一堆密堆積的球之間的間隙在一起看起來是什麼樣子的？

12-13

比如在一個立方體容器中放入直徑一樣的球體，球體間顯然有間隙，那麼這些間隙在一起形成的形狀是什麼樣子呢？球體的直徑跟容器的形狀及尺寸都可能有影響。

且先不管是否密積，畫一個。
簡單立方：

體心立方：

面心立方：

六方密排：

1.RegionPlot3D[And@@(Norm[{x,y,z}-#]&>(0.5-.0055)/@Tuples[{0,1},3]),{x,0,1},{y,0,1},{z,0,1},Mesh-&>None,PlotStyle-&>Directive[Opacity[0.5]],PlotPoints-&>100,Axes-&>False]
2.RegionPlot3D[And@@(Norm[{x,y,z}-#]&>(Sqrt[3]/4-.005)/@Join[Tuples[{0.,1.},3],{0.5,0.5,0.5}]),{x,0,1},{y,0,1},{z,0,1},Mesh-&>None,PlotStyle-&>Directive[Opacity[0.5]],PlotPoints-&>100,Axes-&>False]
3.RegionPlot3D[And@@(Norm[{x,y,z}-#]&>(Sqrt[2]/4-.007)/@Join[Tuples[{0.,1.},3],Permutations[{.5,.5,1}],Permutations[{.5,.5,0}]]),{x,0,1},{y,0,1},{z,0,1},Mesh-&>None,PlotStyle-&>Directive[Opacity[0.5]],PlotPoints-&>100,Axes-&>False]
4.pts={{-1,0,Sqrt[2/3]},{-(1/2),Sqrt[3]/2,Sqrt[2/3]},{-(1/2),-(Sqrt[3]/2),Sqrt[2/3]},{0,0,Sqrt[2/3]},{1/2,Sqrt[3]/2,Sqrt[2/3]},{1/2,-(Sqrt[3]/2),Sqrt[2/3]},{1,0,Sqrt[2/3]},{-(1/2),1/(2 Sqrt[3]),0},{0,1/(2 Sqrt[3])-Sqrt[3]/2,0},{1/2,1/(2 Sqrt[3]),0},{-1,0,-Sqrt[(2/3)]},{-(1/2),Sqrt[3]/2,-Sqrt[(2/3)]},{-(1/2),-(Sqrt[3]/2),-Sqrt[(2/3)]},{0,0,-Sqrt[(2/3)]},{1/2,Sqrt[3]/2,-Sqrt[(2/3)]},{1/2,-(Sqrt[3]/2),-Sqrt[(2/3)]},{1,0,-Sqrt[(2/3)]}};
RegionPlot3D[And@@(Norm[{x,y,z}-#]&>(0.5-.007)/@pts)Sqrt[3]x-Sqrt[3]&<=y&<=Sqrt[3]x+Sqrt[3]-Sqrt[3]x-Sqrt[3]&<=y&<=-Sqrt[3]x+Sqrt[3],{x,-1,1},{y,-Sqrt[3]/2,Sqrt[3]/2},{z,-Sqrt[(2/3)],Sqrt[(2/3)]},Mesh-&>None,PlotStyle-&>Directive[Opacity[0.5]],PlotPoints-&>150,Axes-&>False,AspectRatio-&>Automatic]
半徑後面剪去個小數只是為了畫出來效果好看。

答個直觀的。

話說在2000年前後的那段時間，材料界很多人貌似對有序介孔碳(Ordered Mesoporous Carbons, OMCs)抱有興趣。這種材料對電器元件及電化學材料的發展有著潛在的意義。

有序介孔碳的製備也不難，常用的有軟木板法和硬模板法。軟模板法大概是指在溶液中加入適量表面活性劑形成膠束作為模板劑被碳源包裹，最終形成有序孔。硬模板法則更是簡單粗暴，就只是在碳源裡面加點各種的有序硬模板，比如某些二氧化硅一類的東西，形成碳之後再把模板洗掉。如此形成的結構也是相當不錯，比如用SBA-15做模板製備的CMK-3，以及用MCM-41做模板形成的CMK-1，都發了及其牛B的文章，算是材料界里的重要成果。

