讀《哥德爾 艾舍爾 巴赫：集異璧之大成》時要注意些什麼問題？已閱者有哪些經驗可分享？
這裡「問題」的意思就是「如何方便理解閱讀此書」，我能想到的幾個問題有：
- 閱讀此書，閱讀對象要具備什麼樣的知識水平儲備？
- 如何能快速找到自己感興趣的章節來首先閱讀？（還是說這本書渾然一體，只能從頭挨著讀才行？）
可能還有很多問題，請大家補充。
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看到知乎上很多人推崇這本書，於是前幾天就從網上買了一本，收到一看，，頓時有一種欲哭無淚的感覺：TMD，1000多頁呀~~~什麼時候能看完呀；TMD，竟然還有樂譜呀，只在小學上過音樂課的人表示壓力很大呀。
有些書拓展你的視野，有些書給你一個世界。
《GEB》是一本自成體系的書，許多人讀過它之後會獲得某種&
我本科是學通訊和計算機的，遇到《GEB》之前又碰巧讀完《巴赫傳》，裡面的內容恰恰都是我當時非常感興趣的東西，所以一口氣讀完，說不上有什麼先知道再去啃的閱讀經驗，一定要說的話，我建議你先找一些這本書的評論來看看，中文版的譯者前言也很值得一讀。但基本上如果你對邏輯和語言（哲）學沒有興趣，這書的魅力會消失掉九成。
順便說一句，讀書先看頁碼你就輸了。我在我的「我幫你讀」專欄中寫了一篇文章：我幫你讀：「哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成」 - 我幫你讀 - 知乎專欄
我想，對於任何對本書感興趣的人，都有很大的用處。
這裡我把它貼出來，想看排版好的，還請去我的專欄去看。
（本文為筆者原創，非商業用途轉載請在最顯眼處署名作者並給出鏈接，商業用途請聯繫筆者）
晴天霹靂
1930年寒冬，德意志第二帝國，數理大宮殿內。
閃爍著的小瓦數燈泡在桌角處飄忽，數理大帝一世：大衛·希爾伯特 身披著純白色的天鵝絨披風，正坐在大殿正中。如果你用米尺去丈量椅子的四邊中點到大殿四邊的距離的話，你就會發現對邊距離是完全相等的。作為數學帝國的始皇帝，也作為一名超一流的數學家和邏輯學家，他對一個立體空間的正中央有著旁人難以理解的偏執。
不偏執的人，就沒有參與設計和搭建完美數學大廈的資格。希爾伯特一世總是這樣和人說道，他從未將懷疑的眼光投向過他的數學信仰。
數理大宮殿
在那寬大到可以並排躺下四個人的桌上，寥寥無幾地放著一把摺疊尺，兩隻鋼筆，一小打草稿紙，一盞電燈，幾根捆在一起的蠟燭，還有整整二十三顆大小不一的黑色正方體木塊，小如指頭一般，大到頭顱大小，從1到23從左到右標號整齊碼放在他的面前，高低變幻像是一首具象化了的史詩音階。
這二十三顆木塊代表了他在1900年為新世紀提出的23個最重要最困難的數學問題，每一個問題都需要最天才的人在最為靈光閃現的時間用至少數年光景才能解開纏繞，而每一個問題的未解決狀態都讓他如鯁在喉。他的智力為他帶來了想要解決這些問題的強烈願望，也為他帶來了擁有足夠的耐心。他除了喜好巴赫的音樂，年輕的艾舍爾的畫作以外，就唯獨喜歡獨自一人在這二十三個問題面前思考。已然年近六十的他認為自己在這個世界上的使命還遠遠沒有完成。
他扶正了唯一一顆被擺歪了的木塊，然後從右向左一個一個掃視過去，每個木塊無論大小目光都停留一樣的時間，絕不有任何偏向，然而到了最大的那個木塊的時候，他的目光卻停了下來。那是從左數第二個。在一個大大的白色的「2」的背面，寫著那個問題的簡要內容：
證明算術公理系統的無矛盾性。
他摩挲著這塊和他頭顱近乎同等大小的正方體，目光漸漸變得溫柔，連眼角的皺紋都化了開。作為一名數學家，他深知這個證明的重要意義，只要證明了算術公理系統的無矛盾性，邁出這關鍵的第一步，那麼就可以慢慢擴展開所能包容的領域，最後證明我們的世界本身規律的無矛盾性，並可能預言這個世界囊括一切的大一統理論的存在。
畢竟，世界的本質就是數學。
真是完美無缺。
他拒絕將任何未被邏輯嚴謹證明的任何臆想出來的觀點當做真理，哪怕是他自己所深信不疑的也一樣，所以他期待著有人來給出那關鍵的證明，這將是為數學大廈鋪地基的一塊極其有力的方磚。如果沒有它？噢，希爾伯特想，我們還是不要做出如此可怕而又沒有根據的假設了吧。最近在物理學中就出現了些稀奇古怪讓人難以理解的玩意兒，讓那些頭疼的事情只去折磨可憐的理論物理學家們吧。
就在他提起筆想要在木塊空白處加註釋的時候，大門打開了，他的學徒走了進來，平日里溫文爾雅的小夥子，這次目光卻躲躲閃閃的。希爾伯特很不滿地丟下了筆。
「希……希爾伯特陛下，很抱歉在您冥想的時刻打擾您，但是確實有一件事情需要您立刻知曉。我們剛剛收到了一封來自於哥德爾的一封信件……」
「哥什麼？」希爾伯特不耐煩地打岔。
「是哥德爾，大人。庫爾特·哥德爾。」
「完全沒聽說過。這次又是什麼人？又是哪個妄想成名前來投機取巧的小商人？還是上次那種自以為可以用東方的模糊觀點駁倒嚴謹的科學理論的痴人？」哥德爾的手指敲打著木塊，像是在鋼琴上演奏一首單調乏味的單音樂曲。
「都不是，我的陛下。這次……這次這個人，是因為您的23個數學問題而來信的。」
希爾伯特立刻坐直了身子。
「嗯？有趣，是帶來了解決問題了新思路新觀點了嗎？我已經等了很久這類來信了。那些別人想到而我卻疏漏掉的觀點總是像飯後甜蜜的點心一樣讓我激動，快來快來，把那封信拿來，我已經能感覺到思維的火花像跳躍的小鹿一樣互相碰撞了。噢，該死，這根筆又沒水了，不過還好，我還有一根……」希爾伯特拿起了另外一支筆，鋪開了草稿紙，擺開了架勢。只有在這個時候，才能看到不苟言笑的他的眼中閃現出躍躍欲試的年輕光芒。
「呃……很抱歉，陛下，不過這次的來信有些……有些……有些不一樣。」
「嗯？不一樣？」希爾伯特大帝詫異地抬起了頭。「那……難道在那23個問題中有哪個問題被這個好運的哥德爾單獨解決掉了？」
「也不是的……陛下。我已經讀過了那封信，哥德爾……他……他證明了您在第二問題中的設想……是……是……是錯的。」
「咔」的一聲，鋼筆斷裂的清脆聲音在空曠的大殿中迴響。這迴響和它在各個領域的變奏穿透了整整一百年的歲月，使哥德爾當之無愧地成為20世紀最偉大的數理邏輯學家，得以與數學界無冕之王希爾伯特相提並論。
集異璧
——不想當畫家的音樂家不是好數理邏輯學家。
「哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成」這本書的寫作目的是介紹人智能的來源，還有人工智慧的發展和限制，而這其中最核心的概念就是著名的哥德爾第一不完備性定理。三塊大放異彩的寶璧之中，哥德爾處在最重要的主幹位置。在進行循序漸進的講解之前，我們先把這個定理丟出來，讓大家知道我們在朝什麼方向去走：
哥德爾第一不完備性定理：任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明也不能被否定。
嗯，這句話里好像所有字都在小學就認識過了，但是放在一起就是不明白是啥意思。沒關係，我會一個一個搭砌出需要初步理解哥德爾定理的知識，各位看官且豎起耳朵待我慢慢講來。
一、同構和層次同構
理解本書需要的最基礎的一個單元，就是同構。同構的含義是保留信息的變換，也就是說，兩個結構可以相互映射，並且每個結構的每個部分都在另一個結構中有且只有一個相應的部分。說得再明白一些，就是廣義的「翻譯」。
一段中文的話翻譯成其他語言，翻譯前後的內容是同構的，因為可以再翻譯回中文，代表著前後內涵和功能的一致。比如「不要」和「雅蠛蝶」，（╯‵□′）╯︵┴─┴和生氣中的老婆。
同構之雅蠛蝶
