貝茲曲線和nurbs曲線有什麼關係嗎？

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在學習平面和3D軟體的時候會遇到這兩個名詞。
今天突然想，這兩種曲線有什麼關係嗎？
求大師指教。

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多謝答主們！
可能我的問題沒有說清楚。兩者的區別我知道的。只是我很好奇為什麼會用到兩種曲線的描畫方式？因為看起來好像貝茲曲線在3D裡面也是可以使用的。即使有一些不適合三維空間的地方，稍作修改就可以了。

為什麼會產生兩種曲線描畫方式？看似很多餘啊？一種不就可以了嗎？在兩者產生、演化的歷史上，這兩者有什麼關係嗎？

NURBS是有理B-splines曲線，它的基函數是有理函數。而Bezier曲線和B-splines曲線更接近一些，基函數都為多項式函數。從Bezier 到 B-splines 到 NURBS的演化過程是一種擴展，應用這些曲線能夠準確描述的幾何範圍依次變大。

Bezier曲線可以看成B-splines曲線的特殊形式。當B-splines曲線的參數空間只有一個區間，並且對應的knot vector是open時則和Bezier曲線的定義相同。例如二階Bezier曲線：

此時的Knot Vector為{0,0,0,1,1,1}，參數空間為[0,1]

當B-spline曲線的knot vector不只有一個區間時，其基函數就可能在多個區間都不為零。例如
knot vector = {0,0,0,0.5,1,1,1}，參數空間共有兩個區間分別為[0,0.5)和[0.5,1]

上圖中的第2個和第3個基函數在兩個區間都不為零，而第1個和第4個基函數分別指在前一區間和後一區間有非零值。

直接結果就是如果移動第1個和第4個基函數對應的控制點，P0和P4，只會對曲線的部分產生影響。例如如果移動P0的位置，那麼只有參數區間[0,0.5)在物理空間中的象會改變。

如果移動第2個和第3個基函數對應的控制節點，那麼整個曲線都會改變。

當對B-splines曲線使用knot inversion演算法在其參數空間插入已經存在的節點，是所有中間節點的重複次數都等於曲線的階數時，B-splines曲線可看作首尾相連的多個分段的Bezier曲線。

剛才二階B-splines曲線的knot vector由 {0,0,0,0.5,1,1,1}變為 {0,0,0,0.5,0.5,1,1,1}。中間節點0.5重複兩次後得到

注意觀察圖中右邊的基函數圖像，並和第一張圖中的基函數對比。

(截圖來源於一個網頁上的NURBS小工具： http://geometrie.foretnik.net/files/NURBS-en.swf)

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而NURBS曲線可看作為B-splines曲線的擴展形式。利用NURBS可以完美地表示圓錐曲線。幾何上，可以將NURBS曲線理解為B-spllines曲線在某一平面的投影。例如

上圖中黑色的三維曲線是B-splines曲線，而紅色的圓為NURBS曲線。藍色和綠色的虛線分別是它們的控制網格。紅色的圓可看作是黑色的三維曲線投影到z=1的平面形成的。

具體的數學方法是給每個控制節點加上一個權重值，然後基函數由原來的多項式變為有理函數

上式中N代表B-splines的基函數而R代表NURBS的基函數，w則是各個控制點的權重。

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題主提到了樣條曲線的歷史和演變，個人印象中（有待確認）的過程大概是：

Mechanical splines -&> Bezier curve -&> B-splines -&> NURBS -&> T-splines

從Bezier開始都算是Digital 或者 Numerical spline了。此外NURBS之後應該還有個hierarchical B-splines，和T-splines一樣可以是實現局部精細化，可以準確地描述如螺旋槳這樣複雜的曲面。不過我還沒在常見的CAD軟體中見到過，貌似Rhino什麼的只支持NURBS。

更正：
Autodesk有提供收費的T-spline插件給Rhino。

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最近正好看到一篇blog關於樣條的歷史，這裡貼出來：
On the Spline: A Brief History of the Computational Curve (Full)

文中有一張圖用以展示演變過程：

樓上軒轅的回答是錯誤的，當然，要弄清這兩者的區別，首先還要引入階數和控制點的概念，在所有的非封閉曲線中，如果控制點數=階數+1，那麼這就是貝塞爾線，如果控制點數—階數—1&>0那麼就說明這個是nurbs線，控制點數—階數—1=節點數，簡單說貝塞爾線沒有節點，而nurbs一般指的是有節點的曲線。以後再補充

簡單講，貝塞爾曲線是用四個點控制一段曲線，由多組點控制一系列曲線。nurbs是用一系列點控制一系列曲線。