為什麼指數函數的值的前幾位數服從Benford"s Law?

取一個底數a,然後計算它的1-n次冪,取前p位有效數字,發現分布服從Benford"s Law或者Zipf"s law或者其他某種指數分布.

分布形狀與底數a無關,與計算範圍n無關,有效位數p也無關.

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有時候會有反常現象,比如33

這又是為什麼?

lg(33) 非常接近 41/27（實際上兩者相差僅有 4.6e-6），換句話說 33^27 非常接近 10 的 41 次方。
因此指數每相差 27 ，前幾位就會出現重複，當 n 不太大（比如 1000 ）的時候，前 n 個數的統計結果由前 27 個數決定，統計結果有偏差便很正常了。
但是 33^27 畢竟只是接近而非等於 10 的冪，隨著 n 的增大這個規律早晚會被打破，n 足夠大時仍然符合 Benford』s law.

至於為什麼會符合 Benford』s law ，簡單地說是因為 lg(a^n) 的小數部分在 [0, 1) 上均勻分布