我們的聲帶和聲波的震動之間是同構的，因為信息並沒有在這個過程中流失，而只是變成了另外一種一一對應可以恢復的形式。同樣，聲波的震蕩和聽眾的鼓膜震動也同樣是同構的，而鼓膜震動和大腦處理解析聲音以後得到的觀感感受，也就是聽眾聽到的「聲音」，也是同構的。
我們可以理解為，信息在通過聲音傳遞的過程中，被「聲帶震動」這一過程加密成為了另外一種格式，得以在空氣中傳播出去，在接收端這一格式被「鼓膜震動」還原成了能被大腦處理理解的原信息。在大腦和大腦之間，通過一系列的同構，信息得到了傳遞。
再廣而言之，一個現實世界中的蘋果，和我們語言中的「蘋果」二字，在我們而言也是同構的，我們可以使用「蘋果」二字來代替蘋果而不引發任何的歧義，並且任何人也都可以明白「蘋果」的所指。當然這僅限於擁有同等理解力和相同語言能力的人腦之間。
我們再來看看什麼不是同構的，除了很明顯的那些之外（桌子和貓顯然不同構，程序員和男朋友顯然不同構，建築師和度假顯然不同構），當原來的信息沒有被完整保留的時候，很明顯就不再是同構的了。從一個角度來看，一個被帶刺鋼鞭抽過一百下的屁股，很明顯不再保留原來屁股的任何信息（當然屁股的諸人可能也不再是同構的了，畢竟屍體和人絕對不同構……）。
同構之蛋碎一地
計算機科學中，加密解密是保留了原有信息的，我們經常做的文件壓縮和解壓縮過程，前後的數據也是同構的。但是Hash Functions（一種單向的信息處理方式，不可逆），卻是完全不保留原有信息的（事實上是需要故意讓人不可能看不出原來信息），所以不是同構的。
解釋
「不不，親愛的，你一定要聽我解釋。」一位衣冠不整的男子站在門前攔住了正要奪門而出的一位女士，女士冷眼抱胸。
「很好，我給你機會解釋。解釋不清楚的話，我們之間就完了。」女士一挑下巴，聲音冷得像是萬古寒冰。
「是這樣的。你先坐下來聽我說。」男子手忙腳亂地把女士重新領回門裡坐下。「你以為的其實不是真實發生的，你不要以為你以為的就是你以為的……」
女子站了起來。
「好，好，親愛的，先坐下。我就簡單地說吧，你在我們的床上發現了兩條女士內褲，而其中的一條不是你的……」
女子毫無先兆地揮出一巴掌，被男子一手抓住。
「不要生氣，讓我說完，其實床上其實沒有兩條內褲。」
「什麼？」
「你認為床上有兩條內褲，是基於床上有一條內褲，又有一條內褲的事實，但是這並不代表者床上有兩條內褲。」
「你到底想說些什麼？有話快說，再有一句廢話從你嘴裡出來，我立刻就走。」
「你認為1+1=2。這不一定是對的。因為在我們的房間里，1+1等於1。」
「什麼？呵，那你倒是說說，1+1什麼情況下等於1？」
「當然是在我們相愛的時候。」男子用自己強有力的臂膀抱住了女子，不給她說話的機會。「我們兩個人，組成了一個家庭，我的1和你的1完美地融合成了1個1。在我們的房間里，數學大廈也要為我們的愛情傾覆，又何況是一條我給你新買的內褲？」男子說完最後一個字，輕輕咬了女子的左耳。
女子掙扎片刻，大罵幾句，然後痛哭出聲。
翻譯之1+1=1
我們剛才說，兩個結構之間轉換的信息保留，所以說它們同構，其實是不很確切的，或者說是不很清晰的，一個真實的西瓜和紙上的「西瓜」兩個字之間並不存在直接的同構。一個是以水分為主的近似球形，一個是以纖維素為主的紙張上的扁平圖案，二者本來沒有什麼關係。存在直接對應關係的，是真實的西瓜和「西瓜」這兩個字的解釋，即在現實存在的真理和經過解釋的符號（書中稱為系統定理）之間。
1+1到底等於幾，或者等於什麼，是要看如何去解釋1+1的含義。如果按照是純粹數學的解釋的話，那麼1代表單個個體，+代表將連個以上的數合成一個數，1+1=2則映射著現實世界中的一件東西加上另一件東西是兩個東西，這可以通過最簡單最直觀的實驗直接驗證。
那位男士通過對1+1提供另外一種解釋（實驗危險切勿模仿，老婆毆打後果自負），從而將其從純粹數學的角度看待問題，換到了另外一個人們不經常想到的角度，仍然能夠自圓其說地映射到某一部分現實之中。1+1也可以解釋成把兩個1「粘」在一起，也就變成了11。1+1=5有可能也是正確的，只要我們把=理解成為我們平時使用的小於等於號。1+6可能也不等於7，而等於下面這位驢臉人的手勢：
解釋之非常六加一
通過同構和對同構固定的解釋，我們就可以創造出一個能夠與現實世界的很具體的一部分產生映射的同構，並且通過使用這些發明出來的符號之間的推導，來推斷現實世界未知的一些因素。基礎算術就是一個很好的相對簡單的例子，而在書中使用的更複雜的真正實現，是一種叫做TNT的數論系統。這個系統可以根據它本身的規則去有效地從已知公理和推導規則，去推理出系統內新的定理來。
TNT不是炸藥，也不是麻花藤手下的一個無聊的網頁遊戲，而是Typographical Number Theory（印符數論）的縮寫。TNT是作者根據皮諾亞的五條自然數公設和命題邏輯和演算，專門為了講解哥德爾定理而制定出來的。書中給出的哥德爾定理的推理過程是在TNT數論之中的，也就是根據TNT的符號規則來推導出來的。我們這裡對這個相對嚴謹複雜的系統不加著墨，而只集中於背後潛伏著的道理。但是為了給大家有個概念TNT長什麼樣子，下面給出一個很簡單的TNT定理，表達的含義是「對於所有的a，不存在一個b使得a+(b+1) = a-(b+1)，即一個數加減一個非0自然數後結果不相等」。
?a:~?b:(a + Sb) = (a - Sb)
有TNT這樣一個強有力的數論系統當做工具，我們已經可以做到將會用到的有關數的陳述表達出來，並且表達出數字間的推理變化。再因為TNT的本質之一就是可以通過有限的步驟判定出其公理和定理的真實性，所以，哥德爾第一不完備性定理的條件，上面提到的：「包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統」已經構造出來了。但是想要觀察到不完備性，我們還需要從另外一個層次來看待問題。
層次
噢，你穿梭在忽閃忽現的不斷顫抖著的小顆粒之間，在某一時刻，你伸展著自己的感知範圍，感覺自己可以延伸到無窮無盡，在另外一個時刻，你卻又能收緊肢觸，享受著光子在自己身上的反彈跳躍，感覺到自己的真實性狀。你和無可計數的一模一樣的同伴們漫無目的地晃蕩在世間，存在唯一的意義就是「存在」本身。
你漸漸地發現，你和你的所有同伴們的活動範圍都是有限的，像是被關在了一個無形的監牢之內，像是矩陣一樣，每個存在都有各自的固定的區域，儘管互相傾慕或厭惡，卻也仍舊不能接近或離開。你們好像生來就是守望者，如同漫天晨星一般有著某種必然的使命和目的，無論開心或悲傷，都不能掙脫開這個命運。
鏡頭再次拉遠，你和你所在的群體已經漸漸消失不見，浮現出來的，是一整塊無邊無際的牆體，而你只不過是這面牆的一個微不足道的組成磚上的顆粒而已——多你不多，少你不少。真是難以想像，究竟是什麼樣的存在，亦或是經過了什麼樣的變化，才能夠雕刻出線條如此完美的巨大牆壁來。自己像是一隻螞蟻站在巴別塔之前，看久了，整顆心都會顫抖起來。
再往遠處，就能發現原來牆體也並不是沒有邊界的，牆體的四邊終於慢慢浮現了出來，就好像是大地的盡頭一樣突然折下，在東方的方向不斷地有著強光在閃爍，那是世界的不眠之光，象徵著正在進行著的偉大任務。整個大地好像在散發著一種充滿能量的朦朧光線，那光是如此地讓人感到溫暖，安逸和祥和。
再往後退，你發現大地也不僅僅是一塊，而是很多塊很整齊地並排碼放在了一起，除了原本那塊大地的朦朧能量之光外，還有另外兩種不同的光芒，一種是清澈自由之光，一種是活力希望之光。這三種光芒的大陸不斷地交替，像是代表著形成世界的三條最根本規則一樣交相輝映，創造出各種各樣的新的光線來。偶爾也有一兩個大陸並不在發光，你認為那些大陸可能是被上帝所遺棄了吧。
