調和級數能否構成全體正實數？

12-11

我們已經有
調和級數 $sum_{n=1}^{+infty }{frac{1}{n}}$ 發散
且有

$1=frac{1}{2} +frac{1}{4} +frac{1}{8} +...$
$1=frac{1}{1 imes2} +frac{1}{2 imes3} +frac{1}{3 imes4} +cdots=frac{1}{2} +frac{1}{6} +frac{1}{12} +cdots$
那麼對於
$1=frac{1}{a_{1} } +frac{1}{a_{2} } +frac{1}{a_{3} } +cdots$ （1）
其中 $a_{i} in N,a_{i} </P><P>1.是否有無窮多個數列{<img src=$ }滿足（1）式？

我傾向於是，但是想不到證明
2.給定{ $a_{i}$ }中的有限個數值，是否仍有無窮多個{ $a_{i}$ }滿足（1）式？

3.給定{ $a_{i}$ }中的無限個數值（例如所有的 $a_{2n}$ ，當然前提是這些 $a_{2n}$ 之和不大於1 ），是否仍有無窮多個{ $a_{i}$ }滿足（1）式？

4.如果（1）式的等號左邊不是1，上述結論還成立么。或者換句話說，我們能否選取調和級數中的任意個數，使其和能夠構成任意正實數？

不知過去有沒有哪位學者做過相關的研究，希望各位能夠給予一點啟發！謝謝！

小於1的情形題主已證，等於1的情形不說了，只證大於1的情形。
令要取得的和是 $a>1$ ，由調和級數發散我們知道存在正整數 $N$ ，使得調和級數前 $N$ 項和 $P_1=S_N$ 滿足 $S_N。這裡我們不討論大於等於的情況，因為取等號的情形是平凡的。令<img src=$ ，容易看出 $frac{1}{N_1}<Delta_1<frac{1}{N+1}$ ，其中 $N_1$ 是使 $frac{1}{x}<Delta_1$ 成立的最小正整數。令 $P_2=S_N+frac{1}{N_1}$ ， $Delta_2=a-P_2$ ，則 $frac{1}{N_2}<Delta_2=Delta_1-frac{1}{N_1}$ ，其中 $N_2$ 是使 $frac{1}{x}<Delta_2$ 成立的最小正整數。現在我們考察 $Delta_1-frac{1}{N_1}$ ，設 $Delta_1-frac{1}{N_1}>frac{1}{N_1}$ ，則 $Delta_1>frac{1}{N_1/2}$ ，由 $N_1>1$ 可知 $N_1/2$ 向上取整小於 $N_1$ ，這與 $N_1$ 是使 $frac{1}{x}<Delta_1$ 成立的最小正整數矛盾，故 $Delta_1-frac{1}{N_1}lefrac{1}{N_1}$ ，所以 $frac{1}{N_2}<Delta_2lefrac{1}{N_1}$ 。重複上述構造過程，我們能得到序列 ${P_i}$ ，以及 ${Delta_i}={a-P_i}$ 滿足 $Delta_ilefrac{1}{N_{i-1}}<frac{1}{i}$ 。所以 $P_i o a$ 。證畢。
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注意到這個證明可以修改為對刪掉了前 $m$ 項的調和級數依然成立的證明，所以其實這個證明應該也回答了一二三問，這裡的 $m$ 是任意正整數。

我是題主，經過與 @張舸的討論，對第4問的一個弱化形式有了如下結果：

所有小於1的正實數m均可以用調和級數中的任意項進行表示，方法如下：
將m轉換為2進位：
m=0.010011011……
改寫為
m=0.01+
0.00001+
0.000001+……
再將上式從2進位轉換回10進位，即有
$m=frac{1}{2^{2}} +frac{1}{2^{5}} +frac{1}{2^{6}} +...$