怎麼用史瓦西度規算光線偏折角度？

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這個問題的計算是很直接的，這其實並不需要去計算具體的Christoffel symbols，關鍵是要得到 $frac{dr}{dphi}$ 的表達式，因為從物理圖像上我們想知道的就是在 $r$ 從無窮大先變小再變回無窮大的過程中 $phi$ 變化了多少。

首先我們定下 $heta=frac{pi}{2}$ 。

由於Schwarzschild metric不包含 $phi$ 變數，也就是說擁有關於 $phi$ 的對稱性，因此可知 $p_{phi}$ 是一個守恆量。對於光子我們令 $p_{phi}=L$ ，於是有 $frac{dphi}{dlambda}=p^{phi}=frac{L}{r^{2}}$ ， $L$ 相當於光子的角動量。

又因為光子沒有靜質量，因此 $p_{mu}p^{mu}=0$ ，也就是

$-E^{2}(1-frac{2GM}{r})^{-1}+(frac{dr}{dlambda})^{2}(1-frac{2GM}{r})^{-1}+frac{L^{2}}{r^{2}}=0$ ，

所以得到 $(frac{dr}{dlambda})^{2}=E^{2}-frac{L^{2}}{r^{2}}(1-frac{2GM}{r})$ 。

利用上面得出的 $frac{dphi}{dlambda}$ 和 $(frac{dr}{dlambda})^{2}$ 的式子，將兩者相除，便可以立即得到 $frac{dr}{dphi}$ 的表達式

$(frac{dr}{dphi})^{2}=frac{E^{2}r^{4}}{L^{2}}-r^{2}(1-frac{2GM}{r})$ 。

接著便是常規的計算，最終得到 $Deltaphi=frac{4GM}{r_{0}}$ ，其中 $r_{0}$ 便是光子入射軌跡的impact parameter。

既然邀請我了，

我不回答也不好，但是這樣一個問題實在是過於經典，每一本廣義相對論教材都會講解，

我建議你以後還是先看書，再來知乎提問，在這裡我憑大致記憶現場推導一下：

符號約定

Schwarzschild metric

$ds^2=-(1-dfrac{2GM}{r})dt^2+(1-dfrac{2GM}{r})^{-1}dr^2+r^2(d heta^2+sin^2 heta)dphi^2$ $(-,+,+,+)$

以下記 $g_{00}=-(1-dfrac{2GM}{r})$ ; $g_{11}=(1-dfrac{2GM}{r})^{-1}$ ; $g_{22}=r^2$ ; $g_{33}=r^2 sin^2 heta$ ;

Christoffel符號 $Gamma^i_{kl}=frac{1}{2} g^{im} (dfrac{partial g_{mk}}{partial x^l} + dfrac{partial g_{ml}}{partial x^k} - dfrac{partial g_{kl}}{partial x^m} )$ ；

理論簡述

光在空間中始終沿著測地線行進，與自由粒子的區別是類光空間 $ds=0$ ，不能以 $s$ 為參量來寫測地線方程，設有一放射標量 $lambda$ ，有測地線方程：

$dfrac{d^2 x^{mu}}{dlambda^2}+Gamma^{mu}_{ u sigma}dfrac{dx^{ u}}{dlambda}dfrac{dx^{sigma}}{dlambda}=0$ ;

算Christoffel符號：

$Gamma^1_{00}=dfrac{GM}{r^3}(r-2GM)$ ; $Gamma^1_{11}=dfrac{-GM}{r(r-2GM)}$ ; $Gamma^0_{01}=dfrac{GM}{r(r-2GM)}$ ;

$Gamma^2_{12}=dfrac{1}{r}$ ; $Gamma^1_{11}=-r(r-2GM)$ ; $Gamma^3_{13}=dfrac{1}{r}$ ; $Gamma^1_{33}=-(r-2GM)sin^2 heta$ ;

$Gamma^2_{33}=-sin heta cos heta$ ; $Gamma^2_{23}=dfrac{cos heta}{sin heta}$ ;（剛算的，不太記得住了）

上面的測地線方程變成四個：

$dfrac{d^2t}{dlambda^2}+dfrac{2GM}{r(r-2GM)}dfrac{dr}{dlambda}dfrac{dt}{dlambda}=0$ ;

$dfrac{d^2r}{dlambda^2}+dfrac{GM}{r^2}(dfrac{dt}{dlambda})^2-dfrac{GM}{r(r-2GM)}(dfrac{dr}{dlambda})^2-(r-2GM)[(dfrac{d heta}{dlambda})^2+sin^2 heta(dfrac{dphi}{dlambda})^2]=0$ ;