再往後，承載著這上百萬個大地的盛器也出現了它的四方邊界，那變化像是從二維世界而來到了三維，和原來的變化形式截然不同。你開始懷疑，這樣的俄羅斯套娃似的發現究竟有沒有盡頭，可能總能向外「跳出系統」，唯一不變的不過是一直「超越和包容」的這個勢。
讀者們，到這裡，就是你們面前所見的了。
層次之無限迭代
我們經常可能在街道上見到一個小型的龍捲，卷著柳絮或者葉子肆意橫行。我們如何能夠知道這是不是更大 的一個天氣現象的一部分呢？比如地區雷雨。我們如何能夠知道這雷雨是不是更大的一個天氣現象的一部分呢？比如一個影響十數個國家數千公里沿海線的熱帶風暴。我們如何能夠知道這熱帶風暴是不是更大的一個天氣現象的一個部分呢？比如全球氣候變暖。我們如何能夠知道全球氣候變暖是不是更大的一個天氣現象的一個部分呢？比如可能是下一個百萬年年冰期爆發前的蓄力。
從一個不同的層次來看待同樣的問題，很有可能從不同的角度得出全新的結果，這就是層次的威力。
天下熙熙，皆為利來；天下攘攘，皆為利往。一個人在這個世界上有很強的自私性的行為，而無數個人的無數行為組成了和個人趨向完全和個體無關的歷史興替走向。單獨的螞蟻或者蜜蜂不過是一隻小蟲，而一旦它們集中群居起來，就能表現出讓人瞠目結舌的某種類似智能的行為來。一個個單獨的神經元並沒有體現出任何智能的跡象，它們簡單地依照規則做著加法，輸入超過閾值就激活；但是上百億個神經元之間的互聯，卻在高層次上（書中的「符號」層次上）體現出了超出現在科學分析能力的偉大創造力、理解力和想像力。
三體有一個著名的同人短片叫做Waterdrop，完美地通過超長鏡頭體現了層次的含義，還沒有去看過的三體迷們可以去看看。
有了TNT，並且了解了層次的概念，我們就來在TNT系統中製造哥德爾第一不完備性定理的後半段：存在一個命題，它在TNT（或任何足夠強力的）系統中既不能被證明也不能被否定。
二、遞歸和自指
為了製造出這種「不能證明不能否定」的哥德爾式的悖論來，我們還需要幾個簡單但有趣的新概念。
遞歸從狹義上來講，指的是計算機科學中（也就是像各位程序猿都熟悉的那樣），指的是一個模塊的程序在其內部調用自身的技巧。如果我們把這個效果視覺化，即圖片的一部分包涵了圖片本身，就成為了德羅斯特效應。比如下圖這個正在來大姨媽的男人：
德羅斯特效應之大姨夫
再比如我們很多人都看到過的那個「先有書還是先有封面」的詭譎邏輯纏繞：
德羅斯特效應之這貨到底是誰
上面兩張圖都必然要借用到電腦軟體來生成修改，但是如果我們手頭有兩面鏡子的話，經過我自己證實，就可以自己玩出一個很簡單的德羅斯特效應，不過稍微和上面兩幅圖中有些不同，感興趣的可以試一試，看看到底有什麼不同之處。
作者同樣在書中寫出了一個文字版的遞歸，為懶人和拖延症患者找出了一個完美的理論借口：
侯世達定律：做事所花費的時間總是比你預期的要長，即使你的預期中考慮了侯世達定律。
我們可以看到，這一小段文字中「侯世達定律」出現在了其本身之中。換句話說，我可以為我做事情花費的任意超長的時間找借口，因為我可以說我考慮到了侯世達定律，也考慮了「我考慮過侯世達定律」的事實，也考慮了「我考慮過「我考慮過侯世達定律」的事實」的事實，以此類推子孫無盡。
迭代的產生，來源於自指，即自己的部分指向自己本身。自指給了迭代以超出其範疇的表達能力，我們馬上也會看到，自指也同樣成為哥德爾的一把尖端武器，給了以希爾伯特為首的一幫子想要證明基礎算術系統無矛盾的科學家們致命一擊。
一個很有價值的觀點在於，迭代代表著一種用有窮來產生可能的無窮的方式，用有限的詞語和正確的使用理解方式，來推廣而體現出無窮。我們沒有能力去把無窮真正地表現出來，上面德羅斯特效應的圖片也由於像素的限制遠遠沒有做到絕對無窮無盡。我們能做到的，是寫出規律來在我們的腦海中表達出無窮的概念（即書中提到的皮亞諾五條公理中的歸納公理）。
三、哥德爾的G與艾舍爾和巴赫
萬事俱備，辣椒、大蒜、牛肉、香菜全部切好擺齊，剩下了，就是大火把它們一勺燴，出鍋的就是著名的香菜牛肉了。
悖論和怪圈
哥德爾的初衷是想要證明希爾伯特的第二個問題（證明算術公理系統的無矛盾性），但是最後卻在算術系統本身當中發現了無法解決的悖論。可能很多人都聽說過說謊者悖論，一個比較明晰的版本是：
下面這個句子是假的。
上面那個句子是真的。
這個左手打右臉右臉說好爽的詭異邏輯循環，在書中被稱為「怪圈」。近現代畫家艾舍爾對這種怪圈給出了很具象的表現：
艾舍爾之「畫手」
我們將兩句話中的和悖論無關的東西全部去除掉，就得到下面的最簡形式。
我在說謊。
那麼問題就來了，我到底在不在說謊？如果我在說謊，那這句話就是真的，也就是說我沒有說謊，悖。如果我沒有說謊，那這句話就是假的，也就是說我在說謊，還是悖。換句話說，這句話在人的邏輯之中，既不能被證明也不能被證偽。
說謊者悖論·改·方言版（僅供娛樂）：
萵四藏仨仁，藏仨仁都四搓扒子。
俺是俺們那噶塊的，但是俺們那小旮旯全活雷鋒。咋整？
哎呦喂，我而老北京，但而吧我覺得老北京全他媽是小騙子兒。
窩嗨廣東銀，廣東銀全撕咦總官。
嗯，如果這個還沒有把你繞暈的話，那麼也許艾舍爾的下面這幅圖能做得更好，注意上面的那一圈樓梯：
怪圈：艾舍爾之「上升與下降」
噢，我聽到了我聽到了，有的人在說「這有什麼，小學的時候就看過那一圈樓梯的視覺悖論，不就是永遠在上升或者永遠在下降嘛，簡單無聊得很。」很好，那麼下面再上一道給人感覺很類似iOS遊戲「紀念碑谷」的主菜：
怪圈：艾舍爾之「相對性」之「瞅半天了你瞅，反正你也整不明白，還瞅啥瞅，再瞅削你。」
嗯，無論你怎麼努力地去看去分析，也不可能有什麼結果的，這是一大堆怪圈的纏繞，逃脫不掉。
為了表明這個怪圈的普遍性，而不僅僅是某個學科的某個邊角的某個奇怪的東西，我們已經舉了語言和畫作的例子，接下來，當然就是巴赫的音樂了。
在巴赫的音樂中，最為典型的一個，就是在樂集「音樂的奉獻」中「無窮升高的卡農」。在這部卡農中，音調一直在轉高，但是到了最後，這個怪圈又繞回了C調，也就是從C-&>D-&>E-&>F#-&>G#-&>A#-&>C，很類似上面艾舍爾的「上升與下降」，越來越高最後又走回了低點。能做到走回原點的原因，是因為他試用了一種叫做「謝潑德音調」的音階處理方式，示意圖如下：
怪圈：謝潑德音階
也就是說，音階增高的同時高音強度在縮小，低音強度在增大，雖然音高在每一周期之間根本沒有變化，但卻會造成了一種一直在上升的錯覺。這不得不讓我想到我們喜聞樂見的滿大街理髮店門口都有的轉燈：
怪圈：轉燈
大家可以回想一下，這個轉燈給你帶來的無窮上升的錯覺。想不起來的，可以出門右轉去看看。
哥德爾的G
上面提到了的所有的悖論/怪圈形式，其本身並沒有直接蘊含著自相違背的信息。事實上，相互違背的兩樣東西是絕對不可能在同一個空間中存在的，它們會各自散開老死不相往來，或者相互泯滅掉同歸於盡。說謊者悖論不過是一句依靠我們的語言能力說出來的一句話，這句話可以寫出來而沒有崩潰掉本身就代表著其合理性。艾舍爾的所有畫作，也都老老實實地和諧地待在同一個畫紙上，完好地存在著。
存在即合理。——G·W·F·黑格爾
導致我們發現上面這些悖論的原因，在於我們是在「另外一個層次」的同構信息角度來考慮原信息本身。
我在說謊。這句話本身就被其部分所否定了，也就是說，這句話的一個部分是在討論一個範圍內的事物，而這句話本身正好在這個範圍內。「說謊」談論的是這個人所說出的話，而這句話本身就是這個人所說出的，部分指向本體，即我們前面所提到的「自指」，所以在這之中可能孕育出危險的悖論。
