既然唐宋元和現代的官話不一樣，甚至同一個文字的讀音也不同，為什麼唐宋的詩詞到今天還押韻呢？

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1.題目是錯的，最簡單的，所有押入聲的你要覺得押韻那才不科學。不知道題主讀過多少詩詞，我舉最簡單例子，高中書上的詞五首，雨霖鈴、念奴嬌、聲聲慢皆入聲入韻，到今天用普通話讀不押韻。所以題目應該修改為：為什麼部分押韻部分不押韻。

2.部分押韻很好解釋，語言的流變過程是線性的，而不是倏然出現一個大斷層，在幾十年內所有的讀音都變了。基於線性這個認知，我們能推出，古音--今音的變化過程，必然是積累了很多細小的變化，經歷了很多時間才產生了質變。

比方說：【忘】字。大蘇江城子悼念亡妻，說不思量自難忘，這裡的忘就是平讀，當時的情況就是這個字有平仄兩讀了。

再比方說尖團音，【尖】字古音類【zian】，它到今天的【jian】，讀著差別不是很大，但是確實是產生了區別，這是聲母發生變化的例證。

再如開口閉口音，古音【心】的韻母是【im】，尾音類似英文中的game，是閉口的，到如今的【in】就不閉上嘴唇，這也是一個對整體讀音影響不是特別大的例子，也是韻母發生變化的例子。

從上面幾個例子可以見到，正是不斷積累著類似的小變化，時間足夠久，則變化足夠大。若題主有興趣翻閱基本常見的韻書，其中的脈絡自然分明。

天晚了簡單回答一下。

首先其他幾位朋友回答都不錯。不過mandarin和滿族應該沒什麼關係，它是「官話」的意思，與英語裡面的command、mandatory有同源關係。

許多字古音與今音不一樣，為什麼唐詩宋詞到了今天還大體都押韻？
其實不止唐詩宋詞，兩三千年前的詩經，很多詩到今天用普通話念起來還是押韻的啊！蒹葭蒼蒼，白露為霜，所謂伊人，在水一方，多好聽啊。

主要的一個原因，貌似其他朋友沒提到（或者是我沒看到），就是漢字讀音的演變，是系統性的、規律性的。一個韻部，在古代都讀作某個韻母，在普通話里，很可能全部（或者大多數）變成了某個相似的韻母。所以聽起來還是押韻的。從古音到今音的變化，絕對不是也不可能是完全的偶然漂變。同時，因為普通話的韻母比中古音少得多，不少韻部都合併了，人們對於押韻的要求也大大降低了。現在eng/ing/ong都能押韻，在中古的時候這麼寫詩會被人笑掉大牙的。

當然有些韻現在聽起來不那麼押韻了。比如支脂之三韻，受聲母影響有些字的韻母變成舌尖母音了，在古代都讀i及臨近的音的。還有入聲，這個就更亂了，因為入聲的喉塞尾在北方話里演變的時候遇到了更多的規則。蘇軾的念奴嬌-赤壁懷古，押的是：物，壁，雪，傑，發，滅，髪，月，現在用普通話念怎麼都不押韻。但在當時它們基本上都是iet/iat的韻尾。當然，這是個極端的例子，即各種北方話都完敗的。換其他押入聲韻的詩詞，有的時候中原官話會比普通話讀起來更加押韻，如李清照的聲聲慢。也有些押入聲韻的，今天仍然押韻，比如岳飛的滿江紅，押的是歇，烈，月，切，雪，滅，缺，血，闕。可見與蘇軾的念奴嬌是同一個韻，但今天讀起來，好的多。

總體來說漢語的方言是越往南，存古越多，讀古詩詞越押韻的。這裡就不展開了。

首先要說明，唐宋時期的韻和現在大不相同，比現在「窄」得多
比如在平水韻里，東和冬不是同一韻（是鄰韻），月和雪不是同一韻。
在唐（後期）以後，使用鄰韻的現象較之前為多，律詩首句可押鄰韻。但比較正統的看法還是認為詩歌不應依賴鄰韻。
以普通話的讀音，許多鄰韻在我們讀來也是朗朗上口，很多字的讀音變化會在相鄰韻部之間，這給詩詞的「押韻度」提高了很多的容錯率。