簡單介紹了一下背景。其他廢話就不多說了。在硬模板法不斷發展的時候，有些人搞出了一種可以做硬模板的高度均一的二氧化硅小球，由此基礎上製備的晶膠(Colloidal Silica)儼然就是題主所說的"一堆密堆積的球"，而以此為硬模板製備的碳材料，在思路上其實跟題主的說法基本是完全一致的。

結果就不說了，大家自己看電鏡。就是這個形狀的。

相關文獻：
[1] Liang C, Xie H, Schwartz V, et al. Open-cage fullerene-like graphitic carbons as catalysts for oxidative dehydrogenation of isobutane[J]. Journal of the American Chemical Society, 2009, 131(22): 7735-7741.
[2] Gierszal K P, Jaroniec M. Carbons with extremely large volume of uniform mesopores synthesized by carbonization of phenolic resin film formed on colloidal silica template[J]. Journal of the American Chemical Society, 2006, 128(31): 10026-10027.
[3] Chai G S, Yoon S B, Yu J S, et al. Ordered porous carbons with tunable pore sizes as catalyst supports in direct methanol fuel cell[J]. The Journal of Physical Chemistry B, 2004, 108(22): 7074-7079.

補充一下，剛才看見@靈劍大神來回答了！他/她說得可能更在點子上，這些間隙更像是四面體或者八面體，或者更嚴格地說，和他們對稱性一致。
---------剛才偶然看到這個問題。贊數最多的答主犯了個小錯誤，他給出的模型結構晶體學裡叫做簡單立方堆積，這種堆積密度很低，每個球僅僅與6個其他的球接觸。（不過贊數最多的答主不是晶體學或者化學領域的，所以犯了個小錯誤也無傷大雅。）而實際上，真正密堆積裡邊，每個球可以和12個球密堆積。真實的金屬材料裡邊，很多金屬的原子也是按照最密堆積進行堆積的。（因為粗略地說，晶體學裡邊，可以近似認為堆積密度越大，一個體系能量越低。）話題扯遠了，我們現在來看同等大小的球密堆積怎麼堆積。

真正的具有長程周期性的密堆積模式有且只有兩種，叫做面心立方堆積和六方最密堆積。由於這個問題似乎不是在數學、化學、晶體學範疇下提問的，所以回答主要是展示結果。更多有意思的討論就不展開了。

面心立方堆積（FCC）

我們在討論密堆積之前，先看看怎麼才能密堆積。如下圖所示，是一個典型的FCC堆積，由三層小球交替堆積形成，分別是紅、綠、棕。為了描述方便，這些小球特意把尺寸做小了一些，讓間隙看起來更大一些。我們看最上方這層棕色小球。單層小球按照蜂窩狀排列。每一個棕色小球和相鄰6個棕色小球相切。再看下層。每一個棕色小球和下一層3個綠色小球相切，這四個小球構成正四面體。同理，棕色小球還和上一層的3個紅色小球相切，構成正四面體。綜上所述，FCC堆積裡邊，每個小球都和同層6個、上下層各3各一共12個小球相切。

我們再來看縫隙在哪裡。從上圖這個堆積方向看（晶體學裡邊叫做[111]方向），是看不到任何縫隙的。如果我們旋轉一下，可以看到如下的縫隙。這個方向也就是堆積的側面方向（晶體學叫做[110]方向），可以看到一個一個的狹長縫隙。這個是這種堆積能看得到的最大的縫隙方向。

我們還可以換另一個方向。大約就是斜著幾十度方向俯瞰下去（晶體學裡邊叫做[100]方向）。這個方向可以看到很狹小的像正方形形狀的小孔。

以上就是FCC堆積可能的所有能看到的孔方向。另外打個叉，像銅、奧氏體不鏽鋼的鐵就是這種原子堆積模式。

六方密堆積（HCP）

這種堆積模式和FCC有很大的相似之處，但是只需要兩層小球重複堆積即可。相似之處在於，棕色小球同層還是和6個小球堆積，上下分別和3個綠色小球相切，所以還是和12個小球相切。不同之處在於堆積排列方式變了。題主應該對這個不感興趣，不過多展開。