哥德爾之說謊者悖論
但是僅僅如此仍然不夠。我們不妨把這句說謊者悖論寫成一種讓我們更容易分析的形式：
說謊者悖論分析形式：這句話是假的。
如果我們從這個句子本身的層次來看，我們是看不出問題的，我們作為句子本身不知道句子中的「這句話」指的到底是什麼。它有可能指的是前一句，也有可能指的是下一句，自指在這種情況下不存在。只有當我們跳出系統，從更高的層次這個句子本身去理解這個句子的時候，我們才能知道，「這句話」指代的居然是這三個字的母體，即代表「這句話是假的」本身。
我們可以為「這句話是假的。」這句話賦予一個常量G，也就是說它和這六個字和一個句號完全同構，可以完美替代而不出問題。
G = 這句話是假的。
那麼，「這句話是假的。」這句話中的變數，即「這句話」這三個字，就可以被常量G所代替，因為這句話指的就是G所代表的這句話。
G = G是假的，即G=G的相反，或G=~G（非G）
悖論出現。
G的存在在該語言形式系統之中，無法被證明也無法被證偽，也就是說，無論是G還是G的相反（即~G），都不符合成為形式系統內的定理的資格，無法證明也無法反證，無法確認G的真實性，但是G的真實存在的，所以系統不是完全的。
當人們假定它是真實的時候，它一巴掌扇過來說你個瞎子我明明是假的。當人們假定它是假的時候，它一巴掌扇過來說你個變態我明明是真的。它像是一個擠不破的大皮球（也像是生氣狀態中的女人），總要有一邊鼓起來，讓人們只能亡羊補牢，顧著這邊就沒辦法顧那邊，永遠無法真正地用一種系統涵蓋全部的定理。
哥德爾之永遠不對
哥德爾之不可能
當我們在一個足夠強力的形式系統之中，藉助一種同構的翻譯（G=這句話是假的），來並從多個不同層次上理解同一個事物，並且該事物在其內部有部分對其本身的自指的時候，就有可能產生悖論。我說是有可能而不是一定會，是因為我們可以簡單地把G中的「假」換成「真」，就不再存在悖論了。而這個悖論，存在於所有足夠強力的形式系統之中，也就是說，如果形式系統足夠強（也就是能夠反映相當部分的現實），那麼就成為了哥德爾定理的犧牲品；如果本身就不夠強，那麼哥德爾定理無效，但也根本用不上哥德爾定理，一個不夠強的形式系統根本就沒有足夠的有效性。
哥德爾這狠狠一錘砸死了不知多少天才橫溢之輩完美無缺的數理邏輯夢。
哥德爾不完備性定理相當於讓人們在二者之中選一：要麼選擇去接觸不完備的範圍廣大的知識，要麼去選擇完備但只包括一小部分事實的理論。我們必然是掰棒子的狗熊，撿一個就必須丟一個，不存在能夠獲得完備知識總集的可能。
上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。
——數學家外爾（Hermann Klaus Hugo Weyl）
在書中給出的哥德爾推導是在TNT中，還使用了「證明對」和「算術?摁化」這兩個應該是作者自己發明的概念。哥德爾本人的推導應該會遠更加複雜。不過當你讀到這裡的時候，就應該已經明白矛盾出現的原因到底在哪了。
集異璧
四、人工智慧
哥德爾定理之所以在書中被大書特書，是因為作者相信它對人工智慧有著非常核心的影響力。
人腦中有約100億個神經元，每個神經元最多可以有20萬個不同的輸入埠，輸入的綜合超過閾值後發射電化學流，每秒的發射頻率可達上千次。對於這些繁複到讓人目瞪口呆的變化，我們卻本身對其沒有任何的認知，這是因為層次與層次之間的「隔離」（即大腦符號軟體層和神經元硬體層）。隔離程度越高，高層對底層就越知之甚少，對於一個複雜系統來說也就越成熟。要是連簡單的一個「我想吃蘋果」這種想法，都要用意志去調動數以億計的神經元並控制他們的激活與否，那窮盡我們一生可能都不會形成哪怕是最簡單的概念。底層封裝地越好，我們就越可以不去管它們是如何實現的，只需要發送一個簡單的指令，並且知道底層會很穩定可靠地去做就好了。
所有的靈活的軟體下面都必然有著最底層的不靈活的硬體，而軟體的靈活性恰恰來自與硬體的穩固性。（p391， p907）
在最底層的神經元層次，我們可以類比為電腦的硬體層次，沒有思想，沒有性格，有的只是最為單調但精準無誤地操作和重複——輸入數量足夠就激活發射，不夠就閑置。但正是這種超級大範圍的無意識行為，其複雜度達到了某個閾值之後產生質變，就能夠孕育出智能來。
人工智慧之人腦電腦
從底層的純粹硬體到我們腦海中的概念的層次是一個謎一樣的本質的飛躍，我們開始能夠意識到我們自己的存在，並能開始理解形成概念和記憶。本書中稱我們的概念層為符號層，每一個符號代表著一個概念，可以代表饑渴，可以代表書本的概念，可以代表某種動力或慾望，也可以代表著父親母親。當某一事件發生的時候，相關的符號之間互相交映互相激活，最後在大腦整體上得到一種情緒上或概念上的反饋。
讓人驚訝的是，人腦的硬體層次並不一一對應於某個軟體功能，並不是像我們可能想像的那樣，大腦的某一片負責視覺，某一片負責想像，某一片負責平衡現實和理想之類的。這種一一對應的關係並不存在，所有激發出來的結果，都是以一種整體論的形式來整體地體現反饋回來。也就是說，大部分功能都由整個大腦來負責，不能完全分隔開功能區域。
智能怪圈：神經元層次決定了智慧層次該如何執行，智慧層次的思維過程又反過去影響了神經元層次該如何執行。
近現代認知科學的出現和發展一直是建立在一個叫做「認知可計算主義」的概念之上的，這個概念認為通過計算可以模擬出人的認知模型來，或者說，認知的本質就是計算。因此，發展人工智慧的重擔也就落在了計算機上。隨著計算機的計算能力的發展，現代最頂尖的計算機擁有著和人腦相媲美的複雜度和遠超人腦不知多少個數量級的計算能力，但是，基於「認知可計算主義」的智能卻仍然沒有任何出現的苗頭。很明顯，僅僅是程序的運行速度和複雜度，並不是生成智能的原因，至少不僅僅是它們。
如果我們仔細去剖析自己的想法的話，我們就會發現，無論我們在想什麼，我們的腦海里都存在著一個小人，那個小人符號代表著「自己」。無論是類似於「我想去喝水」，或者「面前出現了一片廣闊無垠的金黃麥場」，還是「我明天早上起來要去跑半馬」，這所有的觀念之中，都有一個符號的「我」存在。這個「我」的存在，其實是個體創造力、理解力、想像力、感情、慾望、意識和自由意志的最關鍵的一塊拼圖——它允許我去想關於「我自己」的事情。它允許了在某種程度上跳到「我」之外去考慮事物，即「跳出系統」的能力。
我們對此早已習以為常到渾然不覺的地步了。但是，我們的大腦和其中的思維是我們自身的一部分，而在我們的思維中，又重新出現了「我」這個概念。無論我們是如何思考的，我們想到「我」的時候，想到的並不是我這個現實存在的個體，而是我們腦袋中對於自我個體的一個同構的翻譯。
發現了嗎？
我們現在是在從多個不同層次上理解同一個事物（自己），並且該事物在其內部有部分對其本身的自指（符號的「我」指向現實的我）。這離出現哥德爾悖論就只有一步之遙。
所有的計算機系統都是數論系統。如果我們按照「認知即計算」的章程來看的話，基於計算機的人工智慧如果想要達到近似人類的思維能力，也就是需要擁有「自我」的概念符號的話（即出現自指），那將必然遭受到哥德爾不完備性定理的直接攻擊，也就是說，如果計算機有能力在自己的運算過程之中製造出一個代表自身的符號來，那麼哥德爾製造悖論的方式就可以在計算機中造出不可證明也不可證偽的奇異的虛幻來。
計算機的運行基於最基礎的運算單元加減法，它的任何一步的結構都必然是完備的，可推導的可證明的，所以，從反向推導，計算機絕對不可能擁有代表自我的符號，也就絕對不可能通過這種方式擁有智能——它並不具有跳出系統的能力。從這裡再追根溯源去找人工智慧發展瓶頸問題出在哪，我想懷疑最大的就是「認知即計算」的這個概念。這個概念已經帶領著我們的計算機科學以超乎想像的速度發展了數十近百年，但是在人工智慧的領域，也顯示出了它被哥德爾所嚴格束縛住的能力範圍。
