delta omega_{i}$ 應該具體取多少呢？難道brdf數據里還要附一個 $Delta omega_{i}$ 具體數值？

謝邀請。

為什麼有 $domega_{i}$ ，最直接的回答就是這是BRDF定義的一部分。BRDF定義是在材質表面某一點上出射輻射度（Radiance）和入射輻照度（Irradiance）的比值。輻照度是每單位面積上的能量，輻射度是每單位面積每單位投影固體角（projected solid angle）上的能量。然後描述某方向上入射的光線的能量單位是Radiance（因為只有Radiance的大小沿著直線方向上不改變）。所以Radiance只有乘以 $domega_{i}$ 角度之後才能變成Irrdiance。

題主似乎在糾結為什麼BRDF要定義成Radiance和Irradiance的比值，而不是直接Radiance和Radiance的比值。答案是和測量有關。Radiance是有方向性的，所以測量Radiance的儀器像個激光筆，照在哪個發光的表面然後就看讀數。

要測量某個表面出射的Radiance， $L(w_{o})$ ，拿一個Radiance detector照著表面看度數就可以。要測量表面某角度的入射Radiance， $L(w_{i})$ 的話，必須保證光源不能太小，要完全把detector的那個cone的solidangle範圍填滿，但也不能太大，這樣的話光源一旦大於detector的固體角，表面本身的radiance就大於測量的。實在懶得畫圖，簡單地說就是測量的過程受到光源形狀的影響。這也是什麼描述表面某一點入射光的物理量是Irradiance。

所以這時候解決的方法就是在表面放一個irradiance meter。Irradiance沒有方向性，測量的時候只要保證光源夠小，就可以準確的測出表面某一點的Irradiance微分， $dE(w_{i})$ 。

所以，BRDF的定義是 $frac{dL(w_{o}) }{dE(w_{i})}$ 。

補充一下 @文刀秋二的回答

來自基於物理著色：BRDF - RGBA - 知乎專欄

至於為什麼BRDF要定義成輻射率和輻照度的比值，而不是直接定義為輻射率和輻射率比值，有兩種解釋。

第一種解釋可以參看brdf為什麼要定義為一個單位是sr-1的量？

我們結合下面輻照度（A）和輻射率（B）測量儀的示意圖來看看。輻照度測量儀（A）接受平面上半球的所有光線，可以測量一個較小面積來自於四面八方的所有光通量，光通量 $Phi$ 除以感測器面積 $A$ 就可以得到輻照度 $E$ 。輻射度測量儀（B）則有一個長筒控制光線只能從一個很小的立體角進入測量儀，光通量 $Phi$ 除以感測器面積 $A$ 和立體角 $omega$ 就可以得到輻射率 $L$ 。

測平面上一點在某一個方向的出射輻射率很簡單，只需要用儀器（B）從該方向對準該點就可以了。而測平面一點入射的輻射率則沒有那麼簡單，必須保證光源正好覆蓋測量儀開口立體角，大了該點會接受到比測量值更多的光照，導致測量值比實際值小，小了則與儀器的設計立體角不一致，可在實際中是基本做不到光源大小正好覆蓋測量儀開口立體角的。而測表面的輻照度則簡單得多，只要保證光源很小，而且沒有來自其他方向的光干擾，這時候測到的輻照度就是平面上來自光源方向的微分輻照度 $dE$ 。

第二種解釋從數學的角度出發，對於現實世界中的非光學平面，一束光線射到表面上後，被表面反射到各個方向，其中一個出射方向的光通量只是整個反射光通量極小的一部分，當出射方向立體角趨於0時， $lim_{omega _{o} ightarrow 0}{frac{dL_{o} }{Li} } = 0$ ，所以在實際計算中使用輻射率和輻射率比值是沒有意義的。而如果分母改成表面上接收到的來自光源方向的微分輻照度，我們知道 $dE = L_i(l) domega _{i} cos heta _{i}$ ，由於給入射輻射率乘了一個趨於零的微分立體角， $dE$ 的值會小很多，比值 $frac{dL_o}{dE}$ 是有意義的，而不是0。

非專業回答：入射的光線，是一條線，一但碰到表面，這條線就變成一個半球形的小燈啦。反過來也是一樣的，一個方向的射出，也是要參考到整個半球面的入射滴。

真正計算的話是要用積分把整個球面所有角度積分起來的。只是經常因為實時渲染只管入射方向以及和視線重疊的那一根特別的射出方向，才會覺得乘一下就好了吧。

那些pi來pi去的東西，只是因為球面積分剛好就是那麼逗逼嘛

bullshit，都在一本正經的胡說八道。看完這個：Directional Reflectance and Emissivity of an Opaque Surface，最初的BRDF定義。