有一個不同的地方在於，從堆積方向看下去（晶體學叫做[0001]方向），這次有縫隙了，縫隙長蜂窩形狀。

我們換一個方向，從側面看小球（晶體學上叫做[1 1 -2 0]方向）。這個方向也能看到一些狹長的縫隙。

這就是HCP密堆能看到的所有縫隙。金屬鋅、鎂的原子就是這麼堆積的。

沒有周期性的堆積模式

實際上，如果不是晶體，實際的乒乓球什麼的，在滿足12個球相切前提下，還可以堆積出其他結構。簡單地可以理解成FCC和HCP的混合。但是這樣子堆積情況下，因為長程周期性被破壞了，所以這些好不容易漏出的縫隙可能互相被擋住了。而更多的情況下，乒乓球有局部區域是不密堆的，情況會更複雜了。

如果還有其他感興趣的問題，可以繼續問我。希望能回答了你的問題。

看到已經有人回答堆積模式的問題了，我再補充一下怎麼從堆積方式回到最開始的問題上，其實很簡單，搞清楚堆積的時候球和球之間接觸方式的問題就行了，只要看清楚球心在哪些位置上就可以。把球心連線的基本形狀扣掉每個角上的球的部分，剩下就是空隙；為了幫助想像空隙的形狀，可以把這些棱長中心連起來，最後空隙的形狀是以這個規則幾何體為模板增減得到的。

簡單立方堆積中，球心排列在立方格點上，每個基本單元把球心和相鄰的球心連接起來，構成一個一個的小立方體。在一個小立方體上，每個頂點作一個棱長一半為半徑的球，扣掉每個頂點上的這一個八分之一球，剩下的就是空隙了。大體上是一個正八面體往外面長出來了一些多餘的邊角料。

面心立方堆積中，第一層球心排列成正方形格點，第二層球心排列在上一層的正方形邊長中點的位置上，這種堆積方式球心位置可以先畫一個大立方體，在每個面中心上加一個點，然後把每個面的對角線全連起來，大立方體的頂點加上每個面的中心是球心的位置，這也是面心立方這個詞的來源。面心立方中每個球心跟多達十二個球心相鄰，可能是想像起來最複雜的一種情況了，所以我也只有畫一張圖來說服你這個球心連線的基本空隙是正八面體和正四面體的組合：

（背面的連線省去了沒有畫）
藍線連起來的部分構成了一個正八面體的空隙，而在一個角上面用綠線描出來的是一個正四面體。
同樣，在這個正八面體的每個頂點上，以棱長的一半作球，扣掉這部分，剩下的就是空隙，這個空隙大致是一個削去角的立方體的樣子；

注意在正四面體裡面，它的方向略有不同
正四面體上用同樣方法，大致是個不太規則的正八面體，不過這個空隙很小，剛好把前面一種空隙連成一片。

體心立方堆積中，第二層格點在上一層正方形的中心，整體上看是一個立方體和立方體中心構成的。它的所有空隙都是正八面體，所以空隙形狀也是相似的，也就是大體接近削角立方，不過排列跟面心立方不太一樣。

最後是六方堆積，其實這個反而簡單了，每層堆成三角形陣列，上一層在下一層三角形中心，合起來的結果，所有的球心連線形狀都是正四面體，剩下的空隙大體上是個不太規則的正八面體形狀。

注意這裡每個都是空隙的基本單元，實際上這些空隙也排列在一起，是連成一片的，所以最終看起來其實是像個管道一樣四通八達的。

想看其他圖就自行百度吧……

別人說的我就不重複細說了，沒有邊界的情況最高密度的堆積就是面心立方，或者HCP。
但是，題主既然提到了邊界條件，這個問題就複雜了。而其他人沒有意識到這個問題。
這個問題恐怕很難解答，稍有一點差別恐怕結果就千差萬別。
不多說，一張圖：

(來自《數學中的美》by 吳振奎)

呃……這玩意在化學裡有過總結。體心立方、面心立方和六方，這三種密堆積方式是最常見的。以這三個關鍵詞在搜索引擎里搜索你就有答案了。

可以參數化一個出來看看。。。等我回家再說。。。

可以參考晶體學上七大晶系十四種布拉菲點陣。

最密排的是面心立方(FCC)和密排六方(HCP)，空間利用率為74%
無論什麼球體堆積，只可能出現這十四種，當然拓撲密堆結構不在此討論範圍之內。

菜市場里放雞蛋的托盤

可能是一個球

我突然想到顆粒流（PFC）,先聽一下，稍後再答