有的人可能會提出：計算機是人造的一種機器，只要是機器，就肯定會嚴格按照它得到的指示去做，它不會也不可能去做也想不到要去做任何它不知道的事情。本書的作者反駁：機器和人兩者都是由硬體構成的，一個是零件，一個是神經元，而硬體可以按照物理學定律完全獨立地運行，並不需要任何人去規定。既然人能從海量的互相糾纏的完全機械的神經元中得到智能，那麼為什麼計算機就不能呢？
人工智慧之硬體
哥德爾不完備性定理不是在說機器的能力極限，也不是在說人的能力極限，在人工智慧領域，它僅僅是在說從完全硬體角度，將一個人的想法完全複製到機器之中會受到的強烈限制。相比而言，構成一定的智能會比複製硬體構成簡單得多。同時因為我們可以跳過硬體層次而只了解符號層級的一般工作原理，就好像了解發動機的一般工作原理一樣，我們繞開了哥德爾定理在底層對於強力數論的要求。
如果我們暫時滿足於在符號層面上研究大腦，並在符號層面上讓計算機實現類似的智能，那麼還是大有可為的。這就相當於假裝底層的實現可能不是一個會落入怪圈的足夠強力的形式系統，而是病不符合哥德爾定理的某種新體制。
無論如何，這樣人工智慧的發展就避開了哥德爾的魔爪。在上世紀中旬就有可靠的科學家預測，在接下來的二十年中，強人工智慧（即能夠主動思考創造的類人機器，相對於類似於Siri的弱人工智慧）必然會出現，但是半個多世紀過去了，所有人的預見全部落了空。人腦的複雜性遠遠超出了原來科學家們的想像。
如果想了解更多的關於人工智慧話題的話，知乎的謝熊貓君翻譯了一篇英文的關於人工智慧的科普讀物，在上一年裡反響很大：為什麼最近有很多名人，比如比爾蓋茨，馬斯克、霍金等，讓人們警惕人工智慧？如果不喜一家（而且好像不是很權威的一家）之言，更喜歡全面地看問題的話，可以看看這個知乎問題下的答案，裡面有數人反對謝熊貓翻譯的文章的觀點：為什麼有很多名人讓人們警惕人工智慧？
五、結尾
正因為哥德爾、艾舍爾和巴赫（其實感覺沒巴赫什麼事，艾舍爾也只是打打下手做做參謀）三人共同表現出的對於怪圈和纏結的層次結構的表現和理解，本書作者才將哥德爾、艾舍爾、巴赫這三塊他精心收集的異彩奪目的瑰璧嵌為一體，並使之發揚光大、輝映成章。而這三塊有異曲同工之妙的奇珍，也因此凝集成了一個珠聯璧合的整體。（p951）
集異璧之GEB(Godel, Escher, Bach)
1978年寒冬，美國普林斯頓，「無」宮殿內。
閃爍著火焰的蠟燭在門廊中飄忽，數理大帝二世：庫爾特·哥德爾穿著純白色乾淨亞麻製作的長袍，正走在大殿中的畫廊里。他已經到了油盡燈枯的年齡，臉上的皺紋像是刻畫在空間之上的歷史，絕無可能再次抹去。
如果你用米尺去在不同的位置丈量畫廊本身的寬度的話的話，你就會發現畫廊的寬度是在變化的，事實上，整個「無」宮殿本身都以一種很奇異的姿態「扭」在一塊凹凸不平的山坡上。建築者並沒有費心去把土地填平篤實，而是放任在那裡，導致整個宮殿的地都變成了一個三維的波函數。
艾舍爾之「畫廊」
作為數學帝國的第二任皇帝，他經歷了數理帝國的涅槃，重生的帝國和重生的他已經不再寄希望於完美無缺的對稱的穩固，而更喜歡飄忽不定的自由和彈性。
真實的世界不是完美的，而不敢面對這個事實的人，根本沒有資格稱自己為數學家。哥德爾總是這樣和人說道，他對此毫不懷疑。
他慢慢走到了畫廊的另外一邊，不時停步，緩緩欣賞著畫廊中擺放著的艾舍爾的各種畫作。他還記得他年輕的時候，初次見到艾舍爾畫作時候的驚艷——與其說他喜歡艾舍爾的畫，還不如說他在艾舍爾的畫中嗅到了與自己的觀念相通的某種芬芳，某種對於真正完美的扭曲，還有扭曲中的反抗。
畫作都看完的時候，已經過去了很久。他走回了自己的辦公區域，坐在自己的辦公椅上。在那寬大到可以並排躺下四個人的桌上，寥寥無幾地放著兩個煙斗，一條莫比烏斯紙袋，一個水晶球，還有一顆頭顱大小的黑色正方體木塊，木塊的正中央寫著一個大大的「無」字。木塊的材質顯得很突兀，像是從另外一個時空傳送過來的紀念品，仔細聞聞似乎還攜帶著些許上一個主人的氣味。
他摩挲著這塊和他頭顱近乎同等大小的正方體，目光漸漸變得溫柔，連眼角的皺紋都化了開。他的右臂向上抬了抬，似乎想要把木塊翻滾90度，但是那木塊卻好像沉重得讓年邁的他完全沒有任何辦法。他的臉上開始漸漸冒出了細微的汗，那汗冰冷如雨。幾經嘗試之後，他長嘆一聲，彷彿把數十年的人生苦樂從這一口氣中散逸掉了。
他的眼睛閉上而又睜開，右手輕輕一推，木塊的底面就翻滾了出來，同時躍入眼帘的是一行很簡短的字。
他從左到右一個字一個字地讀著那上面的話，重複讀了幾遍，終於放開了手，如同斗敗了的公雞一樣癱倒在扶手椅里。那木塊上寫著：
證明「我」是錯的。
三天後，庫爾特·哥德爾溘然長逝。
書評和後記
本書的內容超乎預期的駁雜繁複，上千頁的紮實的內容和五花八門多個領域的互相糾纏，又有結構極其精巧讓人讚歎的小故事穿插於其中，讓這本書的閱讀成為了一場讓人頭痛不已卻又不舍讀完的盛宴。寫出的書籍重點和筆記足有接近三萬字，分為兩篇貼在這裡，供想要讀、正在讀和想要溫習的人做個參考：
「哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成」讀書筆記上部「哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成」讀書筆記上部
「哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成」讀書筆記下部
我並不推薦本文給大多數人去讀，因為「臣妾做不到哇」。對數理邏輯感興趣的人們，可以準備一段時間出來看看，不過，我希望我寫出的這篇文章能夠讓所有人有所補益。
這篇文章的形式借鑒了本書的形式，雖然只能得到其皮毛。原書中在每一章節前穿插著故事來承前啟後，我也盡量插進幾個小段故事來增添文章緊湊型和趣味性。原書使用了大量艾舍爾的畫作，我也撿其精華用在文章里。去掉我認為過於複雜的和與主線無關的部分，文章中介紹到的概念和書中介紹的主要概念順序和篇幅大致相等。模仿原書，本文的末尾的故事和開篇的故事相呼應，暗示出了相對於人工智慧的用「無」「廢問」的概念，其中也蘊含著一些自指和怪圈，明眼讀者們想必能夠將他們辨認出來。
本篇文章是繼「我幫你讀」系列我幫你讀：「如何閱讀一本書」、我幫你讀：「中國哲學簡史」和我幫你讀：「厚黑學」、我幫你讀：「論人類不平等的起源」、我幫你讀：「槍炮、病菌與鋼鐵——人類社會的命運」之後的第六篇。如果是第一次來讀「我幫你讀」系列文章，那麼可以去看看「我幫你讀」系列目錄、序言及規則。預告：下一篇將會是一篇承接本書的另一部跨學科奇作，同樣是從多個角度去分析世界的某個本質，敬請期待：我幫你讀：「真實世界的脈絡」，書籍作者戴維·多伊奇。
寫出這篇文章花費我一個月的心血，如果本文有幫助到你，請盡情分享，並關注微信公眾號：靈鈞。
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我是否真的認識如我所認識的我？——《哥德爾、艾舍爾、巴赫_集異璧之大成》讀書筆記
【未經本人同意請勿轉載。】
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我是否真的認識如我所認識的我？
——《哥德爾、艾舍爾、巴赫_集異璧之大成》讀書筆記
