不可數個0相加等於0嗎？

12-17

首先，題目中的0指的就是實實在在的0. 其次，無窮分可數和不可數，我知道可數個0相加等於0，這個可以用數學歸納法來證明，那不可數個0相加還等於0嗎？還是說涉及到不可數的時候根本沒有可加性？

PS：本人大一新生，耐心聽大神講解。

取決於你怎麼定義不可數個數的加法。

對不可數個非負實數，一種reasonable的定義方式是定義成任意有限和的上確界。在這個定義下自然是0.

然後你可以思考一下，在上述定義中，不可數個非負實數之和收斂，僅當其中只有可數個正數，其餘的為0。如果其中包含不可數個正數，有限和上確界一定是無窮大。

所以不可數個非負數相加本質上還是可數個非負數相加，並沒有新東西，這是我們為什麼只考慮可數級數不考慮「不可數級數」的原因。

不可數個可正可負的數的和，並沒有reasonable的定義。原因很簡單，可以變號的話，加的次序是很要緊的（所謂「條件收斂」）。不可數個數你沒辦法定義canonical的相加次序。

我建議你先思考這個問題：什麼樣的情形之下才會出現不可數個0相加？
這個問題在高數里是沒意義的，所以說必然也找不到什麼自洽的解釋……

就比如，如果等幾率取0到1的實數，那麼每個數被取到的概率等於0，如果你非要定義概率等於所有實數的概率的和的話，這個和就等於1

咦，這不是我前兩天問的問題嗎，這麼巧，另外「數理邏輯」的標籤沒有啦
不可數個0相加還等於0嗎？ - 數學分析

我認為不可以，1-1+1-1+...=1/2,1+0-1+0-1+..=2/3，只是在發散級數之間插入無限個0就能使發散級數的值發生改變。

沒想到多年前我忽悠我女朋友的題又出來了……
題主問0是否等於0+0+0+…+0+…。首先我們讓S等於前面那一串0的求和，我們給他起個名字叫無窮級數。對於這個無窮級數根據柯西收斂準則--數列{Xn}收斂的充分必要條件是：對於任意給定的正數ε，存在著這樣的正整數N，使得當m&>N,n&>N時就有|Xn-Xm|&<ε，他是收斂的。所以對於這個無窮級數，有限個0相加等於0（不要猶豫）必定小於任何給定正整數，所以S收斂。當我們知道他是收斂的以後就可以求和了。首先因為S=0+0+……我們對兩邊同時乘2，得到2S=0+0+…於是2S＝S，易知S＝0。

所以題主，不要聽信前面人瞎忽悠。無窮個0相加的和的確是0。但是要注意這裡的0是實實在在的0，就像你題目說的那樣，不能衍生！！

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我知道有些看客並不滿足於sum0=0，讓我們再來談談上面為什麼說不能衍生呢，我這裡是基於兩點。第一，必須是0，不能是無窮小量。無窮小量的無限積累並不一定是收斂的，更不用說求和了。其次我們給上面的等式變個形
0=0+0+0+0+0+...........
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+....... (對么？)
0=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+...... （對么？）
0=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-(1-1)-(1-1)-..... (對么？)
0=1-0-0-0-0-0-..... (對么？)
0=1 （。。。）
這就是告訴你為什麼不能推論，哪裡錯了呢？？
來來你們先來猜猜
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答案是
0+0+0+0+0+........... 和 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+...... 已經是兩個不同的級數了。這就告訴我們在無窮級數哦中不能隨機加括弧會改變斂散性。這也就引出了絕對收斂的概念（扯太遠了，之後說）。回到剛剛的問題，對於1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+......這個級數有個名字叫格蘭迪級數（Grandi"s series) 同樣根據柯西收斂準則，這個級數並不收斂。但如果你硬要求和的話他在特定的定義下也是可以求和的。比如切薩洛和以及高斯和。這裡給出一種求和方法
設 S＝1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+......
(S-1)=-1+1-1+1-1+1-1+1-1+...... =-(1-1+1-1+1-1+1-1+)=-S
2S-1=0
易知S＝1/2

所以沒事不要瞎推導～
更不要相信0=1這種沒搞懂定義所造成的邏輯謬論～

我覺得很有意思，舉個例子：在區間[0,1]上取每個點的概率為零（是真等於0而不是近似為零），這個區間上的點又是不可數的，可以看作一個不可數集合到0的映射，那所有點的概率加起來也就是無數個0概率相加，但結果是1. 同理我可以定義一個映射cP(x)，c為任意常數，P(x)是取到x點的概率，那這也是一個不可數集到零的映射，它的和是c，也就是R內任何一個數。

可數無窮個0相加也不是用數學歸納法做得吧………不可數無窮相加取決於你怎麼定義啊………有空可以讀讀knopp的一本老書，theory and application of infinite series

有興趣可以看看實變函數與測度論的知識。簡單說下個人觀點：不可數個0相加，結果可以任意。
理由：R中每個點測度為0，則可將題目理解為不可數個點的測度。比如[0,1]，那答案就是1。

概率論裡面有一處證明我看不懂，路過發現確實收益無窮，就是證明不可能事件的概率等於0時。感謝題主和答友。

應該先定義不可數個數的加法。。。