日本首相(內閣總理大臣)的桐紋徽章與豐臣秀吉的五七桐紋之間有淵源關係嗎？

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不講太多廢話，就用最易懂的話來說吧。
1，桐紋本為僅皇室可用的紋章，在後來由於多有下賜給有力武家，故武家權力者中也不乏使用桐紋的，而秀吉的五七桐就是當時天皇下賜的。（而秀吉為信長家臣期多用的五三桐也是由信長受賜後，賜予秀吉的，並且規格上要低於五七桐）
2，日本政府使用桐紋起於明治維新後的明治政府。而明治政府說白點就是朝廷政府，那麼用原本只屬於天皇家的紋章也就不難理解了吧。（當然其中也包含了要與江戶幕府時的葵紋一刀兩斷的含義）
不過桐紋在日本其實一般多與另一個皇室御用紋章菊紋一同出現。

秀吉是什麼身份？一人之下萬人之上。內閣總理什麼身份？也是一人之下萬人之上。所以兩者使用作為天下人標誌的五七桐做紋章，很合適。