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寫在前面
翻開「塗書筆記」的記錄：2015年3月5日至2015年5月27日。共200多條筆記錄入。
本以為翻完千頁GEB之後，我會興奮激動不已。等到這一天真的來臨了，反而覺得各種緊張——其中的第八章、第十三章、第十四章都只是匆匆略讀，其間還有一些內容都是沒來得及去演算的，並沒有完成作者「交代的課堂作業」。
這本書恐怕不止作者在書中提到的兩打課時的功夫。尤其喜歡後面整理的非常用心、精緻的文獻目錄，而且幾乎每一份文獻後面都有作者的簡潔評述，我是打算在豆列（http://www.douban.com/doulist/39544944/）里將其所涉及的書都能找到一起，這樣可以讓自己耐著心看完他對這些書的評價。【目前還在更新中】
隨手筆記的一些想法都是比較碎片的。雖然起初也想整理出來一份思維導圖，結果沒有做出來有兩方面原因（借口）：1、我的懶惰；2、內容龐雜。但我還是希望自己能有時間做一份這本書的思維導圖，可以鏈接起來整本書的信息以及談及的人物、著作。如其所言，是大成。
符號與神經元。
無論作者旁徵博引了生物、基因、物理、化學、心理、計算機、人工智慧、數學、古典音樂、繪畫、哲學、宗教（禪宗）……最終還是要強調的是：創造力來源於不確定性。
第十七章到第二十章，可以看作是本書的高潮部分，尤其將圖靈寫了兩章內容。但我並未感覺作者對人工智慧的強烈慾望，更多是在探索人類的認知機制，或是說確定人類大腦的偉大來自於我們都不知道偉大到底有多大。
在看到關於基因和蛋白質的章節，很有趣的。可是，我很好奇：
如何將「所謂的知識和記憶」寫入基因里？
後來我又覺得可怕，如果這種宿主和生命機體的模式發展，那其實是人類的退化。即使說，我們選擇，進行遴選更加「經典」的內容寫入基因，也未必是好的事情，只是從我們的角度看來是很好的方式縮短了知識攝取周期；但這些知識有必要一定攝取嗎？這是很大的價值評估問題。
……所以我可以無限的問自己，並問下去，就會出現怪圈現象。從「如何做」的問題迴旋到「做不做」的問題上。也意味著，「做不做」的答案決定了「如何做」的價值意義。那麼，在「做不做」的元問題應該是：為什麼做？
為什麼做？——我為什麼會產生這樣的想法？——這個想法是如何產生的？……
還有一處很有趣的就是，小狗吃骨頭的故事。這是很好的比喻。小狗雖然盯著骨頭看，卻沒有發現不遠處有一扇門。人類或許「想到」自己的「骨頭」，只是也同小狗一樣，並沒有找到那扇門。可能我們在自己能看到的地方開始自己挖門了，而這個時候，別家的小狗已經拿走了骨頭。如果這個骨頭的存在是唯一性的話。這個故事可以讓我想到很多生活中案例。尤其是思考問題上，有的時候打開門的可能是另外一本書，或是另一個領域知識。
物理。空間感。
學好基礎科學是非常有必要的。同時，也不要囿於這一層次的符號，一定要將符號進行模塊組裝，就會發現更大的視野，如果模塊多了可以拼裝更大的某一物體，如果有了物體，那就要學會跳開來看這個世界；如果有了世界，那就要跳開這個世界看那個小世界……
遺憾的是，作者還是沒有解決我的問題，我們如何跳出我們自身的局限性。一方面是自身認知（如何跳出自身體系來認識自身體系，到底自身體系的全貌是什麼樣子的？）；一方面是歷史認知（如何跳入四維來認知，如何逃離時代的局限性？）。
空間感，想像力。我認為是等同的概念。我們的認知空間是有限的，但是我們的想像空間卻可以無限，至少是相對我們的已認知的範疇而言。
想像的本身就是創造。（所以，我喜歡挑剔，卻不喜歡輕易否定。）
人工智慧，是為了模仿還是為了創造？
……
這些都會在我的碎片筆記中展開。我想會繼續去讀作者的另外一本著作《怪圈》I Am a Strange Loop (豆瓣)。
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1、關於作者——侯世達（Douglas Richard Hofstadter）【轉載來源於豆瓣】
道格拉斯?理查?郝夫斯台特（Douglas Richard Hofstadter，1945年2月15日－），中文名侯世達，美國學者、作家。他的主要研究領域包括意識、類比、藝術創造、文學翻譯以及數學和物理學探索。 因其著作《哥德爾、埃舍爾、巴赫》獲得普立茲獎（非小說 類別） 和美國國家圖書獎（科學類別）。
侯世達是美國印第安納大學文理學院認知科學傑出教授，主管概念和認知研究中心。他本人和他輔導的研究生組成「流體類推研究小組」。1977年，侯世達原本屬於印第安納大學的計算機科學系，然後他開始了自己的研究項目，研究心理活動的計算機建模（他原本稱之為「人工智慧研究」，不久就改稱為「認知科學研究」）。1984年，侯世達受聘於密歇根大學，任心理學教授，同時負責人類認識研究。1988年，他回到印第安納大學，任「文理學院教授」，參與認知科學和計算機科學兩個學科，同時還是科學史和科學哲學、哲學、比較文學、心理學的兼職教授，當然侯世達本人表示他只是在名義上參與這些系科的工作。2009年4月，侯世達被選為美國文理科學院院士，並成為美國哲學會會員。
侯世達曾說過他對「以計算機為中心的宅文化感到不適」。他承認「（他的受眾中）很大一部分人是被技術吸引」，但提到他的成果「激勵了很多學生開始計算機和人工智慧方面的研究」時，他回應說儘管他對此感到高興，但他本人「對計算機沒有興趣」。那次訪談中他談到一門他在印第安納大學教授過兩次的課程，在那門課程中，他以「懷疑的眼光審視了眾多廣受讚譽的人工智慧項目和整體的發展」。例如，就國際象棋選手卡斯帕羅夫被超級計算機深藍擊敗一事，他評論說「這是歷史性的轉折，但和電腦變聰明了沒有關係」。
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2、我的碎片化筆記
2.1 符號。層次。結構。
2.2 同一性。同構。循環。怪圈。
P15
所謂「怪圈」現象，就是當我們向上（或向下穿過某種層次系統中的這裡，系統是音樂的調子）一些層次時，會意外地發現我們正好回到了我們開始的地方，有時我用「纏結的層次結構」這個詞來形容出現怪圈的系統在我們後面的討論中，怪圈這一主題將再出現，有時候它是隱蔽的，有時候則會公開露面，有的時候它端端正正，有的時候則上下顛倒，或者前後錯位「覓之，自有所獲」，這便是我給讀者的建議。
2.3 不確定性。
2.4 個體。自由意志。
2.5 內省系統。自指。自複製。
2.6 人工智慧。
2.7 藝術的內外體系。
2.8 真善美。
2.9 基因。記憶。大腦。
2.10 認知心理學。神經科學。
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3、我關注的關鍵詞
3.1哥德爾定理【不確定性定理】
3.2《音樂的奉獻》【除此，我比較喜歡Bach,十二平均律】
3.3我最喜歡M.C.Escher的畫有哪一些？【鱷魚墨水瓶，天使與魔鬼，……】
3.3.1《畫手》
【摘抄】
」這是一幅較為常見的埃舍爾的作品，在許多書中都曾刊登過這幅畫作。我們在《畫手》這幅畫中看到了什麼？太直白不過了，是「一隻手」拿著畫筆，在畫著「另一隻手」，而這「另一隻手」也在拿著畫筆畫著這「一隻手」。我們會問：「是哪只手在畫另一隻手呢？」沒有答案，是一種循環。
