正六邊形可以鋪滿球體表面嗎？

12-12

本題的出發點是要做上圖這樣一個效果。(這也是本題的出發點)

5月15日更新
球體不是無限大。(之前的假設是無限大表述有誤，應該是為一個足夠大的常數)

註：
可以分別考慮歐幾里得幾何與非歐幾里得幾何兩種情況

PS:
單純的使用二維的正六邊形平面片是不可能鋪滿的，因為不滿足歐拉公式
證明參考這裡http://zhihu.com/question/31374624/answer/69671126
所以這裡的正六邊形只要看起來「像」正六邊形就好了，本題稱為「廣義近似正六邊形」

對於「廣義近似正六邊形」
1. 可以每個正六邊形偷偷地有一點曲率(比如從球面上強行截取的有六個邊的曲面片)
2. 或者中間稍微凸起來一個點(參考一個扁平的六稜錐)
3. ...

總之只要看起來近似像正六邊形就好了，有什麼好的解決方案呢？

5月15日更新：
不能混入五邊形！！！！
不能混入五邊形！！！！
不能混入五邊形！！！！
每個「廣義近似正六邊形」所擁有的「面積」必須一樣
且每個「廣義近似正六邊形」到相鄰格子的距離也最好一樣

前面已經有人說了，計算歐拉示性數，得v+f-e=0，這是跟凸多面體矛盾的。

不過環面的歐拉示性數恰好是0，我們可以猜測環面存在六邊形覆蓋，如下圖：

圖片摘自

Create a torus with a hexagonal mesh for 3D-printing

題主的附圖遊戲是The Cosmos is MINE!

而這遊戲的地圖也是有五邊形的。

12個五邊形，一個都不能少
－－－－－－－－－－－－－
我也想過用不同大小的方塊在兩極做特殊處理來規避這一問題，但是想想也不對。
如果從赤道的一個六邊形開始瞄著對邊繞赤道走一圈有x格方塊，那麼根據六邊形的鑲嵌，和赤道圈相鄰的一圈也應有x格方塊。但顯然緯度越高，緯線越短，換句話說每個方塊的面積也就越小，最終在兩極會形成非常密集的一圈方塊，非常逗。
要保證方塊大小相等的話，是沒法在兩極聚攏的，就只能做成捲筒紙那樣了，也就是大名鼎鼎的策略遊戲《野蠻5》

給個不是太嚴謹的公式證明：
歐拉公式：V（點）-E（線）+F（面）=2
設m個六邊形可以鋪滿球面變成一個封閉多面體，則：
F=m
V=6*m/3
E=6*m/2
帶入歐拉公式，
6*m/3-6*m/2+m=2
得：
0=2
所以，不可能由純六邊形拼成一個封閉多面體

——更新——

這個答案比我強得多

《文明 5 》的地圖為什麼不能做成球形？

完全使用六邊形的話，我只能做到這一步了= =

我也琢磨過星際2神族的各種六邊形鑲嵌曲面，要麼是圓柱面，要麼是剪了這種輪胎形的一部分，完美迴避高緯度地區的麻煩，例如：

如果題主能稍微容忍一下五邊形的存在，就能得到圖中星球那種富勒烯或巴克球結構（以發明它的建築家巴克敏斯特·富勒命名）。為了增強框架結構的強度（以及防止五邊形逼死強迫症），所有多邊形往往會再分割成一圈小三角形。

巴克球構造法，命名方式是C2n（2n是頂點個數），五邊形永遠是不多不少12個，六邊形則是n-10個：

艾波卡特公園的「地球號太空船」就是這種結構的典例。

正六邊形若要鋪滿球面，直觀上來看應該是利用由正六邊形構成的凸多面體去近似逼近球面。

不妨任取該凸多面體的一個頂點(Vertex)，假設該頂點為 $n$ ( $n ge 3$ )個正六邊形的公共頂點，則由該頂點連同以其為公共頂點的各邊將構成一個【點狀光源】。考慮到這些邊長度一致，則聯結這些邊的【末端】將構成一個正 $n$ 邊形 $P$ ，於是這個【點狀光源】實則為以 $P$ 為底面的正 $n$ 稜錐。

那麼，現在考慮該正 $n$ 稜錐的每一個頂角（ $frac{2}{3}pi$ ）在底面 $P$ 的投影角 $T$ ，顯然有 $T = frac{2pi}{n} > frac{2}{3}pi$ . 所以 $n<3$ ，顯然矛盾於【該頂點為 $n$ ( $n ge 3$ )個正六邊形的公共頂點】的假設。也就是說利用正六邊形根本不可能拼出凸狀（3D）結構，唯一可能的只有 $n=3$ 對應的平面情形，即 $3$ 個正六邊形拼出一個平面（2D）結構，進而該情形下的整個拼圖為一張平面，亦不能布滿球面。

