歐拉積分，伽馬函數、wallis公式和 0到Pi/2上的sin(cos)n次方的積分的關係？

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能講一講他們的聯繫嗎？

Gamma函數最初是以下面這種形式出現的：
$n!=int_{0}^{infty}e^{-t}t^nmathrm{d}t, n=0,1,2,cdots$
它是階乘（factorial function）的一種積分表示，然後當我們擴充一下定義，使得對於一些複數它也成立（類似於一個插值問題），即：
$Gammaleft(x ight)=int_{0}^{infty}e^{-t}t^{x-1}mathrm{d}t, Releft(x ight)>0$
Beta函數可以通過Gamma函數來表示，即：
$Bleft(x,y ight)=int_{0}^{1}t^{x-1}left(1-t ight)^{y-1}mathrm{d}t=frac{Gammaleft(x ight)Gammaleft(y ight)}{Gammaleft(x+y ight)}, Releft(x ight)>0,Releft(y<br /> ight)>0$

經過這樣一個簡單的變換： $t=cos^2 heta$ ，我們繼而可以得到：
$Bleft(x,y ight)=2int_{0}^{frac{pi}{2}}cos^{2x-1} hetasin^{2y-1} hetamathrm{d} heta$
更加一般地，我們有：
$int_{0}^{frac{pi}{2}}sin^{mu} hetacos^{v} hetamathrm{d} heta=frac{Gammaleft(frac{1}{2}mu+frac{1}{2} ight)Gammaleft(frac{1}{2}v+frac{1}{2} ight)}{2Gammaleft(frac{1}{2}mu+frac{1}{2}v+1 ight)}, Releft(mu ight)>-1,Releft(v<br /> ight)>-1$
現在我們來看Wallis公式，Wallis公式實際上是Beta函數的一種特殊情況：
$int_{0}^{1}sqrt{1-x^2}mathrm{d}x=frac{1}{2}int_{-1}^{1}left(1-x ight)^{1/2}left(1+x ight)^{1/2}mathrm{d}x=Gammaleft(frac{3}{2} ight)Gammaleft(frac{3}{2} ight)=frac{pi}{4}$
註：這個公式是來自於著名的G.E. Andrews, R. Askey, R.Roy, Special Functions，在他們的著作中稱其為Wallis公式。

相關的問題在維基百科中也做了簡明的介紹：
http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis"_integrals

歐拉積分，伽馬函數、wallis公式 和 0到Pi/2上的sin(cos)n次方的積分 的關係？

歐拉積分，伽馬函數、wallis公式和 0到Pi/2上的sin(cos)n次方的積分的關係？