搞過計算機編程的人會意識到，若編程時一不小心寫出這樣的語句的話，電腦執行起來就會進入「死循環」，結果就是死機。通過這幅畫作，邏輯學家們暫時離開了枯燥的符號語言，讀到了他們在苦思冥想的東西。生物學家從中讀到了他們爭論了幾百年的 「到底世界上是先有雞，還是先有蛋？」 論題的一個翻版。進化論信奉者從中讀到了一個隱喻：是不是一隻不那麼完善的手在畫著另一隻也是不那麼完善的手呢？兩隻手是不是在互畫的過程中逐漸完善起來的呢？「
【我的筆記】
從結構/系統來理解：首先想到的是作者畫畫的手+畫里的手。這就是兩個系統。畫外和畫里
從層次來理解：其次是維度上的，三維降為二維（雖然我們可以想想二維，畫相對畫家來說是二維世界，其實我們很難想想沒有厚度的世界是什麼樣子的，畫本身也是三維的。）作為畫里的手，二維降為一維，看到的、感受到的只是另一手只是看不到全貌的一個點罷了。畫里的手，我相信不會相信自己是被另一手創造出來的。
是不是可以理解，我們在三維空間中，被四維世界所創造？而只是我們看不到罷了？這樣的創造力是我們無法理解的，正如二維中的那隻手看不到自己是如何被另一手所創造的。只有跳出了整個系統（作為畫家），才能看到，其實他們是彼此創造的，但真實的是畫家創造了這兩隻手。
我的好奇是——是怎麼樣的力量（如果算是一種力量的話）讓畫家創造了這幅畫？他的靈感來源哪裡？我是指他靈感的本質。這種腦神經活動的指令，真的是體系內部的嗎還是有體系之外的？
從符號來理解：鏡像符號。循環——不能掙脫自身體系的話，就會如此互相」指代「。
3.3.2 過程
非常可愛的小鱷魚。
這幅畫是我最為喜歡的之一。整個畫面展現的是一個過程，創作的過程。從系統結構和層次來理解，是對創作時間的變化展示，在一個」二維「空間中描述對時間的理解。之前的」小鱷魚「（我）是看不到之後的」小鱷魚「（我）。我們無法看到未來的我們，其實同樣的，我們也看不到之前的我們。
其次，小鱷魚的起點是哪裡？是紙上，還是從旁邊的某本生物書上，還是從墨水瓶里？在這個畫里，小鱷魚在好奇自己的存在是從哪裡開始的，但他的理解只是限定在這個」世界「（畫本身）範圍內去認知他的過去和未來，即使找到了他的起點，但那只是他以為的起點。——其實最真實的是，」小鱷魚「是畫家創作出來的，畫出來的。也許埃舍爾會說小鱷魚是從畫里的紙開始的，對的，是埃舍爾這位作為小鱷魚的上帝決定的。
那麼埃舍爾的上帝是誰？
估計，每次當我們走到」我們「這個環節/層次/系統的時候，就會發現，我們如同小鱷魚一樣。
3.3.3 畫廊
它探索了空間邏輯與拓撲的性質。一個年輕人在一個藝術畫廊正看著海邊小鎮的一角，在船塢邊有一家小店，在店裡面是一個藝術畫廊及一個年輕人--他正朝著海邊小鎮的一角望去. . . 但是等一下！發生了什麼？埃舍爾的所有作品都值得細細觀賞，但是這一次尤其特別。某種程度上, 埃舍爾把空間由二維變成了三維, 使人感覺到那個年輕人同時既在畫像內又在畫像外面。
很形象的展現」扭曲「，讓我強烈感受到形象感——「時間的曲線」。維度是存在的，只是我們無法去「觸摸」，無法去「感知」。這又讓我想起Escher的《龍》，意識到比自身世界更高級的一個維度世界，並且也去嘗試著去存在於更高級的一個維度世界，結果發現他感知到的還是自己所在維度，但是在我看來，我覺得他成功了，他成功改變的是對世界，只是他沒有改變自己，如果他能把自己「吹」成三維的，那麼他真的就是駕馭了這個世界。
所以，我們人類的意識覺醒，遲早會讓我們去找到「上帝」，或者把我們自己變為」上帝「。我很期待。
曾有人說，艾舍爾代表了非歐幾何時代的空間感知覺，其基本特徵是空間的彎曲，這是有道理的。空間的彎曲使纏繞成為可能，使「有限無界」成為可能。今天我們知道，物理空間可以因為引力而彎曲，它無界卻可以是有限的：無界不等於無限。
3.4數理邏輯
3.5自由意志
3.6基因，大腦，認知心理，神經學【推薦閱讀：《從神經到腦》fifth edition】
3.7人工智慧A.I.發展現狀與前景【延展閱讀：霍金斯《人工智慧的未來》】
3.8計算機語言，編程
3.9語言，記憶
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4、參考文獻的發現
4.1
」A PROFILE OF MATHEMATICAL LOGIC",《數理邏輯概況》【Delong Howard】1970年版
A Profile of Mathematical Logic (Dover Books on Mathematics) (豆瓣)
一本精心寫成的關於數理邏輯的書，解釋了哥德爾定理並討論了許多哲學問題。這本書的一個重要特色是有一份出色的、註解詳盡的目錄。對我影響很大。
【重點補充閱讀*****】
4.2
「THE MAGIC MIRROR OF M.C. ESCHER",《埃舍爾的魔鏡》【Ernst Bruno】1976年版
The Magic Mirror of M.C. Escher (豆瓣)
作者是埃舍爾的多年好友，這本書討論了作為一個人的埃舍爾和他的一些畫的產生。是一本埃舍爾愛好者的必讀書。
THE WORLD OF M.C.ESCHER,埃舍爾的世界，1972年版
艾舍爾作品搜羅最廣的選集。艾舍爾在美術中極盡人力之所能地產生出遞歸，從而在他的某些畫中令人驚異地捕獲了哥德爾定理的精神。
4.3
FOUNDATIONS OF SET THEORY,《集合論基礎》，【弗蘭克爾,亞伯拉罕；耶和夏·巴爾一希來爾；阿茲利爾·萊維】1973年版
是對集合論、邏輯、有限定理和不可判定命題的非技術性討論。以很長的篇幅探討了直覺主義。
4.4
Gardner , Martin [ 加德納,馬丁],Fads and Fallacies ( 時尚與謬誤》,紐約： Dover Publications ， 1952 年版，平裝本。可能仍然是所有反神秘的書中最好的一本。這本書雖然也許並不想成為一本關於科學哲學的著作，但卻含有許多與之有關的東西。讀者會一次又一次地面臨這個問題「什麼是證據？」加德納揭示出「真理」對藝術和科學的要求是多麼不現實。
4.5
"FACT,FICTION AND FORECAST"，【Goodman Nelson】1973年版
Fact, Fiction, and Forecast (豆瓣)
討論反事實條件句和歸納邏輯，包括古德曼著名的問題詞「bleen" 和"grue"。著重討論了」人是如何看世界的「這一問題，因此從人工智慧的角度看特別有趣。
4.6
Hanawalt , philip C . , and Robert H . Haynes [ 哈那瓦爾特,菲利普;羅伯特·海因斯］，the chemical Basis of Life《生命的化學基礎》，舊金山：W.H.F1973年版，平裝本。一本出色的《科學美國人》中的文章選集。是了解分子生物學的一條最好的途徑。
4.7
Horney,Karen[荷尼．卡倫］self analysis 《自我分析》，紐約：W．W.Norton,1942年版，平裝本。引人入勝地描述了自我的種種層次如何纏結在一起以應付在這樣一個複雜的世界裡任何個人的自定義問題。既有人情味又有洞察力。
4.8
Hubbard john i [ 胡巴德，約翰] The Biological Basis of Mental activity 《智力活動的生物學基礎》,馬薩諸塞,Reading : Addison-wesley , 1975 年版,平裝本。還是講大腦的書，但卻有新穎之處：含有許多供讀者思考的長長的問題單，還開列了探討這些問題的論文目錄。
4.9