$dfrac{d^2 heta}{dlambda^2}+dfrac{2}{r}dfrac{d heta}{dlambda}dfrac{dr}{dlambda}-sin hetacos heta(dfrac{dphi}{dlambda})^2=0$ ;

$dfrac{d^2phi}{dlambda^2}+dfrac{2}{r}dfrac{dphi}{dlambda}dfrac{dr}{dlambda}+2dfrac{cos heta}{sin heta}dfrac{d heta}{dlambda}dfrac{dphi}{dlambda}=0$ ;

選擇 $heta=dfrac{pi}{2}$ , $dfrac{d heta}{dlambda}=0$ (垂直軌道平面的方向）為極軸，上述式子立馬變得清爽極了，並能給出三個一次積分（或者稱為初積分）（註：嚴格的討論使用Killing積分，身體抱恙，不寫）

$(1-dfrac{2GM}{r})dfrac{dt}{dlambda}=E$ (能量守恆);

$r^2dfrac{dphi}{dlambda}=L$ （角動量守恆）；

$-E^2+(dfrac{dr}{dlambda})^2+(1-dfrac{2GM}{r})dfrac{L^2}{r^2}=0$ (第三個初積分）；

近似

帶入消去參數 $lambda$ ;

$(dfrac{1}{r^2}dfrac{dr}{dphi})^2=(dfrac{E}{L})^2-dfrac{1}{r^2}(1-dfrac{2GM}{r})$ ,這就是光子運動的軌道方程；

仿照解Newton引力軌道的方法，利用Binet公式，令 $u=dfrac{GM}{r}$ ,

齊次軌道方程化為：

$dfrac{d^2u}{dphi}+u=3u^2$ ;

零級近似解：

$u=u_0 cos phi$ (極坐標下的直線，即未受引力作用)；

將零級近似帶入，有一級近似：

$dfrac{d^2u}{dphi^2}+u=3u_0^2cos^2phi$ ;

一階近似解為：

$u=u_0cos phi +u_0^2(1+sin^2 phi)$ ；

一階近似光線出發點角為 $pmdfrac{pi}{2}+alpha$ ,在 $pm dfrac{pi}{2}$ 附近展開上式有：

$-u_0sinalpha +u_0^2(1+cos^2alpha)=0$ ;

$alpha approx dfrac{2GM}{R}$ ;

最終軌道偏折角 $Delta phi=2alpha=dfrac{4GM}{R}$ .

或者直接寫出光子在引力場中的Lagrangian：

$mathscr{L}(x^{mu},dot{x}^{mu})=dfrac{1}{2}g_{mu u}dot{x}^{mu}dot{x}^{ u}$ ;

帶入Lagrange方程：

$dfrac{d}{dlambda}dfrac{partial mathscr{L}}{partial dot{x}^{mu}}-dfrac{partial mathscr{L}}{partial x^{mu}}=0$ ,

帶入得到四個方程，重複上述計算，近似得到。

生活是個圓。

12.1更新
直接將實物粒子的拉氏量用到光子上還是不太好，就算可以取極相對論近似，個人感覺不好看，還是推個費馬原理比較好
懶得手寫了，直接看郎道：

把朗道的變分式寫開，

這樣得出角動量後，就可以繼續算下去了

__________________原答案__________________
先佔個坑，下了晚自習來補

對於光線，有ds^2=0，得一個方程；
拉氏量為L=ds/dt，可得角動量守恆；
消去t及dt，可得r-φ微分方程，解之即可

來填坑啦：

其中，1式為角動量守恆，2式為廣義能量守恆
下圖為h=3√(3)/2時的解：
從黑洞附近出發：

從無窮遠處出發：

如果你想好好學廣相，還是去看 @Narayan 的回答吧，我只是個高中生……求輕噴

看到這個問題想到了去年手賤選的一門課叫做"時間與空間"，其中也有講到史瓦西度規下的軌道問題。這個問題計算起來也不難，思路是通過球坐標史瓦西度規不顯含t與φ得到兩個killing vector，與四速度(坐標四矢量對仿射坐標的微商)內積得到運動積分，類似能量與角動量。最後將其與"四速度與自身內積為零"的表達式聯立，即可解得r對φ的微商。

這學期學了理論力學之後，又會了一種做法，就是把時空距離ds的積分作為作用量，用歐拉-拉格朗日方程得到極值路徑，其實也就是真實運動的路徑。

我們當時用的教材是Gravity，James B. Hartle著，這本書內容比較簡單，寫的也比較詳細，應該算是為學習GR打基礎的吧，我也不知道該不該推薦給你。2333……

刷了這麼久知乎，終於有自己能說上一兩句的問題了(突然激動.jpg)如有錯誤，請大佬及時糾正Orz

剛剛突然想到 @白書旭，白神可能會樂於回答這類問題