PS.@月下嘆逍遙的答案中也提到【 $V=frac{6}{3}m$ 】，意思是每一個頂點將被共用 $3$ 次。事實上，該情形對應的是一個平面拼圖，歐拉公式自然無法適用。

平面可以視作一個半徑無窮大的球面，不過如果限制在有限個六邊形的話，那就不可以了

從幾何學講，不可能，必有12個五邊形

從概率統計學講，還是不可能，無論選取的圖形邊長再怎麼遠小於球體半徑，球體上任意一點落到五邊形上的概率都是12/m永遠不可能等於0，所以說那個任一點落在六邊形上/內的概率為1的同學，我不知道你是有什麼勇氣把近似解當精確值用在這的

如果題主可以容忍有理數數個六邊形的存在而非整數個，那麼就可以搞定。(可以用重疊的方式做到)

題主要求的廣義近似六邊形並不難實現。

想像一個標準的正二十面體，每個面都是一個等邊三角形。現在我讓每條邊都向外鼓起來一點，如下圖所示。

圖中紅紅黑的三角形所在平面經過正二十面體的球心。這樣原來二十面體的二十個黑色三角形就變成了二十個紅色的非平面六邊形，姑且算近似的六邊形吧。而且這個立體圖形還是對稱的。

好像足球

假設赤道是n個六邊形相連接
每向上一層就是n-1個六邊形
這樣在頂點處就出現問題
頂點處是一個六邊形
向下一層卻是六個六邊形

如果是螺旋式那可以拐個彎連接成一圈同理不成立

既不嚴謹的YY

不請自來拋磚引玉。看怎麼定義無限大的球體了。

1. 歐式幾何：用一串直徑趨於無窮的球的序列來定義無限大的球。如果要求用於鑲嵌的六邊形直徑固定，那麼這個問題和單位正12面體不斷細分是等價的。對於這一問題，球面上總會有12個正五邊形。如果我們令正五邊形的邊長趨於無窮小，則正六邊形的邊長也趨於無窮小。如果我們取到極限，則球面上即沒有五邊形也沒有六邊形（邊長都是0）。所以在這種情況下，正六邊形無法鋪滿球體表面。

2. 非歐幾何：可引入無窮遠處的點（point at infinity），則無限大的球面就是平面。六邊形可以鋪滿平面嗎？我認為答案是能。

PS 我不是專做這方面的，歡迎指正，僅供參考。

更新：少年你怎麼把問題完全改了。。。這使我的答案顯得驢唇不對馬嘴。。。

首先，以防你突然再改。我先來描述一下你之前的問題和現在的問題。
之前是：如果球體無限大，可以用正六邊形鋪滿表面嗎？建議分歐式幾何與非歐幾何討論。
現在是：如果球體足夠大（但不是無限大），可以用正六邊形鋪滿表面嗎？建議分歐式幾何與非歐幾何討論。並要求不能出現五邊形，但可以用你自己提到的「廣義近似正六邊形」。

首先，之前的問題就不準確不明確。然後來吐槽一下現在的問題。首先，給一些在非歐體系討論的建議唄。因為有「球體足夠大」和「正六邊形」暗示了這個幾何體系中長度和角度可以被測量。同時又不無限，這暗示了這個體系不需要無窮遠點（point at infinity）。據我所知，這隻能是歐式空間了（當然有可能不對）。另外「廣義近似正六邊形」是什麼？有定義嗎？

。。。這讓我做出了岳雲鵬驚訝時的表情。。。我的天吶。。。

對於你現在的問題，答案很明顯，歐拉多面體公式（Euler Polyhedra Formula）告訴你不能。比如 @月下嘆逍遙的答案就很明白。

用一下歐拉定理就能推出至少需要12個五邊形才能鋪滿球面。所以不可能全是六邊形。

足球君，就是做不到的意思啦～還有題主是什麼遊戲啊

難道不是根據Gauss"s theorema egregium和
Gauss-Bonnet theorem之類的定理， net defect charge是12嗎。不過多generic就不清楚了。
建議看看這篇Rev. Mod. Phys. 74, 953 (2002). V.B里講了下有關defect charge的理論推導。Phys. Rev. E 68, 051910 (2003)這篇里講了應用。

正12面體
取每個面中點(紅色的點) 把每個面分成6個等邊三角形。
記每個等邊三角形的中心是青色的點。
對於12面體上的每個點，連接其周圍的6個青色的點
就可以得到一個正六邊形
最終可以剖面完畢，且每個面都是正六邊形

證畢，請點贊

--- update
有人說這樣會有五邊形存在
那就繼續重複剛才的步驟
從這個

變成

這樣就基本是六邊形了

問題解決。請點贊，謝謝。

更新：
卧槽如果不能混入五邊形那我真沒辦法了 = =