Jackson. Philip.C【傑克遜，菲利普】，introduction to Artificial intelligence《人工智慧導論》，紐約：Petrocelli Charter ，1975 年版。一本用生動的語言描述人工智慧思想的新書有大量模糊地暗示到的思想飄忽在這本書的周圍，因為這一點，僅瀏覽一遍這本書也是極有啟發的。有一份龐大的文獻目錄，這也是我推薦它的另一個原因。
4.10
4.11
THE IMPOSSIBLE SKEW QUADRILATERAL: A FOUR----DIMENSIONAL OPTICAL ILLUSION，不可能的對稱四邊形：思維的視覺幻象】1978
這篇文章的形式同其他內容一樣複雜和不尋常：它是一個在許多層次上共時的三部曲。這篇文章是平行發展的，互相從對方那裡得到啟發。
4.12
INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC 數理邏輯導論，克里尼，斯蒂芬，1967年版本。
一本由這一領域中的重要人物所寫的詳盡、賦予思想性的教材。很值得一讀。我每次重讀一遍，都能發現一些我以前沒有讀出的東西。
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5、讀後感
值得一讀，尤其是在年輕的時候。因為我總是習慣性地聯繫現實的具象，所以在理解上總是感覺比較低於理解層次。（感覺很像《三體》中的智子，如果不斷打開這個螺旋，你會陷入更多維度的思考；還有太陽系二維化，讓我想起這本書所說的：其實我們連二維世界都只是想想罷了，我們的認知是三維，很好奇：為什麼宇宙給了我們認知三維的世界？為什麼一定是要立體的我們？如果我們活在二維呢？一定是靜止的嗎？如果我們活在四維呢？是不是自己會去殺掉另一個自己？……）
延展-壓縮。延展到多維的知識架構，但同時也能夠壓縮到符號-模塊，這樣更有效地激發我的知識積累，要用自己理解的關鍵詞去鏈接可觸及到的模塊。
這本書只是一扇門，走進去玲琅滿目，你可以看到多種學科的知識，但要知道那些都只是冰山一角，包括這本書也只是冰山一角的一角罷了。但我們要拿到的是觸類旁通的鑰匙，這是本書能夠告訴你的——符號化，模塊化，結構化。
數學、音樂和繪畫。我覺得除了他們可以降低維度到符號化，最為關鍵的是，這些學科是不需要產生歧義的符號（比如：語言）來進行解碼，換句話說，在解碼過程中產生錯誤的概率相對是非常低的。這裡我不得不提中國的《易經》（I-ching），易經本身就是將數、象整合的學科大成，即使今天看來我們只是釋義的環境發生變化了，甚至有的是我們還未能解讀出來的。我想可以嘗試著順著GEB的思路，可以再讀一遍《易經》，我想收穫也肯定會有的。之前讀過歷代研究易經的歷史，但從來想過將這些模塊再上升到時間結構和意識結構上來看它。
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6、後續讀物
6.2複雜，【系統學相關】
6.3從神經到腦
6.4讀Alan Turing的論文
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在我看來，GEB是一本雅緻的書，叢書名看：哥德爾，大數學家，怪人，因害怕下毒而絕食而死，他發現的哥德爾定理顛覆了我們對世界的認知。（具體請Google）艾舍爾：法國畫家，代表作：互畫的手，樓梯等，通過圖畫的形式解釋了悖論。巴赫，巴洛克音樂大師，他的悖論思想，在我看，主要體現在哥德堡鳴奏曲上，這本書揭示了人類知識和人類知識表達手段的互通性，解釋了為什麼我門的世界是個悖論的世界，這些悖論對我們有什麼影響。
如果你對藝術和智力活動不感興趣，我相信你對這本書也不感興趣
同樣，一本書而已，書的使命，最起碼是給人帶來快樂
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數學家、畫家、音樂家這三個看上去毫無關聯的人物，同時出現在一本書的書名里，難道還不足以吸引題主嗎？
其實最大的問題你已經說了：
1，不是每個人都有興趣。
2，強制讀必然會爛尾。
個人覺得至少得深度喜歡GEB3人中的一個才適合閱讀。
btw：我已經爛尾了，現在拿它墊顯示器。計算機方向的同學最好早些看。
我自己是在學過離散數學之後才看的，再加上本身就比較喜歡古典音樂尤其是巴赫。看完以後覺得這書也太小兒科了。
首先我不喜歡編程，連程序都看不懂 也不是音樂美術生 that is,沒有背景。最近數著頁碼啃這本書 各種膜拜的節奏，作者和譯者都無比神奇 謹此回答作為目前剛讀完的第六章的讀後感。
不知可否這樣類比:如果把這本書看作消息 其框架消息是——我很厚，我是一本奇書快來讀我啊親 外在消息是這塊磚頭裡的文字 內在消息應該就是作者預定傳達的消息 似乎題主的問題是:若想讀懂這本書 （是否）需要哪些背景知識？（"若要恢復一條消息，需要在多大程度上理解它所處的環境？"）
拿起這本書 就像外星人遇到DNA分子 或者巴赫的唱片首先你覺得它挺有意思（識別框架消息） 然後你設法從這些文字中去推測讀懂它需要哪些背景知識（DNA的化學環境）
這裡我的想法是開始讀了之後再考慮是否需要去了解那些背景知識 因為如果把每個個體視作不同星球的人 那麼無論它們剛開始是否擁有這樣的環境，並不影響它們解讀這樣的框架和外部信息 而事實上每個星球所具有和所能創造的化學環境都不相同 譬如我這種智商雖然永遠破譯不出來它的內部信息
————（割一下以示和第六章無關）不過這好像不妨礙我每天數著頁碼和它對望 哎 滾去繼續自虐= =
可先看80年代出的經典縮寫本（介紹本）GEB——一條永恆的金帶 (豆瓣)
其實我也只看了這本= =！我無恥的看完了。 部分章節不錯。不過感覺自己是自虐，看一章就數頁碼，悲劇。
關於讀此書需要的知識儲備，我覺得僅僅數學就夠了，其他學科的東西作者基本點到為止，說的很淺。數學的話主要涉及邏輯學和計算機演算法，雖然此書用到的知識遠比專業書教科書淺，但是沒基礎的我建議還是別看了。
況且這書一般吧，開啟腦洞而已。如果是題主水瓶座，相信我你的腦洞會比作者還大的。。
不要為了看而看，有興趣就看沒興趣就算了。學計算機的想了解數理邏輯、可計算性理論有很多很好的教材，不要把GEB當教材來讀，把她當作興趣讀物來讀，這樣讀起來也更加輕鬆一些。我自己是在學習可計算性理論的時候當作課餘讀物來讀的，教科書里的很多東西都能在GEB里的內容相呼應（比如產生語言的各種文法和WU謎題），讀的時候自然輕鬆不少。另外，推薦你直接讀英文原文版，我在Mac上讀電子版的配合三指取詞查不懂的詞很方便，有比較專業的辭彙直接就上網搜了。
別把它想得太神聖，一本書而已，隨意翻著看，能吸收多少算多少。
傳聞中的《集異璧之大成》，大學時候舍友買了一本，特別厚的一本書，不過他並沒有看而是打折賣給了另一個室友。論書的倒賣價值。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
這本書適合在馬桶上翻翻，它就相當於某種類似心靈雞湯的哲學史演義……
與其看這個，不如直接直接看數理邏輯基本教程或者指南或者科普讀物，如果作者有良心，兩萬字以內肯定能說清楚所有在geb中出現的核心問題……
至於從這書里看語言哲學……大體上是雙重扯淡……
好吧，總的來說，這書不必看也不值得看，但畢竟開卷有益，尤其是對思維聯動能力比較弱或者視野嚴重偏窄或者知識結構極不合理的人……
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